3.9 解决问题（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学五年级下册同步培优讲义（人教版）

3.9解决问题第一部分第一部分学问清单高级单位转换成低级单位，用乘进率；低级单位转换成高级单位，用除以进率。在解决有关体积的实际问题时,要看清已知条件的单位是否统一,假如不统一,要先统一单位,再进行计算。其次部分其次部分典型例题例1：如图是若干个小正方体拼成的大正方体，要给它的表面涂色，没有涂色的小正方体有（

）个。A．8 B．12 C．18 D．24答案：A分析：没有涂色的小正方体在大正方体的中间，大正方体棱长－2＝中间正方体的棱长，依据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出没有涂色的小正方体个数。详解：4－2＝2（个）2×2×2＝8（个）没有涂色的小正方体有8个。故答案为：A例2：假如把长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，那么它的体积扩大到原来的（

）倍。A．3 B．3000 C．27答案：C分析：假设长方体长为3、宽为2、高为1，长、宽、高都扩大到原来的3倍，依据长方体的体积＝长×宽×高，求出扩大前后长方体的体积，进而求出它们之间的关系。详解：假设长方体长为3、宽为2、高为1，3×2×1＝63×3＝92×3＝61×3＝39×6×3＝162162÷6＝27假如把长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，那么它的体积扩大到原来的27倍。故答案为：C例3：一个长6厘米的长方体木块，刚好能截成两个相同的正方体，每个正方体的表面积是()，体积是()。答案：54平方厘米/54cm227立方厘米/27cm3分析：一个长6厘米的长方体木块，刚好能截成两个相同的正方体，可知正方体的边长是3厘米，依据S＝6a2，V＝a3解答。详解：依据题意可知正方体边长是3厘米表面积：6×32＝6×9＝54（平方厘米）体积：33＝3×3×3＝27（立方厘米）每个正方体的表面积是54平方厘米，体积是27立方厘米。例4：从两个棱长为6厘米的正方体木块上，分别锯掉长6厘米，宽和高都是1厘米的小长方体木块，得到甲乙两种外形的木块，如图所示。则甲的体积()乙的体积，甲的表面积()乙的表面积。（填写“＞”“＜”或“＝”）答案：＝＜分析：依据题意可知，两个正方体的体积相等，都锯掉一个长是6厘米，宽和高都是1厘米的长方体，依据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，两个正方体锯掉的体积都相等的长方体，即两个正方体都减去一个相同的体积，甲的体积＝乙的体积；甲正方体锯掉一个长方体，削减两个长6厘米，宽1厘米的长方形面积，又增加两个同样的面积，同时加又削减两个边长1厘米的正方形面积，所以变面积比原来削减了两个正方形的面积；乙正方体锯掉一个长方体，削减一个长6厘米，宽1厘米的长方形面积和两个边长1厘米的正方形面积；同时又增加了三个长6厘米，宽1厘米的长方形面积，即乙增加的面积是：6×1×3－6×1－1×1×2＝10平方厘米，所以甲的表面积小于乙的表面积。据此解答。详解：依据分析可知，从两个棱长为6厘米的正方体木块上，分别锯掉长6厘米，宽和高都是1厘米的小长方体木块，得到甲乙两种外形的木块，如图所示。则甲的体积＝乙的体积，甲的表面积＜乙的表面积。：基础过关练一、选择题1．用铁丝焊接一个长方体框架，同一顶点上的三根铁丝的长度分别是20厘米、15厘米、12厘米，则这个长方体框架的铁丝共长（

）厘米。A．47 B．188 C．3602．如图，一个长和宽均为10cm，高为4cm的长方体容器中盛有一些水，水深3cm。现将一块棱长为5cm的正方体铁块放入容器中，并使其底面与容器底面接触，那么容器中的水（

）。

A．有部分溢出 B．不会溢出 C．是否溢出不能确定3．李师傅方案用5块玻璃（如图）粘成一个无盖鱼缸。假如接缝处都要涂上玻璃胶，涂胶的长度至少是（

）分米。A．40 B．38 C．60 D．424．（如图）用的小正方体拼成一个长方体后，从前面、右面看到的图形。这个长方体的体积是（

）。（图中每个小方格的面积是）

A． B． C．5．一个长方体被挖掉一小块（如图），下面说法正确的是（

）。

A．表面积不变，体积变小 B．表面积变大，体积不变C．表面积变大，体积变小 D．表面积不变，体积变大6．一个长为20厘米的长方体，按图中的横截面切成两段，表面积增加了40平方厘米，原来长方体的体积是（

