2024-2025学年中职数学拓展模块一 下册北师大版（2021）教学设计合集

2024-2025学年中职数学拓展模块一下册北师大版（2021）教学设计合集目录一、第七单元复数 1.17.1复数的概念 1.27.2复数的运算 1.37.3复数范围内实系数一元二次方程的解法 1.4本单元复习与测试二、第八单元排列组合 2.18.1计数原理 2.28.2排列 2.38.3组合 2.48.4排列与组合的应用 2.58.5二项式定理 2.68.6简单应用举例 2.7本单元复习与测试三、第九单元随机变量及其分布 3.19.1离散型随机变量及其分布 3.29.2二项分布 3.39.3正态分布 3.4本单元复习与测试四、第十单元统计 4.110.1用样本估计总体 4.210.2一元线性回归 4.3本单元复习与测试第七单元复数7.1复数的概念授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本节课以中职数学拓展模块一下册北师大版（2021）第七单元复数7.1复数的概念为核心，结合学生实际水平，设计以下课程内容：首先，通过引入实际问题引导学生了解复数的产生背景及其在实际生活中的应用，激发学生兴趣；接着，详细讲解复数的定义、表示方法以及复数的四则运算，让学生掌握复数的基本概念和运算方法；最后，通过练习题巩固所学知识，提高学生运用复数解决实际问题的能力。整个教学过程注重理论与实践相结合，以培养学生的数学素养和实际应用能力为目标。核心素养目标学习者分析1.学生已经掌握了实数的概念及其运算，了解了基本的代数运算规则，具备了一定的数学逻辑思维能力。

2.学生对于新鲜事物充满好奇，对于复数这一新概念可能表现出较高的学习兴趣。他们在数学学习上可能具有一定的抽象思维能力，但可能在复数概念的理解和运用上存在个体差异。学生的学习风格可能偏向于直观和操作，对于理论推导可能需要更多的引导和解释。

3.学生可能在理解复数的几何意义、复数的运算规则以及复数在实际问题中的应用等方面遇到困难。此外，对于复数的表示方法、复数与实数之间的联系与区别等概念的理解可能成为学习的挑战。教学方法与策略1.结合讲授法与讨论法，讲解复数的基本概念和运算规则，同时引导学生通过小组讨论深入理解复数的应用场景。

2.设计数学实验，如通过几何画板展示复数的几何意义，以及复数加减法的向量表示，增强直观感受。采用案例研究，分析实际问题中复数的运用，如电路分析中的复数表示。

3.使用多媒体教学资源，如PPT、动态数学软件等，辅助讲解复数概念，提高教学效率和学生兴趣。教学过程1.导入新课

同学们，我们之前学习了许多关于实数的知识，今天我们将学习一个全新的数学概念——复数。复数在数学和工程领域有着广泛的应用，它可以帮助我们解决一些实数无法解决的问题。那么，什么是复数呢？接下来，让我们一起来探索复数的奥秘。

2.讲解复数的基本概念

（1）首先，我要给大家讲解复数的定义。复数是由一个实数和一个虚数构成的，它可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2=-1。

（2）接下来，我们来看一下复数的几何意义。在平面直角坐标系中，我们可以用点(a,b)来表示复数a+bi。其中，a表示点在横轴上的坐标，b表示点在纵轴上的坐标。

3.探究复数的表示方法

（1）现在，我想请大家思考一个问题：如何用几何方法表示复数的加减运算呢？请大家分成小组，互相讨论一下。

（2）经过讨论，同学们得出了结论：复数的加法可以看作是向量加法，即将两个复数对应的向量首尾相接，得到的新向量即为和的向量。减法同理，可以看作是向量减法。

4.学习复数的四则运算

（1）现在，我们知道了复数的表示方法，接下来我们来学习复数的四则运算。首先是加法和减法。请大家翻开课本，看例题7.1。

（2）通过例题，我们可以发现，复数的加法和减法非常简单，只需要将实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）即可。

（3）接下来，我们来看乘法。请大家看例题7.2，分析一下复数乘法的规律。

（4）同学们发现，复数乘法可以转化为实数的乘法，同时要注意i^2=-1的性质。

（5）最后，我们来看除法。请大家看例题7.3，分析一下复数除法的规律。

（6）同学们发现，复数除法可以通过乘以共轭复数的方法，将除法转化为乘法，再按照乘法的规则计算。

5.巩固所学知识

（1）现在，我们已经学习了复数的基本概念和四则运算，下面我们来巩固一下所学知识。请大家做练习题1-5。

（2）同学们，在做题的过程中，有没有遇到什么问题？如果有，请提出来，我们一起讨论解决。

6.总结复数的应用

（1）通过今天的学习，我们知道了复数的概念、表示方法和四则运算。那么，复数在现实生活中有哪些应用呢？

（2）请大家举例说明复数在实际问题中的应用，如电路分析、力学问题等。

7.课堂小结

同学们，今天我们学习了复数的基本概念、表示方法和四则运算。复数作为一种新的数学工具，在许多领域都有广泛的应用。希望大家能够将所学知识运用到实际问题中，解决更多的问题。

8.作业布置

（1）请大家完成课本练习题6-10。

（2）思考一下，复数与实数有什么联系和区别？下节课我们继续讨论。

（3）鼓励同学们课下阅读相关资料，深入了解复数的应用领域，下节课分享给大家。拓展与延伸1.拓展阅读材料

-《复数在工程数学中的应用》

-《复数与物理学》

-《复数在计算机科学中的应用》

-《复数的几何解释及其在教育中的应用》

2.课后自主学习和探究

同学们，本节课我们学习了复数的基本概念、表示方法以及四则运算。为了帮助大家更深入地理解复数的应用，以下是一些拓展学习和探究的建议：

（1）复数在工程数学中的应用

阅读《复数在工程数学中的应用》，了解复数在信号处理、电路分析、力学计算等领域的重要性。尝试找出几个具体的工程问题，分析复数如何简化问题解决过程。

（2）复数与物理学的联系

（3）复数在计算机科学中的应用

查阅《复数在计算机科学中的应用》，了解复数在计算机图形学、算法设计等方面的应用。尝试编写一个简单的程序，使用复数进行图形绘制或者计算。

（4）复数的几何解释

阅读《复数的几何解释及其在教育中的应用》，深入理解复数在平面直角坐标系中的几何意义。通过绘制复数的几何图形，加深对复数概念的理解。

（5）复数在实际问题中的探究

选择一个你感兴趣的领域，如电子电路设计、建筑设计或数据分析，探究复数在这一领域中的具体应用。尝试解决一个实际问题，记录下你的思考过程和解决方案。

（6）复数的历史与发展

研究复数的历史，了解复数的起源和发展过程。探索复数是如何从一种数学工具逐渐成为多个学科领域的基础知识。

（7）复数的数学性质

探究复数的数学性质，如复数的模、辐角、共轭复数等。通过数学软件或编程工具，进行复数的数学实验，验证复数的性质。

（8）复数的扩展学习

在图书馆或互联网上寻找更多的学习资源，如在线课程、学术论文、数学论坛等，进一步扩展你对复数的认识和理解。教学反思这节课我们一起探讨了复数的概念、表示方法和四则运算，我感到同学们对复数有了初步的认识和掌握。但是，在课后我对教学过程进行了反思，发现还有一些地方可以改进，以帮助同学们更好地理解和运用复数。

