3.3 2、3、5的倍数特征（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学五年级下册同步培优讲义（苏教版）

3.32、3、5的倍数特征第一部分第一部分学问清单个位上是5或0的数是5的倍数；个位上是2，4，6，8或0的数都是2的倍数。各位上数的和是3的倍数的数都是3的倍数。6的因数有1,2,3,6,这几个因数之间的关系是：1+2+3=6。像6这样的数叫做完全数（也叫做完善数）。整数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数叫作奇（jī）数。其次部分其次部分典型例题例1：一个三位数41，当里填（

）时，它既是3的倍数又是2的倍数。A．6 B．4 C．2答案：B分析：3的倍数特征：一个数的各个数位上的数相加之和是3的倍数，则这个数是3的倍数。2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除。已知这个三位数的百位是4，十位是1，依据2、3倍数定义就算可得出答案。详解：这个三位数是2的倍数，则它的个位上的数可能是0、2、4、6、8；它又是3的倍数，则这几个数分别与4、1的和，只有，能被3整除，即这个三位数是414。故答案为：B例2：依据要求填一填。15

30

28

45

201

48

90093

76

57

120

92

36

720(1)3的倍数有()。(2)既是3的倍数又是2的倍数的数有()。(3)同时是2、3和5的倍数的数有()。答案：(1)15、30、45、201、48、900、93、57、120、36、720(2)30、48、900、120、36、720(3)30、900、120、720分析：2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。2、5的倍数特征：个位上是0的数。3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。详解：（1）3的倍数有15、30、45、201、48、900、93、57、120、36、720。（2）既是3的倍数又是2的倍数的数有30、48、900、120、36、720。（3）同时是2、3和5的倍数的数有30、900、120、720。例3：既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上必定是1。()答案：×分析：2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，5的倍数特征：个位是0、5的数是5的倍数，据此即可知道既是2的倍数，又是5的倍数，它的个位是0，据此即可推断。详解：由分析可知：既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上必定是0，原说法错误。故答案为：×点睛：本题主要考查2和5的倍数特征，娴熟把握它们的特征并机敏运用。例4：63个小伴侣参与表演，假如每5个小伴侣分成一组，那么至少再来几个小伴侣才能正好分完？假如既能平均分成五组又能平均分成两组，那么至少要去掉几个小伴侣？答案：2个；3个分析：5个小伴侣分成一组，要求正好分完，则小伴侣的个数是5的倍数，即个位上是0或者5，比63大的个位上是5的数最小是65，所以至少再来65－63＝2（个）小伴侣。既能平均分成五组又能平均分成两组，则小伴侣的个数是2和5的倍数，即个位上是0，比63小的个位上是0的数最大是60，所以至少要去掉63－60＝3（个）小伴侣。据此解答。详解：(个）（组）（个）(个)（个）答：假如每5个小伴侣分成一组，那么至少再来2个小伴侣才能正好分完；假如既能平均分成五组又能平均分成两组，那么至少要去掉2个小伴侣。：基础过关练一、选择题1．下面四个数中，N是任意自然数，S是0，因数中肯定有2和3的是（

）。A．NSSNS B．NSNSS C．NSSNN D．NNSNS2．一个四位数“1□3□”，既是3的倍数，又有因数5，这样的四位数共有（

）个。A．7 B．6 C．8 D．53．小青用2、3、5、8四张数字卡片摆出的全部四位数（

）。A．肯定是2的倍数 B．肯定是3的倍数 C．肯定是5的倍数4．一个四位数35，它是2和5的倍数，也是3的倍数，这个数最大是（

）。A．3950 B．3959 C．3850 D．37505．100以内既是3的倍数，又是5的倍数，还有因数2的最大的数是（

）。A．95 B．90 C．75 D．996．五（1）班第一小组20名同学围成一圈玩“3的倍数和尾数”这个玩耍，玩耍规章是：从1开头一个一个往后数，遇到3的倍数或个位上是3的数时要说“过”。每人说1次，一圈下来，一共要说（