）立方厘米。A．1600 B．800 C．400 D．200二、填空题7．如图，用棱长为2cm的小正方体搭成一个魔方，角上少了一个小正方体。现在这个魔方的体积是()cm3，表面积是()cm2。8．一根长2米的长方体木料，沿着横截面将它锯成4段，表面积增加24平方分米，这根木料的体积是()立方分米。9．一个长方体的表面积是360平方厘米，它恰好可以切成两个相同的正方体。每个正方体的体积是()立方厘米。10．如图分别是长方体纸盒的左面和前面，那么这个纸盒的底面积是()平方厘米，容积是()立方厘米（厚度忽视不计）。11．一根8米长的方钢，把它截成3段时，表面积增加了64平方厘米，原来方钢的体积是()立方厘米。三、推断题12．用8个同样的小正方体拼成一个大正方体，从中拿出一个小正方体后，大正方体的体积削减了，但是表面积不变。()13．用2个棱长为1厘米的小正方体拼成一个长方体，长方体的体积是2立方厘米，表面积是12平方厘米。()14．假如一个长方体和一个正方体的底面周长相等，高也相等，那么正方体的体积肯定大于长方体的体积。()15．若一个水池正好能装10m3的水，则10m3既是水池的容积，又是水的体积。()16．把3个相同的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积削减了，但体积不变。()：培优提升练四、计算题17．计算下面图形的体积。（单位：厘米）（1）

（2）五、解答题18．建筑工地要打40根水泥方柱，每根方柱横截面的面积是4.5平方分米，长是4米。这些水泥方柱一共是多少方？19．一个长方体容器，从里面量长30厘米，宽20厘米，水深10厘米，放入一个石头后（全部没过），此时水深12.5厘米，那么这块石头的体积是多少立方厘米？20．修路工人把10.5立方米的沙子铺在一段长25米、宽3米的路上，可以铺多厚？（用方程解）21．王叔叔从开车上班改为骑自行车上班，这样一周可以少用15升汽油。依据少用1升汽油可以削减碳排放量620克计算，王叔叔一周可以削减碳排放量多少克？22．五班级老师用一个从里面量长6分米，宽和高都是4分米的容器装饰办公室。他们在容器内倒进3分米高的水，再放进一块5立方分米的石头，这时容器内所装物体的体积是多少立方分米？23．下图是李师傅为小明做的一个底面为正方形，内高是20厘米的无盖玻璃容器。

（1）把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，再把一个苹果沉入容器（苹果被水全部沉没），结果水面上升了3厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？（2）制作这个玻璃容器至少需要玻璃多少平方厘米？

