专题2210相似形章末十大题型总结（拔尖篇）（沪科版）

专题22.10相似形章末十大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1利用平行线分线段成比例进行求值或证明】 1【题型3利用相似三角形的判定与结论求长度】 13【题型4利用相似三角形的判定与结论求面积】 20【题型5利用相似三角形的判定与结论求最值】 28【题型6利用相似三角形的判定与结论解决规律探究问题】 37【题型7利用相似三角形的判定与结论解决动态探究问题】 42【题型8利用相似三角形的判定与结论解决多结论问题】 51【题型9利用相似三角形的判定与结论解决新定义问题】 60【题型10利用相似三角形的判定与结论在格点中作图】 69【题型1利用平行线分线段成比例进行求值或证明】【例1】（2023秋·福建三明·九年级统考期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则ABAC下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作CE∥DA．交BA的延长线于点E任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．【答案】(1)见解析(2)9+3【分析】（1）过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到BDCD=BAEA，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以（2）先利用勾股定理计算出AC=5，再利用（1）中的结论得到ACAB=CDBD，即53=CD【详解】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于∵CE∥∴BDCD=BAEA，∠2＝∠ACE，∠1∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴ABAC（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC=∵AD平分∠BAC，∴ACAB=CD∴BD=∴AD=∴△ABD的周长=3【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键．【变式11】（2023春·山西吕梁·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，2AB=BC=6，把△ADC沿着AD翻折得到△ADC'，连接BC'交AD于点E，点M是EC

【答案】3【分析】如图所示，连接EN，过点M作MT⊥AD于点T，MN与AD交于点K，可证△BCC',△EDC',△ETM都是等腰直角三角形，点E是BC',AD【详解】解：如图所示，连接EN，过点M作MT⊥AD于点T，MN与AD交于点

∵四边形ABCD是矩形，2AB∴∠ADC=90°，AB=∵△ADC沿着AD翻折得到△∴∠ADC=∠ADC'∴△BCC'∵DE∥∴∠DEC'∴△EDC'在Rt△EDC'中，点M是EC∴MT∥∴EMEC=ET∴ET=32，即点T∴MT是△EDC'∵BC=6，DE∴点E是AD的中点，∵点N是AC的中点，∴NE是△ADC∴NE∥CD，∴MT=∵MT⊥∴∠MTK∵NE∥CD∴∠NEK∴∠NEK=90°，即∴∠MTK在△MTK∠MTK∴△MTK∴MK=NK，∴点K是ET的中点，∴TK=∴在Rt△MTK中，∴MN=2故答案为：35【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判断和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．【变式12】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点P是▱ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，PD，过点P作PE∥BC，PF∥AB，分别交AB、BC于点E、F，若S

【答案】24【分析】过点P作PQ⊥AB于点Q，交CD于点R，作PM⊥AD于M，交CB于点N，根据已知先求出S▱ABCD=AD⋅MN=10，然后求出S【详解】解：过点P作PQ⊥AB于点Q，交CD于点R，作PM⊥AD于M，交