）次“过”字。A．4 B．5 C．77．在25的方框中填入一个数字，使它是3的倍数，中可以填（

）。A．4 B．5 C．6二、填空题8．请你用下面四张数字卡片按要求组成两位数。0

7

4

5(1)组成的奇数有()，其中最大的是()，最小的是()。(2)组成的数中是2的倍数有()，5的倍数有()。(3)组成的既是2的倍数又是5的倍数的数中，最大的数是()，最小的数是()。9．484是()数（填“奇”或“偶”），至少加上()就是3的倍数，至少减去()就是5的倍数。10．要使601既是2的倍数，又是5的倍数，那么里应当填()。11．283至少减去()可以变为3的倍数，至少加上()可以变为2、3、5的公倍数。12．要使四位数286既是2的倍数又是3的倍数，里可以填()；要使三位数7同时是2、3、5的倍数，它的后两位可以填()。13．同时是2、3、5的倍数的最大四位数是()，最小四位数是()。三、推断题14．既是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是90。()15．4AA0A5这个数肯定是3和5的倍数。()16．既是2的倍数又是5的倍数的数，它的个位上肯定是0。()17．27□既是2的倍数，又是3的倍数，□中最大可填8。()18．一个不为0的自然数的个位是0，这个数肯定既是2的倍数又是5的倍数。()。：培优提升练四、解答题19．有一个三位数，它百位上的数字与十位上的数字相同，已知这个三位数既是3的倍数，又有因数5，则这个三位数可能是多少？（列举全部状况）20．有三个连续的自然数，它们的和是三位数，且是2和5的倍数，这个三位数最小是多少？此时这三个连续的自然数分别是多少？想一想，三个连续的自然数的和是几的倍数？21．摆一摆：从0、1、3、8这4个数字卡片中选出3个，按要求组成一个三位数，并说说你的想法。（1）组成的数是3的倍数。（2）组成的数是偶数，同时有因数3和5。22．甲、乙两人做抽卡片玩耍，每人从卡片2、4、6、7中任意抽取一张。假如它们的和能被2整除，则甲获胜；假如它们的和能被3整除，则乙获胜。假如和既能被2整除又能被3整除，或者既不能被2整除又不能被3整除则重来。谁胜的可能性大？为什么？23．如图是一张4×4的方格图，它由16个小正方形组成，每个小正方形里都写了一个数。（1）在这个方格图上框出形，那么框出的4个数的和一共有多少种？其中和最大是多少？最小呢？（2）在这个方格图上框出形，那么框出的5个数的和一共有多少种？每5个数的和肯定是15的倍数吗？为什么？36912151821242730333639424548