1．B分析：依据长方体的特征可知，相交于一个顶点的三条棱分别是长方体的长、宽和高，再依据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此计算解答。详解：（20＋15＋12）×4＝47×4＝188（厘米）则这个长方体框架的铁丝共长188厘米。故答案为：B2．B分析：由题意可知，设铁块入水后的高度为xcm，依据等量关系：原来水的体积＋铁块入水的体积＝放入铁块后水的体积，据此求出铁块入水后的高度，若铁块入水后的高度高于容器的高度，则水会溢出；反之，则不会溢出。详解：解：设铁块入水后的高度为xcm。10×10×3＋5×5×x＝10×10×x300＋25x＝100x300＋25x－25x＝100x－25x75x＝30075x÷75＝300÷75x＝44＝4则容器中的水不会溢出。故答案为：B点睛：本题考查正方体和长方体的体积，求出铁块入水后水的高度是解题的关键。3．A分析：看图，围成的无盖鱼缸的长、宽、高分别是60厘米、40厘米和50厘米。由于是无盖的鱼缸，那么涂上玻璃胶时，上面不涂，只需要涂2条长、2条宽以及4条高。据此列式解题即可。详解：60×2＋40×2＋50×4＝120＋80＋200＝400（厘米）400厘米＝40分米所以，涂胶的长度至少是40分米。故答案为：A点睛：本题考查了长方体有关棱长的计算，解题关键是要明确是求哪一些棱长的和。4．A分析：的小正方体的棱长为1cm，由前面和右面看到的图形可知，这个长方体的长为1×3＝3cm，宽和高都为2×1＝2cm，再依据长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可。详解：1×3＝3（cm）2×1＝2（cm）3×2×2＝6×2＝12（cm3）则这个长方体的体积是12。故答案为：A点睛：本题考查长方体的体积，明确该长方体的长、宽、高分别是多少是解题的关键。5．C分析：从图中可知，在没挖之前，此处外露2个面；挖掉一小块后，此处外露4个面，此时表面积比原来多了2个面，表面积变大。从图中可知，长方体挖掉一小块后，体积就削减这一小块的体积，体积变小。详解：一个长方体被挖掉一小块，表面积比原来多了2个面，体积比原来削减了挖掉的这一小块的体积，所以表面积变大，体积变小。故答案为：C点睛：关键是求有缺口的立体图形的表面积时，要留意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多或少了，进而得出表面积变化。6．C分析：依据题意可知，比这个长方体横截成两段，表面积增加两个截面的面积，据此可以求出长方体的底面积，再依据长方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。详解：40÷2×20＝20×20＝400（立方厘米）则原来长方体的体积是400立方厘米。故答案为：C。点睛：此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的机敏运用，关键是熟记公式。7．208216分析：依据正方体的体积、表面积的意义，从正方体的顶点上挖掉一个小正方体，由于这个小正方体原来外露3个面，挖掉这个小正方体后又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积与原来的表面积不变，体积削减了一个棱长为2cm的小正方体的体积，依据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，据此解答即可。详解：2×3＝6（cm）6×6×6－2×2×2＝216－8＝208（cm3）6×6×6＝36×6＝216（cm2）则现在这个魔方的体积是208cm3，表面积是216cm2。8．80分析：锯成4段，锯了（4－1）次，每锯1次，增加2个横截面，也就是长方体的底面积，用锯的次数乘2，可得总共增加了多少个底面积，用增加的总表面积除以底面积的个数，可得1个底面积是多少平方分米；由高级单位米转化成低级单位分米，乘进率10，将长方体的高转化成分米为单位，依据长方体体积＝底面积×高，代入数据求值即可。详解：由分析可得：（4－1）×2＝3×2＝6（个）24÷6＝4（平方分米）2米＝2×10＝20分米4×20＝80（立方分米）综上所述：一根长2米的长方体木料，沿着横截面将它锯成4段，表面积增加24平方分米，这根木料的体积是80立方分米。点睛：本题考查了通过长方体横截面求长方体的体积，解题的关键是明精确     一次会增加两个面，然后横截面等于底面积。9．216分析：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，它恰好可以切成两个相同的正方体，则这个长方体的宽、高相等，长是宽、高的两倍，据此可得出正方体的棱长，依据正方体＝棱长×棱长×棱长，进而得出答案。详解：360÷（4×2＋2）＝360÷10＝36（平方厘米）由于6×6＝36，所以正方体的棱长为6厘米，则正方体的体积为：6×6×6＝216（立方厘米）即每个小正方体的体积是216立方厘米。点睛：本题主要考查的是长方体表面积、正方体体积的应用，解题的关键是娴熟把握计算公式，进而得出答案。10．54216分析：依据长方体的开放图知，这个长方体的长是9厘米，宽6厘米，高是4厘米，求这个纸盒的底面积，依据长方形的面积＝长×宽解答，且容积＝底面积×高，把数据代入公式解答。详解：9×6＝54（平方厘米）9×6×4＝54×4＝216（立方厘米）则这个纸盒的底面积是54平方厘米，容积是216立方厘米。