首先，我觉得在导入环节，我应该更多地激发同学们的好奇心和对新知识的兴趣。虽然我提到了复数在数学和工程领域的重要性，但可能没有足够地引起同学们的共鸣。下次我可以从一些同学们熟悉的问题出发，比如电子游戏中的图像渲染，让同学们感受到复数在解决实际问题中的必要性。

其次，在讲解复数概念时，我意识到可能过于注重理论讲解，而没有足够的时间让同学们动手实践。下次我会准备一些简单的练习，让同学们在实际操作中加深对复数概念的理解。比如，通过在复平面上标出复数的位置，来直观地感受复数的几何意义。

在探究复数的表示方法这一环节，我发现同学们对复数的向量表示有一定的困惑。我应该在讲解时更加清晰地解释复数向量加法的原理，并通过一些具体的例子来帮助同学们理解。此外，我还可以引入一些互动环节，比如小组讨论，让同学们在交流中互相启发，更好地掌握复数的表示方法。

在讲解复数的四则运算时，我觉得可能没有充分强调运算规律的重要性。复数的乘法和除法运算规则是理解复数运算的关键，我应该在教学中更加突出这一点。同时，我也应该提供更多的练习机会，让同学们通过大量的练习来熟练掌握这些运算规则。

另外，我注意到在课堂小结环节，我没有留给同学们足够的时间来反思和总结。下次我会留出更多的时间，让同学们分享他们在本节课中的收获和困惑，这样可以增强他们的学习体验，也有助于我了解他们的学习情况。

最后，我反思了作业的布置。虽然我提供了练习题和拓展阅读材料，但我没有明确指出同学们应该关注的重点。下次我会更具体地指导同学们如何使用这些资源，比如指出哪些练习题是对复数概念理解的巩固，哪些阅读材料可以帮助他们了解复数的应用。内容逻辑关系①复数的概念与性质

-重点知识点：复数的定义、实部和虚部、虚数单位i的性质。

-重点词汇：复数、实部、虚部、虚数单位、共轭复数。

②复数的表示方法

-重点知识点：复数的代数表示、几何表示、极坐标表示。

-重点词汇：代数表示、几何表示、极坐标表示、复平面、模、辐角。

③复数的四则运算

-重点知识点：复数的加法、减法、乘法、除法运算规则。

-重点词汇：加法、减法、乘法、除法、运算规律、复数的乘除运算公式。第七单元复数7.2复数的运算一、设计意图

本节课旨在通过对复数的运算规则的深入学习，帮助学生掌握复数的加法、减法、乘法及除法运算，并能运用这些运算解决实际问题。结合中职学生的认知水平和数学拓展模块一的要求，本节课将重点培养学生的运算能力和逻辑思维能力，为后续复数在专业课程中的应用打下坚实基础。二、核心素养目标分析

本节课的核心素养目标在于培养学生的逻辑思维与数学运算能力。通过复数运算的学习，学生将提升数学抽象能力，能够准确构建复数的概念模型；发展数学推理能力，理解并运用复数运算规则；同时，通过解决实际问题，提高数学应用意识，将复数运算应用于实际问题中，增强解决复杂问题的能力。此外，还将增强学生的自我探究和问题解决能力，促进其独立思考和创新能力的发展。三、重点难点及解决办法