1．D分析：因数中肯定有2和3，说明这个数同时是2和3的倍数。2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。详解：A．NSSNS，S是0，是2的倍数，N＋N＝2N，不肯定是3的倍数；B．NSNSS，S是0，是2的倍数，N＋N＝2N，不肯定是3的倍数；C．NSSNN，N是任意自然数，不肯定是2的倍数；D．NNSNS，S是0，是2的倍数，N＋N＋N＝3N，是3的倍数。因数中肯定有2和3的是NNSNS。故答案为：D2．A分析：5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。详解：一个四位数“1□3□”，既是3的倍数，又有因数5，这个四位数的个位数是0或5。当个位数是0时，1＋3＋0＝4比4大的3的倍数有6、9、12…6－4＝29－4＝512－4＝8百位数可以是2、5、8，有3个；当个位数是5时，1＋3＋5＝99是3的倍数，比9大的3的倍数有12、15、18…9－9＝012－9＝315－9＝618－9＝9百位数可以是0、3、6、9，有4个。3＋4＝7（个）一个四位数“1□3□”，既是3的倍数，又有因数5，这样的四位数共有7个。故答案为：A点睛：娴熟把握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。3．B分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数。各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。据此分析解题。详解：用2、3、5、8四张数字卡片摆出的四位数个位上不肯定是2或8，也可能是3或5，那么摆成的全部四位数不肯定是2的倍数；同理，摆成的四位数个位不肯定是5，也可能是2、3、8，那么摆成的全部四位数不肯定是5的倍数；2＋3＋5＋8＝18，18是3的倍数，那么不论怎么摆，用2、3、5、8四张数字卡片摆出的全部四位数肯定是3的倍数。故答案为：B点睛：本题考查了2、3、5的倍数，把握2、3、5的倍数特征是解题的关键。4．D分析：3的倍数特征：各位数之和能被3整除；同时是2、3、5的倍数的数个位上是0，并且各个数位上数的和是3的倍数，据此写出符合要求的数，据此解答即可。详解：3□5□能被2、3、5整除，说明个位上的数是0当个位上的数是0时，那么百位上的数可以是1、4、7，即3150、3450、3750；这个数最大是3750。故答案为：D点睛：解决本题的关键是明确同时是2、3、5的倍数的数个位上是0，并且各个数位上数的和是3的倍数。5．B分析：3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0、5的数是5的倍数；2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，同时是2、3、5的倍数，个位上的数字肯定是0。由此求解。详解：依据分析可知，100以内既是3的倍数，又是5的倍数，还有因数2的最大的数是90。故答案为：B点睛：娴熟把握2、3、5的倍数特征是解答本题的关键。6．C分析：依据3的倍数的特征是：各个数位的数字之和是3的倍数答：3的倍数的特征是各个数位的数字之和是3的倍数；据此选择。详解：20以内是3的倍数和尾数是3的数有：3、6、9、12、13、15、18，所以每人说1次，一圈下来，一共要说7次“过”字。故答案为：C7．B分析：3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。详解：A．假如是4，则2＋4＋5＝11，11不是3的倍数，不符合题意；B．假如是5，则2＋5＋5＝12，12是3的倍数，符合题意；C．假如是6，则2＋6＋5＝13，13不是3的倍数，不符合题意。故答案为：B8．(1)47、45、57、757545(2)70、74、50、54、4040、45、50、70、75(3)7040分析：依据奇数与偶数、质数与合数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；能被5整除的数末尾是0或5是5的倍数；既是2的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上是0；据此写出符合条件的最小的数和最大的两位数即可。详解：（1）组成的奇数有47、45、57、75，其中最大的是75，最小的是45。（2）组成的数中是2的倍数有70、74、50、54、40，5的倍数有40、45、50、70、75。（3）组成的既是2的倍数又是5的倍数的数中，最大的数是70，最小的数是40。9．偶24分析：偶数是指能被2整除的数，奇数是指不能被2整除的数。3的倍数特征：一个数的每一个数位上的数相加的和是3的倍数，则这个数是3的倍数。5的倍数特征：一个数的个位上是0或5，则这个数是5的倍数。据此可计算得出答案。详解：，即484能被2整除，是偶数。，即484至少加上2就是3的倍数。，即484至少减去4就是5的倍数。10．0分析：2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。2、5的倍数特征：个位上是0的数。详解：要使601既是2的倍数，又是5的倍数，那么里应当填0。11．117分析：3的倍数特征：各个位上数字相加的和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数；据此解答。详解：2＋8＋3＝1313－1＝12，12是3的倍数。所以283至少减去1可变为3的倍数。分析可知，个位数字为0，283＋7＝290，2＋9＝11，则290不是3的倍数；283＋17＝300，3＋0＋0＝3，则300是3的倍数。所以，283至少加上17可变为2、3、5的公倍数。12．2、820、50、80分析：2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。