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴PR⊥CD，∵S△PAD=1，S∴S△∴S▱∴12∴S△∴S△PADS∵PE∥BC，∴四边形PEBF是平行四边形，∵AM∥∴AEB∴PQ=35∴S四边形故答案为：245【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式、平行线分线段成比例定理等知识，此题的计算和推理过程较为复杂，求出PQ=35【变式13】（2023春·广东·九年级专题练习）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB=BC=4①若CD=3，AC⊥CD于点C②若AD=DC，∠ADC(2)如图②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，点P是对角线BD上的一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，要使四边形【答案】(1)①41；②4(2)满足条件的AE的长为12【分析】（1）①根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理求出AD的值；②连接AC、BD，交于点F，过点C作EC⊥BC，交BD于点E，证明BD垂直平分AC，得出AF=CF，证明∠ECD=∠CDE，得出CE（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，当AE=【详解】（1）解：①连接AC，如图所示：∵AB=BC=4∴AC=∵AC⊥∴∠ACD∴AD=②连接AC、BD，交于点F，过点C作EC⊥BC，交BD于点则∠BCE∵AB=BC=4∴∠BAC∴∠ECF∵AB=BC，∴B、D在线段AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，∴AF=CF，∵AD=∴∠CDF∴∠DCF∴∠ECD∴∠ECD∴CE=∵AB=BC，∴∠CBF∵∠BCE∴∠BEC∴∠BEC∴CE=∴DE=CE=4∴BD=（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=6，AD=BC若EF⊥则四边形AEFB和DEFC为矩形，∴EF=AB=6，DE∵AD∥∴△DEP∴DEBF∵DE+∴DE=5，BF∴AE=∴AE≠EF，∴四边形ABFE不可能是等腰直角四边形；若EF与BC不垂直，当AE=∵AE=∴DE=∵AD∥∴△DEP∴DEBF∴BF=2∵18>15，∴此时点F不在边BC上，不符合题意；若EF与BC不垂直，当BF=此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=∵DE∥∴△DEP∴DEBF∴DE=∴AE=综上所述，满足条件的AE的长为12．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，作出辅助线，画出相应的图形，数形结合，注意分类讨论．【题型2利用相似三角形的判定与结论在格点中求值】【例2】（2023·安徽宿州·统考一模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A、B、C、D均在格点上，连接AC、BD相交于点E，若小正方形的边长为【答案】6【分析】证明△ABE【详解】解：如图，过点E作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点∵AB∥∴∠BAE=∠DCE，∠∴△ABE∴EMEN∵MN=3∴EM=23+2×3=65，即点故答案为65【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质．【变式21】（2023·山东烟台·统考一模）如图，在方格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则∠BACA．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】根据网格的特点，利用勾股定理求得△ABC、△EDF各边长，进而证明△ABC【详解】解：∵AB=DE=∵52∴ABDE∴△ABC∴∠ABC∴∠BAC故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握其性质是解决此题的关键．【变式22】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，AF与BC相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分△DEF的面积等于

【答案】9【分析】先证明△ABE∽△ECF，设△CEF的高为h【详解】解：

∵AB∥CD，AB=∴∠ABE∵∠AEB∴△ABE设△CEF的高为h，AM∴ABCF∴h=∴阴影部分△DEF的面积1故答案为：92【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．【变式23】（2023秋·福建福州·九年级校联考期末）在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC-∠

【答案】45°【分析】在正方形网格中，连接正方形的顶点，作出Rt△EFD和Rt△EGD，设正方形网格的边长为1，则有EG=12+12=2，FG=1，AG=2，可知【详解】解：如图，在正方形网格中，连接正方形的顶点，得到Rt△EFD和

设正方形网格的边长为1，则有EG=12+1∴EGAG=2∴EG∵∠EGF∴△EGF∴∠EFG∴∠EFG∴∠EFG又∵AB=DE=1，∠∴△CBA∴∠BAC∴∠BAC即有：∠BAC故答案为：45°．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，求得△EGF【题型3利用相似三角形的判定与结论求长度】【例3】（2023·黑龙江绥化·校考三模）在▱ABCD中，AH⊥BD，垂足为H，∠ABD为锐角，且∠ABH=∠DAH，若AH【答案】10或15或7【分析】如图，设DH=【详解】解：当AH在△ABD内部时，如图，设DH∵AH∴∠AHB∵∠ABH∴△DAH∴DHAH∴x6整理得：x2解得x=2或3∴DH=2或∴BC=AD当AH在△ABD外部时，设DH∵△HAB∴A∴6=x∴x∴x=1，∴DH=1∴BC故答案为10或15或7．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式31】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，已知AB=12，如果将矩形沿直线l翻折后，点B落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB、BC交于点M、N，如果BN=6.5，那么AM的长为

【答案】9【分析】连接NE，构造直角三角形，依据折叠的性质以及勾股定理，即可得到CN的长以及BC的长，再根据△BMN∽△CBE，得到比例式求出BM【详解】解：如图，连接NE，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB∵E为CD∴CE∵将矩形沿直线l翻折后，点B落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB、BC交于点M、N，∴MN⊥BE在Rt△CNE中，∴AD∵∠MBE+∠BMN∴∠BMN又∵∠NBM∴△BMN∴BMBC=BN∴BM∴AM故答案为：94

【点睛】本题主要考查了折叠问题、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理和相似三角形的性质进行计算求解．【变式32】（2023·河南郑州·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,6，B-10,0，把△AOB绕点O按顺时针方向旋转，点A，B的对应点分别是A'，B'，连接AB'．当点B'