重点：掌握复数的加法、减法、乘法及除法的运算规则，能够熟练进行复数的四则运算。

难点：1.理解并运用复数乘除法的运算方法，特别是复数除法中分母实数化的技巧。

2.在实际问题中灵活运用复数运算解决具体问题。

解决办法：1.对于复数四则运算规则，将通过具体的例题进行讲解和演示，通过逐步引导的方式让学生自行发现和总结运算规律。

2.对于复数乘除法的难点，将采用图示和几何意义解释，帮助学生形象理解运算过程，并通过大量练习巩固。

3.对于实际问题应用，将通过案例分析，让学生在实际情境中运用复数运算，培养其解决问题的能力，并通过小组讨论和师生互动加强理解。四、教学资源

1.软硬件资源：计算机、投影仪、黑板、粉笔

2.课程平台：学校内网教学资源平台

3.信息化资源：数学教学软件、PPT课件、网络教育资源

4.教学手段：小组讨论、案例分析、师生互动、练习题库五、教学过程

1.导入（约5分钟）

激发兴趣：通过提出问题“同学们，你们在生活中有没有遇到过无法用普通数字表示的情况？”引发学生对复数概念的好奇。

回顾旧知：简要回顾实数的运算规则，为学生引入复数运算做好铺垫。

2.新课呈现（约40分钟）

讲解新知：详细介绍复数的定义、表示方法以及复数的加法和减法运算规则。

举例说明：通过例题展示复数加法和减法的具体操作，如计算(3+4i)+(2-5i)和(3+4i)-(2-5i)。

互动探究：引导学生分组讨论，尝试自己解决一些复数加法和减法的题目，并分享解题过程。

讲解新知：接着讲解复数的乘法运算规则，强调复数乘法的几何意义。

举例说明：通过具体例题，如计算(3+4i)×(2+5i)，演示复数乘法的运算过程。

互动探究：学生分组尝试复数乘法运算，并讨论运算中的注意事项。

讲解新知：最后介绍复数的除法运算，包括分母实数化的方法。

举例说明：通过例题，如计算(3+4i)÷(2+5i)，详细解释除法运算的步骤。

互动探究：学生动手实践，解决几个复数除法的题目，并讨论运算技巧。

3.巩固练习（约25分钟）

学生活动：学生独立完成一系列复数四则运算的练习题，包括加法、减法、乘法和除法，以及相关的应用题。

教师指导：在学生练习过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，提供必要的帮助。

4.总结反馈（约10分钟）

学生总结：邀请几名学生总结本节课学到的复数运算规则和技巧。

教师点评：教师对学生的总结进行点评，强调重点和难点，确保学生掌握了本节课的核心内容。

5.作业布置（约5分钟）

布置相关的复数运算练习题作为课后作业，要求学生在规定时间内完成，并提醒学生在作业中注意复数运算的规则和细节。六、学生学习效果

学生学习效果显著，具体体现在以下几个方面：

1.理解并掌握了复数的概念和表示方法，能够正确书写和识别复数的形式。

2.学生能够熟练运用复数的加法和减法运算规则，能够快速准确地计算两个复数的和与差。

3.在复数乘法方面，学生能够理解并运用乘法公式，能够正确计算两个复数的乘积，并理解乘法在复平面上的几何意义。

4.对于复数除法，学生掌握了分母实数化的技巧，能够顺利进行复数的除法运算，并解决相关的应用问题。

5.学生通过大量的练习，提高了复数四则运算的准确性和速度，运算能力得到了显著提升。

6.学生能够将复数运算应用于实际问题中，例如在电子技术、机械工程等领域的问题解决中，能够灵活运用复数运算进行分析和计算。

7.学生的逻辑思维能力和数学推理能力得到了锻炼，能够通过复数运算的案例分析，发展数学抽象能力和问题解决能力。

8.学生在课堂讨论和小组互动中，提高了团队合作能力，学会了分享和交流数学思想，增强了数学学习的兴趣和自信心。

9.学生在学习过程中，形成了良好的学习习惯，如及时复习、主动探究、积极提问等，这些习惯对学生的终身学习具有重要意义。

10.学生在学习复数运算的同时，也加深了对数学文化的理解，认识到数学在科学技术发展中的重要作用，提高了数学素养。七、课堂小结，当堂检测

课堂小结：

本节课我们深入学习了复数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。通过讲解和练习，同学们已经能够理解复数的概念，并掌握了复数的运算规则。加法和减法运算中，我们学习了如何将复数按照实部和虚部分别相加减；在乘法运算中，我们学习了如何运用分配律以及i的平方等于-1的性质；而在除法运算中，我们掌握了通过乘以共轭复数来实现分母实数化的技巧。同学们在课堂上的表现积极，对于复数运算的理解和运用能力有了明显提升。

当堂检测：

为了检验同学们对本节课内容的掌握情况，现在进行当堂检测，请同学们独立完成以下题目：

1.计算复数加法：(3+2i)+(4-5i)。

2.计算复数减法：(6-3i)-(2+i)。

3.计算复数乘法：(1+2i)×(3+4i)。

4.计算复数除法：(4+3i)÷(2-i)。

5.已知复数z1=5+2i，z2=3-2i，求z1+z2、z1-z2、z1×z2、z1÷z2。

6.一个复数的实部是4，虚部是-3，求它的共轭复数，并计算原复数与其共轭复数的乘积。

请同学们在10分钟内完成以上题目，并提交给老师批改。完成后，我们将一起讨论解答过程中遇到的问题，并总结解题技巧。八、内容逻辑关系

①复数的概念与表示

-重点知识点：复数的定义、复数的表示形式（a+bi）

-重点词：实部、虚部、虚数单位i

-重点句：复数是由实部和虚部组成的数，形如a+bi。

②复数的四则运算

-重点知识点：复数的加法、减法、乘法、除法运算规则

-重点词：分配律、共轭复数、分母实数化

-重点句：复数的加法和减法遵循实部和虚部分别相加减的规则；复数乘法遵循分配律，并利用i²=-1的性质；复数除法通过乘以分母的共轭复数来实现分母实数化。

③复数运算的应用

-重点知识点：复数运算在实际问题中的应用

-重点词：应用题、问题解决、数学模型

-重点句：掌握复数运算后，可以将其应用于实际问题中，解决电子技术、机械工程等领域的计算问题。九、重点题型整理

题型一：复数加法和减法运算

题目1：计算复数(2+3i)+(4-5i)的结果。

答案：6-2i

题目2：已知复数z1=5+2i，z2=3-2i，求z1-z2。

答案：2+4i

题型二：复数乘法运算

题目3：计算复数(1+2i)×(3+4i)的结果。

答案：-5+10i

题目4：已知复数z=2+i，求z的平方。

答案：-1+4i

题型三：复数除法运算

题目5：计算复数(4+3i)÷(2-i)的结果。

答案：1+2i

题型四：复数混合运算

题目6：已知复数z1=3+4i，z2=2-3i，计算(z1+z2)×(z1-z2)的结果。

答案：5+10i

题目7：若复数z满足(z-1)i=2+3i，求z的值。

答案：5+i

题型五：复数应用题

题目8：在复平面上，点A对应的复数是2+3i，点B对应的复数是-1-2i。求AB的长度。

答案：√13

题目9：一个复数的实部是4，虚部是-3，求它的共轭复数，并计算原复数与其共轭复数的乘积。

答案：共轭复数是4+3i，乘积是16+9i^2，由于i^2=-1，所以乘积为16-9=7。十、教学反思

这节课我们学习了复数的运算，从学生的反馈来看，整体教学效果是不错的，但也存在一些需要改进的地方。

首先，我发现学生们对于复数的基本概念掌握得比较扎实，这得益于我们在课前对复数概念和性质的回顾。通过提问和讨论，学生们能够很好地回忆起复数的定义和表示方法，这为后续的复数运算学习打下了坚实的基础。

在讲解复数加法和减法时，我通过具体的例题进行了演示，并且让学生们自己尝试计算，然后互相检查答案。这样的互动环节让学生们更加积极参与到课堂中来，也帮助他们更好地理解了运算规则。但是，我也注意到一些学生在处理复数减法时，对于如何正确处理虚部的减法还存在困惑。我想在今后的教学中，需要更多地强调这一点，可能通过更多的练习和案例分析来加强。

在复数乘法的讲解中，我引入了几何意义，让学生们理解乘法在复平面上的表示。这一点对于提高学生的空间想象能力和深化对复数乘法的理解都很有帮助。但是，我也发现有些学生在运算过程中对于i的平方等于-1这一性质的应用还不够熟练。今后我在教学中会更多地强调这一点，并通过额外的练习来加强学生的运算技能。

至于复数除法，我采用了分母实数化的方法，学生们在理解上没有太大问题，但在实际运算中，一些学生对于如何操作还是感到有些棘手。我想可能需要更多的步骤演示和个别辅导来帮助学生掌握这一技巧。

此外，我也注意到在课堂小结环节，学生们对于复数运算的整体把握还有待提高。今后的教学中，我会尝试在课堂小结时加入更多的总结和归纳，帮助学生形成系统性的认识。第七单元复数7.3复数范围内实系数一元二次方程的解法学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析1.本节课的主要教学内容为中职数学拓展模块一下册北师大版（2021）第七单元复数7.3节，重点讲解复数范围内实系数一元二次方程的解法，包括求解过程、步骤和注意事项。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课的复数范围内实系数一元二次方程的解法，基于学生已掌握的一元二次方程解法，引入复数概念，将实数范围内的解法拓展到复数范围内。教材中列举了相关例题和练习题，有助于学生理解并掌握复数范围内一元二次方程的解法。核心素养目标本节课的核心素养目标在于培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。通过学习复数范围内实系数一元二次方程的解法，学生能够将实际问题转化为数学模型，运用数学知识解决实际问题，发展数学抽象思维。同时，通过对方程的解析和计算，提高学生的符号运算能力和逻辑推理能力，为后续学习复数及其应用打下坚实基础。教学难点与重点1.教学重点

