高考数学 考前3个月（上）专题复习 专题五 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线配套限时规范训练

第二讲椭圆、双曲线、抛物线（推荐时间：50分钟）一、选择题1．(·沧州模拟)抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是 ()A.eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．8 D．－82．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则椭圆的离心率是 ()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为 ()A．－2 B．2C．－4 D．44．已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于 ()A．11 B．10C．9 D．165．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线eq\f(x2,a)－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是 ()A.eq\f(1,25) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,3)6．(·广东)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线 B．双曲线C．椭圆 D．圆7．(·山东)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 ()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1D.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝18．从双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线l，切点为T，且l交双曲线的右支于点P.若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，则|OM|－|TM|等于 ()A.eq\f(b－a,2) B．b－aC.eq\f(a＋b,2) D．a＋eq\f(b,2)二、填空题9．(·马鞍山调研)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．10．已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为右支上一动点，点Q(1,4)，则|PQ|＋|PF1|的最小值为________．11．已知抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点F恰好是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，且两曲线的公共点的连线过点F，则该椭圆的离心率为________________________________．12．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点O，则k1·k2的值为________________________________________________________________________．三、解答题13．(·天津)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为－eq\f(1,2)，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>eq\r(3).14．(·北京)已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线．

答案1．B2．D3．D4．A5．B6．A7．A8．B9．410．911.eq\r(2)－112．313．(1)解设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.①由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝eq\f(y0,x0＋a)，kBP＝eq\f(y0,x0－a).由kAP·kBP＝－eq\f(1,2)，可得xeq\o\al(2,0)＝a2－2yeq\o\al(2,0)，代入①并整理得(a2－2b2)yeq\o\al(2,0)＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，所以椭圆的离心率e＝eq\f(\r(2),2).(2)证明方法一依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0，,\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.))消去y0并整理得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(a2b2,k2a2＋b2)②由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2xeq\o\al(2,0)＝a2.整理得(1＋k2)xeq\o\al(2,0)＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝eq\f(－2a,1＋k2)，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＋4.由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4，因此k2>3，所以|k|>eq\r(3).方法二依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(k2x\o\al(2,0),b2)＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(k2x\o\al(2,0),a2)<1，即(1＋k2)xeq\o\al(2,0)<a2.③由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2xeq\o\al(2,0)＝a2，整理得(1＋k2)xeq\o\al(2,0)＋2ax0＝0，于是x0＝eq\f(－2a,1＋k2).代入③，得(1＋k2)eq\f(4a2,1＋k22)<a2，解得k2>3，所以|k|>eq\r(3).14．(1)解曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m>0，,m－2>0，,\f(8,5－m)>\f(8,m－2).))解得eq\f(7,2)<m<5，所以m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，5)).(2)证明当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋4，,x2＋2y2＝8，))得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×24>0，即k2>eq\f(3,2).设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，x1＋x2＝eq\f(－16k,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(24,1＋2k2).直线BM的方程为y＋2＝eq\f(y1＋2,x1)x，点G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x1,y1＋2)，1)).因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝eq\f(y2－2,x2)，kAG＝－