点睛：此题主要考查长方体的底面积和体积公式的机敏运用。11．12800分析：把长方体方钢截成3段后，表面积比原来增加了64平方厘米，增加的是这个长方体方钢4个横截面的面积，用64除以4，即可求出长方体横截面的面积，再依据长方体的体积公式：V＝Sh，进行解答即可。详解：8米＝800厘米64÷4×800＝16×800＝12800（立方厘米）即原来方钢的体积是是12800立方厘米。点睛：此题考查长方体的体积公式的计算应用，抓住长方体的切割特点，求出长方体的底面积是解决本题的关键。12．√分析：由于2的立方是8，所以用8个同样大的小正方体，拼成了一个大正方体，这个大正方体的棱长是小正方体棱长的2倍，也就是每个小正方体都在顶点处，所以从中任意取走一个小正方体，剩余部分的表面积与原来的大正方体的表面积相等，体积比原来削减了一个小正方体的体积。据此解答。详解：由分析可知：用8个同样的小正方体拼成一个大正方体，从中拿出一个小正方体后，大正方体的体积削减了，但是表面积不变。说法正确。故答案为：√点睛：本题考查正方体的表面积和体积，明确表面积和体积的定义是解题的关键。13．×分析：用2个棱长为1厘米的小正方体拼成一个长方体，则该长方体的长为1×2＝2厘米，宽和高都是1厘米，依据长方体的体积公式：V＝abh，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此进行计算即可。详解：1×2＝2（厘米）2×1×1＝2×1＝2（立方厘米）（2×1＋2×1＋1×1）×2＝（2＋2＋1）×2＝5×2＝10（平方厘米）则长方体的体积是2立方厘米，表面积是10平方厘米。原题干说法错误。故答案为：×点睛：本题考查长方体的体积和表面积，熟记公式是解题的关键。14．√分析：长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，假设长方体和正方体的底面周长都是24厘米，高都是6厘米，分别确定长方体长、宽、高，正方体棱长，求出体积，比较即可。详解：假设长方体和正方体的底面周长都是24厘米，高都是6厘米。长方体的长＋宽＝24÷2＝12（厘米）假如长是10厘米，那么宽是2厘米。正方体的底面边长是24÷4＝6（厘米）长方体的体积是10×2×6＝120（立方厘米）正方体的体积是6×6×6＝216（立方厘米）216＞120所以一个长方体和一个正方体的底面周长相等，高也相等，正方体的体积肯定大于长方体的体积。因此题干中的结论是正确的。故答案为：√点睛：关键是把握并机敏运用长方体和正方体体积公式。15．√分析：物体所占空间的大小叫做物体的体积；容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。详解：若一个水池正好能装10m3的水，则10m3既是水池的容积，又是水的体积。原题说法正确。故答案为：√点睛：本题考查体积和容积的意义及应用。16．√分析：依据题意，把3个相同的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来削减正方体的4个面的面积，拼成的长方体的体积等于3个正方体的体积之和，据此推断。详解：把3个相同的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积削减了，但体积不变。原题说法正确。故答案为：√点睛：本题考查立体图形的拼接，明确把小正方体拼成一个长方体，表面积会变化，体积不变。17．（1）260立方厘米；（2）187立方厘米分析：（1）长方体体积＝长×宽×高；（2）组合体的体积＝长方体体积＋正方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。详解：（1）13×5×4＝260（立方厘米）（2）8×4×5＋3×3×3＝160＋27＝187（立方厘米）18．7.2方分析：依据1平方米＝100平方分米，将4.5平方分米化为0.045平方米，然后依据长方体的体积＝横截面积×长，用0.045×4即可求出1根水泥方柱的体积，再乘40即可求出全部水泥方柱的体积，最终依据1立方米＝1方，将单位换算成方。详解：4.5平方分米＝0.045平方米0.045×4×40＝7.2（立方米）7.2立方米＝7.2方答：这些水泥柱一共是7.2方。点睛：本题主要考查了长方体体积公式的机敏应用，要娴熟把握相关公式。19．1500立方厘米分析：由题意可知，这块石头的体积等于放入石头后上升部分水的体积，上升部分水的体积＝容器的长×容器的宽×上升部分的水面高度，据此解答。详解：30×20×（12.5－10）＝600×2.5＝1500（立方厘米）答：这块石头的体积是1500立方厘米。点睛：此题考查的目的是理解把握不规章物体体积的测量方法及应用，长方体的体积公式及应用。20．0.14米分析：可以把所铺的道路外形看作是一个长为25米，宽为3米，高（厚）未知的长方体，依据长方体的体积公式（长方体的体积＝长×宽×高），求出长方体的高即道路的厚度。详解：解：设可以铺x米。3×25x＝10.575x＝10.575x÷75＝10.5÷75x＝0.14答：可以铺0.14米厚。点睛：本题考查长方体的体积公式在实际生活中的应用以及依据等量关系列方程解决问题。21．9300克分析：用一周少用汽油容量乘少用1升汽油可以削减碳排放量重量，求出一周可以削减碳排放量总重量。详解：15×620＝9300（克）答：王叔叔一周可以削减碳