①实系数一元二次方程的标准形式及其判别式的应用。

②复数范围内一元二次方程的求解步骤和方法。

2.教学难点

①理解并掌握复数的基本概念，包括复数的表示、复数的运算等。

②在实系数一元二次方程求解过程中，正确处理判别式小于零的情况，即如何将实数范围内的求解方法拓展到复数范围内。

③掌握复数解的几何意义，即在复平面上的表示和位置关系。

④能够灵活运用复数解法解决实际问题，如物理、工程等领域中的应用。教学资源1.软硬件资源

-计算机

-投影仪

-白板

2.课程平台

-学校教学管理系统

-数学教学辅助软件

3.信息化资源

-北师大版中职数学拓展模块一下册电子教材

-复数相关教学视频

-一元二次方程解法示例文档

4.教学手段

-精讲多练

-小组讨论

-互动问答

-实际案例分析教学过程设计1.导入环节（5分钟）

-创设情境：利用多媒体展示一个实际的物理问题，如简谐振动的方程，引出复数的概念。

-提出问题：询问学生在一元二次方程求解中遇到的问题，特别是当判别式小于零时的情况。

-学生思考：引导学生思考如何将实数范围内的解法拓展到复数范围内。

2.讲授新课（15分钟）

-知识讲解：讲解复数的基本概念，包括复数的表示、复数的运算等。

-方法介绍：介绍实系数一元二次方程在复数范围内的解法，包括判别式的处理和根的求解过程。

-示例分析：通过具体例题演示复数范围内一元二次方程的求解过程。

3.巩固练习（10分钟）

-练习题目：给出几个一元二次方程的练习题，要求学生在纸上写出解题过程。

-小组讨论：学生分小组讨论解题过程中的疑问，互相帮助解决问题。

-解答反馈：教师随机抽取学生回答问题，对学生的解题过程进行点评和指导。

4.课堂提问与师生互动（10分钟）

-提问环节：教师提出关于复数范围内一元二次方程解法的问题，要求学生回答。

-互动讨论：学生就提出的问题进行思考，并在小组内讨论，形成共识。

-总结反馈：教师总结学生的回答，对正确的部分给予肯定，对错误的部分进行纠正。

5.创新环节（5分钟）

-创新应用：教师提出一个与复数相关的实际应用问题，如电子电路中的复阻抗计算。

-学生探索：学生尝试应用新学的复数解法解决问题，教师提供必要的指导。

6.结束语（5分钟）

-总结重点：教师总结本节课的重点内容，强调复数范围内一元二次方程解法的关键步骤。

-布置作业：布置相关的课后作业，要求学生在规定时间内完成。

整个教学过程注重师生互动，鼓励学生积极参与讨论，通过实际问题引入新知识，激发学生的学习兴趣，同时通过练习和讨论巩固学生对新知识的理解和掌握，培养他们的逻辑思维能力和数学运算能力。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

-《复数及其应用》

-《一元二次方程的解法与判别式》

-《复数在物理中的应用》

-《复数在工程问题中的运用》

-《复数的几何意义及其在解析几何中的应用》

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

-探索复数在电子电路中的应用，如复阻抗的计算。

-研究复数在信号处理中的角色，例如傅里叶变换。

-分析复数在流体力学和电磁学中的使用。

-学习复数在量子力学中的基础作用。

-读取并理解复数在计算机科学中的算法应用。

-尝试解决一些涉及复数的实际数学问题，如复数范围内的方程组求解。

-探究复数在艺术和设计中的应用，例如在分形几何中的表现。

-深入了解复数的代数性质，如复数的模和辐角。

-研究复数在复平面上的表示，以及如何通过复数来描述几何变换。

-课后完成一些拓展练习题，如复数范围内的一元二次方程求解的进阶问题。教学反思今天的课堂上，我对中职数学拓展模块一下册北师大版第七单元复数7.3节的内容进行了深入讲解，总体来说，教学效果还是不错的。学生们对于复数范围内实系数一元二次方程的解法有了更清晰的认识，但在教学过程中也暴露出了一些问题。

在导入环节，我通过一个物理问题的情境来引入复数的概念，这个设计初衷是好的，可以激发学生的兴趣。但从学生的反应来看，部分学生对物理问题感到陌生，这让我意识到在今后的教学中，我需要更多地了解学生的知识背景，选择更贴近他们生活经验的教学情境。

在讲授新课的过程中，我尽量用简单明了的语言来解释复数的基本概念和一元二次方程的解法。我觉得这一点做得还可以，学生们能够跟上我的讲解节奏。但在讲解过程中，我也发现有些学生对于复数的概念还是有些模糊，这提示我在下一次的备课中，需要准备更多的实例来帮助学生理解。

巩固练习环节，我让学生们做了一些练习题，并通过小组讨论来解决问题。这个环节学生的参与度很高，但也发现了一些问题。比如，有些学生在解题时还是习惯性地使用实数范围内的方法，而不是复数范围内的方法。这说明我在教学过程中可能没有足够强调复数解法的特殊性，以后我会在这一点上多加注意。

课堂提问和师生互动环节，我鼓励学生们积极回答问题。整体上，学生们还是能够积极思考，但也有一些学生不太愿意发言。我想，这可能是因为他们害怕犯错。因此，我需要在课堂上创造一个更加轻松和包容的氛围，鼓励学生们勇于表达自己的想法。

在创新环节，我提出了一个与复数相关的实际应用问题，但感觉学生们对于这个问题的理解不够深入。这可能是因为我没有提供足够的背景信息，或者是对问题本身的解释不够清晰。以后我会在这方面做得更好，确保学生们能够真正理解问题的含义。典型例题讲解例题1：解复数范围内的一元二次方程\(x^2-2x+5=0\)。

解答：首先计算判别式\(\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16\)。因为判别式小于零，所以方程的解为复数。根据复数解的公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)，得到\(x=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=1\pm2i\)。

例题2：已知复数\(z\)满足方程\(z^2+4z+5=0\)，求\(z\)。

解答：计算判别式\(\Delta=4^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4\)。应用复数解公式得到\(z=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}=-2\pmi\)。

例题3：在复数范围内解方程\(x^2+4x+4=0\)。

解答：判别式\(\Delta=4^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0\)。因此，方程有一个重根。使用公式得到\(x=\frac{-4}{2}=-2\)，所以解为\(x=-2\)（重根）。