【答案】18【分析】过点B'作B'D⊥OB于点D，过点A'作A'C⊥OC于点C，易得AB'=OD【详解】如图，过点B'作B'D⊥OB于点D，过点A

∵AB'⊥y轴，∴四边形AB∴AB由题意可知，OA=6，OB∵A∴∠B由旋转的性质知，OB'=在Rt△B'∵∠A∴∠BO又∵∠A∴∠BO∴△B∴B'O解得OC=185∴点A的对应点A'的坐标为18故答案为：185【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的旋转等知识【变式33】（2023·安徽合肥·校联考模拟预测）等腰直角ΔABC与等腰直角ΔCDE的直角顶点C重合．DE与AC相交于F，CD的延长线交AB于G，连接BD．

(1)如图1，求证：AC⋅(2)如图2，B，D，E在同一条直线上，取AB的中点M，分别连接MC，ME，求证：MC=ME(3)如图3，过A作BD的平行线，过B作AC的平行线，两线相交于H，且点H在CG的延长线上，若BC=2BH，求【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AH【分析】（1）通过证明ΔECF∽ΔBCG，得到CECF（2）连接AE，由SAS证明ΔACE≌ΔBCD，得到∠EAC（3）延长BD与AC交于点P，得到四边形APBH为平行四边形，从而得到BH=AP，AH=BP，通过等量代换可得四边形PCBH为矩形，得到BP=CH，再设CD【详解】（1）证明：∵ΔABC、ΔCDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠∴∠E=∠ABC=45∵∠ECA∴∠ECA在ΔECF和ΔBCG中，∠E∴ΔECF∴CE又∵AC∴CECF=（2）连接AE，

在ΔACE和ΔBCD中，AC=∴ΔACE≌ΔBCD（∴∠EAC∵∠DBC+∠BFC=90∴∠EAC+∠AFE=在RtΔAEB中，∵点M为AB中点，∴EM=又∵CM=∴MC=（3）延长BD与AC交于点P，连接PH，

∵AH∥BD，∴四边形APBH为平行四边形，∴BH=AP，AH又∵BC=2BH，∴AC=2AP，即点P为∵PC=BH，∴四边形PCBH为平行四边形，又∵∠ACB∴▱PCBH∴BP=CH，点设CD=x，则CH=∴AHDE【点睛】本题是三角形与四边形的综合题目，考查了相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形及矩形的判定性质，综合性较强，熟练掌握相关的性质及判定，构造合理的辅助线是解决本题的关键．【题型4利用相似三角形的判定与结论求面积】【例4】（2023秋·安徽合肥·九年级校考期中）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE

A．1:3 B．1:4 C．2:5 D．3:8【答案】D【分析】先证明△CAF∽△CBA，再利用相似三角形的性质求出AC=45，得出S【详解】解：∵BE=7，EF=4，∴BC=7+4+5=16∵∠B=∠FAC∴△CAF∴CACB∴CA∵CA>0∴AC=4∴ACBC∴S△同理可证△BDE∵BD=∴BDBC∴S△∴四边形ADEF与△ABC的面积比=故选D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．【变式41】（2023·浙江温州·校联考三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=kx+203过点A5,0，C2,a，与y轴交于点B．点D，

(1)求k和a的值；(2)当∠AEC与△CDE中的一个角相等时，求线段(3)如图2，连接BE交CD于点H，将点B绕点H逆时针旋转90°至点B'，若点B'到x轴的距离恰好等于OD的长，求【答案】(1)k=-4(2)OD=2或(3)S【分析】（1）将A5,0代入y=kx+203求出k的值，得出一次函数解析式，将（2）分三种情况：当∠AEC=∠DCE时，当∠（3）连接B'H，B'D，过点H作HN⊥B'D于点N，HM⊥BD于点M，证明△BMH≌△B'NHAAS，得出MH=HN，证明四边形MDNH为正方形，得出∠HDM=∠HDN【详解】（1）解：将A5,0代入y解得k=-将x=2代入y=-4（2）解：①当∠AEC=∠DCE时，点E②当∠AEC=∠CDE时，此时CE⊥OA，过点C

∵C2,4∴OE=CF=2∵CD⊥∴∠CDE∴∠CFD∴∠FDC∴∠FDC∴△CDF∴CFDF设OD=x，则即24-解得：x1经检验x=2∴OD=2③当∠AEC=∠DEC时，作

∵EC平分∠DEG，CD⊥ED∴CD=∵DF=∴OD=综上分析可知，OD=2或OD（3）解：连接B'H，B'D，过