2、5的倍数特征：个位上是0的数。3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。详解：要使四位数286既是2的倍数又是3的倍数，先考虑是2的倍数，那么个位必需是0、2、4、6、8；其中2＋8＋6＋2＝18，是3的倍数；2＋8＋6＋8＝24，是3的倍数，所以里可以填2、8；要使三位数7同时是2、3、5的倍数，先考虑同时是2、5的倍数，那么个位肯定是0；还要满足7＋＋0是3的倍数，由于7＋2＋0＝9，是3的倍数；7＋5＋0＝12，是3的倍数；7＋8＋0＝15，是3的倍数；所以它的后两位可以填20、50、80。13．99901020分析：依据题意，这个四位数同时是2、3、5的倍数，由既是2的倍数又是5的倍数的数末尾是0，可知这个四位数的末尾是0；当这个四位数最大时，千位和百位上都是9，即99□0，要使99□0是3的倍数，□里最大取9；当这个四位数最小时，千位上是1，百位上是0，即10□0，要使10□0是3的倍数，□里最小取2。据此解答。2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。2、5的倍数特征：个位上是0的数。3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。详解：同时是2、3、5的倍数的最大四位数是9990，最小四位数是1020。14．√分析：2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，既是2和5的倍数，又有因数3，这个数的个位必需是0，据此解答。详解：依据分析可知，既是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是90。原题干说法正确。故答案为：√点睛：娴熟把握2、3、5的倍数特征是解答本题的关键。15．√分析：依据3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数的数是3的倍数；依据5的倍数的特征：个位上是0，5的数是5的倍数，据此解答。详解：4＋A＋A＋0＋A＋5＝4＋3A＋5＝9＋3A9＋3A为3的倍数，4AA0A5末位为5，是5的倍数，因此4AA0A5这个数肯定是3和5的倍数，原题说法正确。故答案为：√点睛：此题主要考查了3、5的倍数特征。16．√分析：由于5的倍数的特点是：个位上的数是0或5；2的倍数的特点是：个位上的数是0、2、4、6、8的数；所以既是2的倍数又是5的倍数，个位上肯定是0。详解：由分析可知，既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上肯定是0；原题说法正确。故答案为：√点睛：本题考查了2，5倍数的特点，要记住这些特点，并机敏运用。17．×分析：2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可。详解：2＋7＝9，27□既是2的倍数，又是3的倍数，□中可填0、6，最大填6。故答案为：×点睛：关键是把握2和3的倍数的特征。18．√分析：2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位是0或5的数，两个结合在一起，既是2又是5的倍数特征：个位是0的数。详解：依据分析可知，假如这个不为0的自然数的个位是0，那么这个数肯定既是2的倍数又是5的倍数。故答案为：√点睛：此题主要考查同学对2和5的倍数特征的生疏与理解。19．225、330、555、660、990。分析：依据3、5的倍数的特征，一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数肯定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；同时是3和5的倍数的数，个位上是0或5且各位上的数字之和是3的倍数。据此解答。详解：一个三位数，它百位上的数字与十位上的数字相同，已知这个三位数既是3的倍数，又有因数5，可使百位、十位上的数字为1，再令个位上的数分别是0、5，看哪一个数字是3的倍数，同理推导出全部符合条件的数字；则这个三位数可能是225、330、555、660、990。答：这个三位数可能是225、330、555、660、990。点睛：此题考查的目的是理解把握3、5的倍数的特征及应用。20．这个三位数最小是120，此时这三个连续的自然数分别是39、40、41；三个连续的自然数的和是3的倍数。分析：本题考查2、3和5的倍数的特征。设三个连续的自然数分别是a－1、a和a＋1，它们的和是（a－1）＋a＋（a＋1）＝3a，所以任意三个连续的自然数之和肯定是3的倍数。这个三位数同时是2，3和5的倍数，它的个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数，所以这个三位数最小是120，120÷3＝40，这三个连续的自然数分别是39、40、41。详解：设三个连续的自然数分别是a－1、a和a＋1，它们的和是（a－1）＋a＋（a＋1）＝3a，所以任意三个连续的自然数之和肯定是3的倍数。它们的和又同时是2和5的倍数，即个位上的数只能是0，最小的数字组合为：，故同时是2、3和5的倍数的最小三位数是120。中间的数为：120÷3＝40，则前一个数为：40－1＝39，后一个数为：40＋1＝41。答：这个三位数最小是120，此时这三个连续的自然数分别是39、40、41，三个连续的自然数的和是3的倍数。21．（1）138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；（2）810、180分析：（1）3的倍数特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数；（2）要求组成的数是偶数，同时有因数3和5，也就是组成的数同时是2、3、5的倍数，同时是2、