例题4：解方程\(x^2-6x+9=0\)并讨论其解的复数性质。

解答：判别式\(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0\)。方程的解为\(x=\frac{6}{2}=3\)，所以解为\(x=3\)（重根）。这个方程没有复数解，因为判别式为零。

例题5：求解复数方程\(x^2+2x+3=0\)并在复平面上表示其解。

解答：判别式\(\Delta=2^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8\)。使用复数解公式得到\(x=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}=-1\pm\sqrt{2}i\)。在复平面上，这两个解分别对应于点\((-1,\sqrt{2})\)和\((-1,-\sqrt{2})\)。课堂小结，当堂检测课堂小结：

在本节课中，我们学习了复数范围内实系数一元二次方程的解法。通过复习实数范围内一元二次方程的解法，我们引入了复数的概念，并探讨了如何将实数范围内的解法拓展到复数范围内。我们学习了复数的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法，并且理解了复数的几何意义。在本节课的讲解和练习中，我们重点掌握了以下内容：

1.复数的表示和基本运算。

2.实系数一元二次方程的判别式在复数范围内的应用。

3.复数范围内一元二次方程的解法步骤和过程。

4.复数解在复平面上的几何位置。

当堂检测：

为了检验学生们对本节课内容的掌握情况，我将提供以下几个检测题目，要求学生们在课堂上完成。

题目1：解复数范围内的一元二次方程\(x^2-4x+7=0\)。

题目2：已知复数\(z\)满足方程\(z^2-3z+4=0\)，求\(z\)。

题目3：在复数范围内解方程\(x^2-2x+2=0\)并讨论其解的复数性质。

题目4：求解复数方程\(2x^2+4x+5=0\)并在复平面上表示其解。

题目5：已知一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的两个解分别为\(1+2i\)和\(1-2i\)，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。

要求学生们在15分钟内完成上述题目，并在完成后互相检查答案。我将提供正确答案，以便学生们自我验证和纠正错误。通过这次当堂检测，我希望能够及时发现学生们在理解和解题过程中可能存在的问题，并在下一节课中进行针对性的讲解和练习。第七单元复数本单元复习与测试授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析本节课内容为中职数学拓展模块一下册北师大版（2021）第七单元复数本单元复习与测试。本单元主要围绕复数的基本概念、复数的表示方法、复数的运算以及复数的应用等方面展开。通过复习和测试，帮助学生巩固已学知识，提高解题能力和应用能力，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的逻辑思维、数学应用与创新意识。通过复数的复习与测试，提升学生数形结合的能力，发展学生的抽象思维和数学推理能力。同时，通过解决实际问题，培养学生的数学建模和问题解决能力，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识。重点难点及解决办法重点：复数的基本概念、复数的表示方法、复数的运算。

难点：复数的几何意义、复数运算的灵活运用、复数在实际问题中的应用。

解决办法：通过实例讲解和练习，使学生掌握复数的基本概念和运算规则。对于复数的几何意义，利用数形结合的方法，通过图形直观展示复数与平面直角坐标系的关系。对于复数运算的灵活运用，通过设计不同难度的题目，让学生在实践中掌握技巧。对于复数在实际问题中的应用，结合生活实际或物理、工程背景，引导学生发现复数的实际用途，提高解题兴趣和解决问题的能力。教学资源-教科书：中职数学拓展模块一下册北师大版（2021）

-教学PPT

-黑板与粉笔

-教学模型或图示

-计算器

-练习题及答案

-互联网资源（如在线视频、教学动画等）

-学习管理平台（用于布置作业、讨论交流等）教学流程1.导入新课（5分钟）

详细内容：通过回顾上一节课学习的复数的基本概念，如复数的定义、复数的表示方法等，引导学生思考复数在实际生活中的应用，从而导入本节课的主题——复数的运算和几何意义。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

-讲解复数的运算规则，包括加法、减法、乘法和除法，通过具体例题演示如何进行复数运算，并强调运算中应注意的问题。

-引入复数的几何意义，解释复数在复平面上的表示方法，以及如何通过复平面来理解复数的加法和乘法运算。

-分析复数运算在解决实际问题中的应用，如电路分析、力学问题等，展示复数在工程技术中的重要作用。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

-让学生独立完成几个复数运算的练习题，包括简单的四则运算和复数的几何意义的应用题。

-要求学生在复平面上表示给定的复数，并完成复数的加法和乘法运算。

-设计一个小游戏，如“复数接龙”，让学生在游戏中练习复数的运算。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容：

-讨论复数运算中常见的错误类型及如何避免这些错误。

-探讨复数在复平面上的几何意义，如何通过复平面上的操作解决实际问题。

-分享各自在解决复数应用题时的策略和心得，例如如何建立数学模型，如何利用复数简化问题。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：回顾本节课学习的复数运算规则和几何意义，通过例题展示如何将复数知识应用于实际问题中。强调本节课的重点难点，如复数乘除法的运算技巧，以及复数在复平面上的表示和应用。总结复数在数学和工程技术中的重要性，并布置相关的课后作业以巩固所学内容。拓展与延伸1.拓展阅读材料

-推荐阅读《复数及其应用》，深入了解复数在数学和物理学中的应用，特别是复数在电磁学、流体力学等领域的应用案例。

-阅读关于复数历史的资料，了解复数的发展历程，包括历史上对复数认识的演变和数学家对复数理论的贡献。

-探索复数在现代科技中的应用，如量子力学、信号处理等领域，了解复数如何帮助解决实际问题。

2.课后自主学习和探究

-鼓励学生自主学习复数的更多高级运算技巧，如复数的幂运算、复数方程的求解等。

-探究复数在计算机科学中的应用，如复数在计算机图形学、动画制作中的作用。

-设计一个研究项目，让学生利用复数解决一个实际问题，如使用复数模型分析电路中的交流信号。

-激励学生阅读数学期刊或科技文章，寻找复数在最新科学研究中的应用实例。

-提倡学生参与数学竞赛或挑战活动，通过解决复数相关的题目来提高自己的数学技能和解决问题的能力。

-鼓励学生创建数学博客或社交媒体小组，分享复数学习的经验和技巧，互相学习和讨论。

-让学生尝试编写程序，使用计算机编程语言实现复数的基本运算，并探索复数在程序设计中的应用。

-推荐学生阅读有关复数在其他学科中应用的书籍和文章，如复数在经济学、生物数学中的应用，以拓宽知识视野。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在本节课中，我尝试使用数形结合的教学方法，通过复平面上的图形来直观展示复数的运算过程，这有助于学生更好地理解复数的几何意义。

