山东省聊城市2023届高三二模数学试题-附答案

2023年聊城市高考模拟试题数学（二）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．已知集合，若，则（）A．3 B．4 C．5 D．62．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．i B． C．1 D．3．设等差数列的前n项和为，已知是方程的两根，则能使成立的n的最大值为（）A．15 B．16 C．17 D．184．在梯形中，则的余弦值为（）A． B． C． D．5．某正四棱台形状的模型，其上下底面的面积分别为，，若该模型的体积为，则该模型的外接球的表面积为（）A． B． C． D．6．设椭圆的焦点为，点P是C与圆的交点，的平分线交于Q，若，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．7．已知函数满足，若，且，则的值为（）A． B． C． D．8．已知函数（且）有一个极大值点和一个极小值点，且，则a的取值范围为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）A．该平台女性主播占比的估计值为0.4B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.610．已知函数，则（）A．函数是增函数 B．曲线关于对称C．函数的值域为 D．曲线有且仅有两条斜率为的切线11．已知正方体的棱长为2，点E，F，G分别是线段的中点，则（）A．B．平面C．直线与平面所成的角的余弦值为D．过点F且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面的周长为12．设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为的中点．（）A．当时，的斜率为2 B．当时，C．当时，符合条件的直线l有两条 D．当时，符合条件的直线l有四条三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为________．（用数字作答）14．健走是介于散步和竞走之间的一种运动方式，它是一项简单安全，能增强肺活量且有益心脏健康的有氧运动，某运动生理学家对健走活动人群的体脂率（体脂率是指人体内脂肪含量与总体重的比值）做了大量的调查，发现调查者的体脂率X服从正态分布，规定体脂率小于或等于0.17的人的身材为良好身材，若参加健走的人群中有16%的人具有良好身材，则的值约为________．参考数据：则．15．若互不相等的实数m，n，s，t满足，则称m，n，s，t具有“准等比”性质．现从2，4，8，16，32，64，128这7个数中随机选取4个不同的数，则这4个数具有“准等比”性质的概率为________．16．已知曲线，过点的直线交曲线C于M，N两点，O为坐标原点，则的面积的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设数列的前n项和为，已知，且数列是公比为的等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，证明：．18．（12分）随着生活水平的提高，人们对水果的需求量越来越大，为了满足消费者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低酸爽口深受市民的喜爱．某“闹闹”水果店对某品种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：试销单价x（元）34567产品销量y件201615126（1）经计算相关系数，变量x，y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程；（2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望．参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为．19．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若，求面积的最大值．20．（12分）如图，平面平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，且，点G在线段上．（1）若点G为线段的中点，求证：平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长．21．（12分）已知点M为双曲线右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线互相垂直．（1）证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值；（2）已知C的左顶点A和右焦点F，直线与直线相交于点N．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数，设m，n为两个不相等的正数，且．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：．2023年聊城市高考模拟数学（二）参考答案及评分标准一、单项选择题1-4BCAD5-8ADDB二、多项选择题9．AC10．AB11．ACD12．ABD三、填空题13．6014．0.0315．16．四、解答题17．解：（1）因为数列是首项为1，公比为的等比数列，所以，则，从而，两式作差得：，即，所以，则数列是以为首项，以3为公比的等比数列，故数列的通项公式为．（2），．，因为，所以．18．解：（1）由已知得，，，，，贝，．所以“湖南沃柑”销量y（件）关于试销单件x（元）的线性回归方程．（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．因此该样本的残差绝对值依次为0.2，1，1.2，1.4，1.4，所以“次数据”有2个．“次数据”个数X可取0，1，2．．所以X的分布列为：X012P则数学期望．19．解：（1）由正弦定理及得，，即．再由正弦定理可得．由余弦定理得，所以即，故．（2）由及，可得．由得，所以．在中，所以．所以面积．当且仅当，即时等号成立．故面积的最大值为．20．解：（1）连接，交于H，连接．因为G，H分别为的中点，所以且．又且，所以且，所以四边形为平行四边形，从而，又平面平面，所以平面，（2）因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面．因为平面，所以．以点D为坐标原点，分别以，所在直线为x轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系．则，．设，则．设平面的法向量，由得令，则．设平面的法向量，由得令，得．设平面与平面的夹角为，则，解得．从而．故的长度为．21．解：（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线互相垂直，所以其中一条渐近线的斜率为，则，则．所以双曲线C的方程为．设点M的坐标为，则，即．双曲线的两条渐近线，的方程分别为，则点M到两条渐近线的距离分别为，则．所以点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值．（2）存在．①当时，，又N是的中点，所以，所以，此时．②当时．ⅰ）当M在x轴上方时，由，可得，所以直线的直线方程为，把代入得．所以，则．由二倍角公式可得．因为直线的斜率及，所以，则．因为，所以．ⅱ）当M在x轴下方时，同理可得．故存在，使得．22．解：（1）函数定义域为．①当时，在上单调递增，不符合题意．②当时，若在上单调递减；若在上单调递增，所以的最小值为．