向量几何知识点

向量几何知识点向量几何是高等数学中的一门重要分支，主要研究向量和向量空间的性质与应用。向量几何在计算机图形学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。下面是向量几何的详细、专业、全面的知识点：一、向量的概念与性质1、向量的定义向量是一个有大小和方向的量，用箭头表示。向量的起点为原点，终点表示向量所指的位置。2、向量的坐标表示向量的坐标表示就是把向量看做一个有序数组，即（x1，x2，...，xn）或[x1，x2，...，xn]，其中n为向量的维数，xi为向量在第i个坐标轴上的分量。3、向量的长度（模）和方向向量的长度即模，用∥A∥表示。方向用与其同向的单位向量表示。4、向量的加法和减法向量的加法和减法可以分别表示为矩阵加法和矩阵减法。向量的加法可以表示为A+B=(a1+b1，a2+b2，...，an+bn)，向量的减法可以表示为A-B=(a1-b1，a2-b2，...，an-bn)。5、向量的数量积（点积）向量的数量积也叫点积，用A·B表示，定义为A·B=∑AiBi=A1B1+A2B2+...+AnBn。其值是一个标量，符号为正负决定了两个向量之间的夹角。6、向量的向量积（叉积）向量的向量积也叫叉积，用A×B表示，其结果是另一个向量（不同于数量积的标量），它与A和B都垂直，且方向用右手定则决定（即A×B的方向为A和B夹角的垂直平面上与A同向）。7、向量的投影向量的投影就是一个向量在另一个向量上的投影，即一个向量在另一个向量上的投影长度。8、向量的夹角两个向量的夹角定义为它们的数量积除以它们的模的积的反余弦。9、向量的共线和垂直两个向量共线时夹角为0或180度，当且仅当它们的向量积为零。两个向量垂直时，它们的数量积为零。10、向量的单位向量向量的单位向量是和它方向相同，长度为1的向量，可以表示为A/∥A∥。二、向量空间1、向量空间的定义向量空间就是一个由向量组成的集合，其中两个向量之间可以进行加法和数量乘法，且满足一些特定的公理。2、向量空间的公理向量空间的公理包括：（1）加法运算满足交换律、结合律、存在零元素、存在负元素。（2）数乘满足分配律、结合律、数乘1等于本身。3、向量空间的子空间子空间指原向量空间中的一个子集，它也满足向量空间的公理，因此是一个向量空间。4、向量空间的基和维数向量空间的基指可以用它作为线性组合表示所有向量的一组向量。向量空间的维数是它的基的元素个数。三、线性变换1、线性变换的定义线性变换指从一个向量空间到另一个向量空间的变换，满足一些线性性质。2、线性变换的特征线性变换的特征包括：保持向量的加法运算、保持数乘运算、保持零向量不变、满足线性。3、线性变换的矩阵表示线性变换可以表示为一个矩阵，矩阵的列向量为原向量空间的基向量对应的像向量，行向量为像向量空间的基向量对应的像向量。4、线性变换的核和像线性变换的核是指所有被变换到零向量的向量组成的向量空间。线性变换的像是指线性变换作用于原向量空间中所有向量的结果组成的向量空间。5、线性变换的可逆性线性变换可逆当且仅当矩阵表示的线性变换是可逆矩阵。四、向量的应用1、计算机图形学中的应用向量几何在计算机图形学中有着广泛的应用，如三维建模、渲染、动画等。2、工程中的应用向量几何在工程中也有着广泛的应用，如机械设计、运动仿真等。3、物理中的应用向量几何在物理中也有着重要的应用，如运动学、力学