2.我设计了一个互动性强的实践活动，让学生在游戏中练习复数的运算，这不仅提高了学生的学习兴趣，也增强了课堂的趣味性和互动性。

（二）存在主要问题

1.在教学管理方面，我发现部分学生对复数的基本概念掌握不够扎实，导致在运算过程中出现错误。

2.在教学组织方面，课堂时间分配不够合理，导致某些环节匆忙，学生未能充分消化吸收。

3.在教学评价方面，评价方式较为单一，未能全面反映学生的学习效果。

（三）改进措施

1.针对学生对基本概念掌握不牢的问题，我计划在课前增加一些基础概念的复习环节，确保学生能够熟练掌握复数的基本概念和运算规则。

2.为了解决课堂时间分配不合理的问题，我将调整教学节奏，确保每个环节都有充足的时间，让学生能够充分理解和练习。

3.在教学评价方面，我将采用多元化的评价方式，包括课堂表现、作业完成情况、小组讨论参与度等，以更全面地评估学生的学习效果。

4.我还会鼓励学生进行自主学习，提供一些拓展阅读材料，让学生在课后能够继续深入学习和探究复数的应用。

5.加强与学生的沟通，及时了解他们在学习过程中的困惑和问题，针对性地进行辅导，帮助他们克服学习难点。板书设计①复数的基本概念

-复数的定义

-实部与虚部

-复数的表示方法

②复数的运算规则

-复数的加法与减法

-复数的乘法与除法

-复数运算的注意事项

③复数的几何意义

-复平面及其坐标表示

-复数的模与辐角

-复数的加法与乘法的几何意义作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第七单元复习题中的选择题、填空题和解答题，重点复习复数的基本概念、复数的表示方法和复数的运算规则。

2.在复平面上表示以下复数，并进行相应的运算：

-表示复数\(3+4i\)和\(1-2i\)，计算它们的和与差。

-表示复数\(2i\)和\(-3+i\)，计算它们的乘积和商。

3.设计一个应用题，利用复数解决实际问题，如电路分析、力学问题等，并写下解题思路和过程。

4.阅读拓展材料中关于复数应用的文章，总结复数在某个领域中的应用，并写一篇短文分享你的发现。

作业反馈：

1.对学生的作业进行逐一批改，重点关注学生对复数基本概念的理解和复数运算的准确性。

2.对于选择题和填空题，及时指出学生的错误选项或答案，并解释正确的解题方法。

3.对于解答题，不仅给出最终答案，还要评估学生的解题过程，指出过程中的逻辑错误或不严谨的地方，并提供改进建议。

4.在作业批改完毕后，组织一次课堂讲评，集中讲解学生普遍存在的问题，如对复数乘除法的混淆、复数在复平面上的表示不准确等。

5.鼓励学生相互交流作业心得，分享解题技巧和策略，以及如何在应用题中发现复数的运用。

6.对于完成拓展阅读材料的学生，组织一次分享会，让学生展示自己的学习成果，并就其短文中的观点进行讨论和评价。

7.对于作业中表现出色的学生，给予表扬和奖励，以激励其他学生的学习积极性。第八单元排列组合8.1计数原理学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容一、教学内容

本节课我们将学习北师大版中职数学拓展模块一下册（2021）第八单元的“排列组合8.1计数原理”。本节课程主要内容包括：理解加法原理与乘法原理的基本概念，掌握排列数和组合数的定义及其计算方法，运用排列组合原理解决实际问题。具体教学内容如下：

1.加法原理与乘法原理的基本概念及应用。

2.排列数的定义、性质及计算公式。

3.组合数的定义、性质及计算公式。

4.排列数与组合数在实际问题中的应用。核心素养目标1.培养学生运用数学语言进行表述和交流的能力，通过加法原理和乘法原理的应用，提升逻辑思维和推理能力。

2.引导学生发现排列组合在实际生活中的应用，激发学生的探究兴趣，提高问题解决能力。

3.培养学生独立思考和合作学习的能力，通过解决具体问题，发展学生的数学抽象和数学建模素养。

4.增强学生的数据分析观念，通过对排列组合数据的处理，提升数据分析和应用能力。教学难点与重点1.教学重点

本节课的教学重点是理解和运用加法原理与乘法原理，以及排列数和组合数的计算方法。具体细节如下：

-加法原理的应用：强调在分类问题中，如何正确地将事件的可能性相加，例如，计算从一个有红、黄、蓝三种颜色的球中任取一个球的概率。

-乘法原理的应用：强调在分步问题中，如何正确地将事件的可能性相乘，例如，计算从5个不同的数字中选择2个数字进行排列的所有可能情况。

-排列数的计算：掌握排列数公式P(n,k)=n!/(n-k)!，例如，计算从10个不同的物品中选出3个物品进行排列的方法数。

-组合数的计算：掌握组合数公式C(n,k)=n!/[k!*(n-k)!]，例如，计算从10个不同的物品中选出3个物品的组合数。

2.教学难点

本节课的教学难点在于理解排列与组合的区别，以及正确应用排列组合原理解决实际问题。具体细节如下：

-排列与组合的区别：学生容易混淆排列和组合的概念，例如，区分从5个人中选3个人组成篮球队的排列（A(5,3)）和组合（C(5,3)）。

-排列数与组合数的计算：学生可能难以理解排列数和组合数公式中的阶乘概念，以及如何将问题转化为公式中的参数，例如，计算从7个不同的数字中选择4个数字进行组合的方法数。

-实际问题的应用：学生可能不知道如何将实际问题转化为排列组合问题，例如，计算一个密码锁（假设是数字组合）有多少种不同的开锁方式。

-难题解决策略：如何引导学生通过画树状图或列表等方法，直观地表示出所有可能的情况，从而解决问题，例如，计算一个包含重复数字的排列问题。教学资源-硬件资源：多媒体教学设备、计算机、投影仪

-软件资源：数学教学软件、PPT演示文稿

-课程平台：学校在线教学平台

-信息化资源：网络教育资源、电子版习题库

-教学手段：板书、实物模型、互动讨论、小组合作教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对排列组合的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

-开场提问：“你们在生活中有没有遇到过需要计数的情况？比如，从家里到学校的路线有多少种走法？”

-展示一些关于排列组合的实际应用的图片或实例，如彩票组合、密码设置等，让学生初步感受排列组合的实用性。

-简短介绍排列组合的基本概念，以及它在数学和其他领域的重要性，为接下来的学习打下基础。

2.排列组合基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解排列组合的基本概念、组成部分和原理。

过程：

-讲解排列组合的定义，包括排列和组合的区别。

-详细介绍排列数的计算公式和组合数的计算公式，使用示例帮助学生理解。

-通过简单的实例，如选择队员组成篮球队，让学生更好地理解排列组合的实际应用。

3.排列组合案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解排列组合的特性和重要性。

过程：

-选择几个典型的排列组合案例进行分析，如彩票组合、密码设置、球队阵容选择等。

-详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解排列组合的多样性或复杂性。

-引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用排列组合解决实际问题。

-小组讨论：让学生分组讨论排列组合在各自领域的应用，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

-将学生分成若干小组，每组选择一个与排列组合相关的实际问题进行讨论。

-小组内讨论该问题的解决方法，如何运用排列组合原理来找到解决方案。

-每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对排列组合的认识和理解。

过程：

-各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题的提出、解决方案和计算过程。

-其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

-教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调排列组合的重要性和意义。

过程：

-简要回顾本节课的学习内容，包括排列组合的基本概念、计算方法、案例分析等。

-强调排列组合在现实生活和学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用排列组合。

-布置课后作业：让学生撰写一篇关于排列组合在实际生活中应用的短文或报告，以巩固学习效果。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

-《离散数学及其应用》相关章节，深入理解排列组合的理论基础。

-《概率论与数理统计》中关于排列组合的应用实例，了解排列组合在概率统计中的重要性。

-《计算机算法设计与分析》中关于排列组合算法的介绍，探索排列组合在计算机科学中的应用。

-《生活中的数学》相关章节，收集和阅读排列组合在日常生活中的实际应用案例。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

-探索排列组合在密码学中的应用，研究不同长度的密码可能的组合数量。

-分析彩票中奖概率的计算，尝试计算不同玩法下的中奖概率。

-研究排列组合在实验设计中的应用，如农业试验中如何安排实验以最小化试验次数。

-利用排列组合原理解决实际问题，如安排课程表、组织运动会比赛日程等。

-编写程序或使用数学软件来计算复杂的排列组合问题，加深对排列组合计算方法的理解。

-调查排列组合在各个学科领域中的应用，如生物学中的遗传组合、经济学中的市场组合等。

-阅读和解析数学竞赛中的排列组合题目，提高解题技巧和逻辑思维能力。

-参与数学论坛或小组讨论，分享排列组合的学习心得和应用经验。

-尝试解决数学期刊或在线平台上的排列组合挑战问题，不断挑战自己的思维极限。

-定期回顾和总结所学的排列组合知识，构建自己的知识体系，为未来的学习和应用打下坚实的基础。教学评价与反馈1.课堂表现：

-观察学生在课堂上的参与度，是否积极回答问题，提出疑问。

-记录学生对排列组合概念的理解程度，是否能准确区分排列与组合，并运用相关原理。

-评估学生对排列数和组合数计算方法的掌握情况，是否能熟练运用公式进行计算。

-观察学生在解决实际问题时的思维过程，是否能够正确应用排列组合原理。

2.小组讨论成果展示：

-检查每组讨论成果的完整性和逻辑性，是否能够清晰地表达解题过程和思路。

-评估小组成员之间的合作程度，是否分工明确，共同解决问题。

-点评各组的创新点，对提出的新方法或独特见解给予肯定和鼓励。

3.随堂测试：

-设计随堂测试题目，测试学生对排列组合基础知识的掌握程度。

-评估学生对排列组合原理在实际问题中的应用能力。

-分析测试结果，了解学生的薄弱环节，为后续教学提供依据。

4.课后作业：

-检查学生提交的课后作业，评估学生对课堂内容的理解和运用能力。

-关注学生在作业中遇到的问题，及时给予指导和帮助。

-鼓励学生通过作业反馈自己的学习心得，促进自我反思。

5.教师评价与反馈：

-针对学生的课堂表现，给予个性化的评价和反馈，指出学生的优点和需要改进的地方。

-对小组讨论成果展示中的亮点和不足进行点评，提出建设性的意见。

-根据随堂测试结果，总结全班的学习情况，对普遍存在的问题进行讲解和补充。

-结合课后作业的完成情况，给予学生具体的建议，帮助他们更好地掌握排列组合知识。

-强调排列组合在现实生活中的应用价值，激发学生的学习兴趣和动力。

-定期与学生进行交流，了解他们在学习过程中遇到的困难和需求，及时调整教学方法。典型例题讲解例题1：

某班级有8名学生，其中甲必须参加，从剩余的7名学生中再选2名学生参加比赛，问有多少种不同的选法？

解答：

甲必须参加，因此只需从剩余的7名学生中选2名学生。这是一个组合问题，可以用组合数公式计算：

C(7,2)=7!/(2!*(7-2)!)=7!/(2!*5!)=(7*6)/(2*1)=21种选法。

例题2：

某城市电话号码由8位数字组成，其中前3位是区号，后5位是号码。假设每位数字都可以重复，问有多少种不同的电话号码？

解答：

每一位数字都可以是0到9中的任意一个，共有10种可能。这是一个排列问题，可以用排列数公式计算：

P(10,8)=10!/(10-8)!=10!/2!=(10*9)/(2*1)=90种不同的电话号码。

例题3：

一个密码锁由4位数字组成，每位数字可以是0到9中的任意一个，问密码锁有多少种不同的可能性？

解答：

每位数字有10种可能的数字，因此总共有10^4种不同的可能性：

10^4=10000种不同的密码。

例题4：

从字母a,b,c,d,e中取出3个字母组成没有重复字母的三位数，问有多少种不同的三位数？

解答：

这是一个排列问题，因为顺序不同，结果也不同。可以用排列数公式计算：

P(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=(5*4*3)/(2*1)=60种不同的三位数。

例题5：

一个篮球队由5名队员组成，其中2名是后卫，3名是前锋。从后卫中选2名，从前锋中选1名组成一个三人阵容，问有多少种不同的阵容？

解答：

从后卫中选2名，从前锋中选1名，这是两个独立的组合问题。可以用组合数公式分别计算，然后相乘得到最终结果：

C(2,2)*C(3,1)=1*3=3种不同的阵容。第八单元排列组合8.2排列学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容教材章节：中职数学拓展模块一下册北师大版（2021）第八单元排列组合8.2排列

内容列举：

1.排列的定义与基本概念。

2.排列数的计算公式及其推导。

3.排列的应用实例分析，包括但不限于：

-选取不同位置的排列问题。

-限制条件的排列问题。

-实际生活中的排列问题。

4.排列问题的解题策略与技巧。

5.相关练习题及解答。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的逻辑思维与数学应用能力。通过排列的定义和计算公式的学习，学生将提升抽象思维和数学推理能力，能够运用排列知识解决实际问题，增强数学建模素养。同时，通过解决限制条件的排列问题，锻炼学生的策略性思维和创新意识，进而提高问题解决和决策能力。在练习环节，学生将通过自主探究和合作交流，发展批判性思维和沟通能力，培养独立思考和团队协作精神。学情分析中职学生已具备一定的数学基础，对数学概念有初步的理解，但在逻辑推理和抽象思维方面存在个体差异。学生在知识方面，已学习过基本的组合数学概念，但对排列的深入理解及复杂问题的解决能力较弱。在能力上，学生的计算能力和问题解决能力有待提高，特别是面对实际问题时，往往缺乏将理论知识应用到具体情境中的能力。

在素质方面，学生的自主学习能力和批判性思维正在发展中，需要通过具体的例子和练习来加深对排列知识的理解和应用。行为习惯方面，学生可能存在注意力不集中、课堂参与度不高的情况，需要通过有趣的教学活动和实际问题来吸引其注意力，激发学习兴趣。

此外，由于排列组合问题具有一定的逻辑性和抽象性，部分学生可能感到难度较大，容易产生畏难情绪。因此，在教学过程中，需要关注学生的情感态度，适时提供鼓励和支持，帮助他们克服困难，增强学习信心。对课程学习的影响主要体现在学生的参与度和对知识应用的积极性上，需要通过有效的教学策略来提升。教学资源准备1.教材：人手一册《中职数学拓展模块一下册北师大版（2021）》。

2.辅助材料：准备排列问题的PPT演示文稿，以及相关的练习题和案例。

3.教学工具：准备计数器或计算器，以便学生进行排列数的计算验证。

4.教室布置：确保教室环境整洁，每组学生有足够的空间进行讨论和练习。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：通过展示生活中常见的排列实例，如车牌号码、手机号码等，引发学生对排列现象的关注。

2.提出问题：询问学生能否总结出这些实例中的排列规律，激发学生的思考和求知欲。

二、讲授新课（15分钟）

1.排列的定义：介绍排列的基本概念，强调排列与顺序的关系。

2.排列数计算公式：讲解排列数的计算公式，并通过具体案例演示公式的应用。

3.应用实例分析：通过不同类型的排列问题，引导学生理解排列的应用。

互动环节：在讲解过程中，教师随时提问，检查学生对排列定义和公式的理解程度。针对学生的疑问，及时解答，确保学生跟上教学进度。

三、巩固练习（10分钟）

1.练习题：发放练习题，要求学生独立完成，巩固排列数的计算和应用。

2.讨论环节：学生分组讨论练习题的解答过程，互相检查答案，共同解决疑惑。

互动环节：教师巡回指导，观察学生的讨论情况，对有困难的学生提供个别指导。

四、课堂提问与总结（5分钟）

1.提问：教师提问学生在巩固练习中的发现和疑问，进一步检验学生对排列的理解。

2.总结：教师总结本节课的重点内容，强调排列在实际问题中的应用价值。

互动环节：学生主动回答问题，分享自己的学习心得。教师根据学生的回答进行点评和总结。

五、创新环节（10分钟）

1.拓展提升：设置一个有趣的排列问题情境，要求学生运用所学知识解决。

2.小组竞赛：将学生分成小组，开展解题竞赛，鼓励学生积极参与，培养团队协作精神。

互动环节：学生在小组内积极讨论，共同寻找解题策略。教师观察各小组的进展，提供必要的引导和提示。

六、课堂结束（5分钟）

1.点评：教师对学生在本节课的表现进行点评，表扬优秀的学生和小组。

2.作业布置：布置相关的课后练习，要求学生在课后巩固所学知识。教学资源拓展1.拓展资源

-排列组合在实际生活中的应用案例，如彩票组合、球队出场顺序、日程安排等。

-数学游戏，如数独、魔方等，这些游戏能够锻炼学生的排列组合思维。

-与排列组合相关的历史故事，如著名数学家的排列组合问题研究，增加学生对数学文化的了解。

-数学竞赛中的排列组合问题，展示排列组合在高级数学中的应用。

-排列组合的拓展知识，如排列组合的计数原理、多项式定理等。

2.拓展建议

-鼓励学生在课后收集排列组合在实际生活中的应用案例，并在课堂上分享，以此加深对排列组合的理解。

-建议学生尝试解决数学游戏中的排列组合问题，通过实践提高解题能力。

-引导学生阅读与排列组合相关的历史故事，了解数学的发展历程，培养对数学的兴趣。

-鼓励学有余力的学生参加数学竞赛，挑战更高难度的排列组合问题，提升数学素养。

-对于对排列组合有深入兴趣的学生，建议他们自学排列组合的计数原理和多项式定理，为将来的数学学习打下坚实的基础。

具体拓展内容如下：

-**排列组合在生活中的应用**：学生可以调查了解生活中常见的排列组合现象，如彩票的选号、餐厅的排菜、节目的单双周播放顺序等，并尝试用所学的排列组合知识进行分析。

-**数学游戏实践**：通过解决数独、魔方等数学游戏中的排列组合问题，学生可以锻炼逻辑思维和空间想象力，同时加深对排列组合概念的理解。

-**数学文化学习**：学生可以阅读有关排列组合的历史故事，例如费波那契数列与排列组合的关系，了解数学家的研究过程和数学发展的历史背景。

-**数学竞赛挑战**：鼓励学生参加数学竞赛，如奥数、数学联赛等，解决竞赛中的排列组合问题，这不仅能够提高学生的数学解题能力，还能激发他们对数学的热爱。

-**拓展知识学习**：对于对排列组合感兴趣的学生，可以自学更深入的数学知识，如排列组合的计数原理、多项式定理等，这些知识对于理解排列组合的内在规律和结构有重要意义。

通过这些拓展资源和建议，学生不仅能够在实践中巩固和应用排列组合的知识，还能提高数学素养，培养对数学的兴趣和热情。典型例题讲解例题1：从数字1，2，3，4中任选两个不同的数字，组成一个两位数，问共有多少种不同的两位数？

解答：这是一个典型的排列问题，因为数字不能重复使用，且两位数的顺序有影响。根据排列公式，P(4,2)=4!/(4-2)!=4×3=12。所以共有12种不同的两位数。

例题2：一个班级有5名学生，其中甲必须站正中间，其余4名学生任意站队，一共有多少种不同的站法？

解答：由于甲必须站在正中间，所以只需要考虑剩余4名学生的排列。P(4,4)=4!=4×3×2×1=24。因此共有24种不同的站法。

例题3：某城市举行运动会，有6个班级参加4×100米接力比赛，其中甲班必须参加，另外5个班级中任选3个参加，不同的参赛班级组合有多少种？

解答：首先从5个班级中选出3个，C(5,3)=5!/(3!×(5-3)!)=10。然后甲班固定参加，所以不同的参赛班级组合总数为10种。

例题4：用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数电话号码，其中0不能放在首位，电话号码的个数是多少？

解答：首位数字有5种选择（1-5），中间一位有5种选择（剩余的数字），最后一位有4种选择（再次剩余的数字）。所以总共有5×5×4=100种不同的电话号码。

例题5：某次舞会，7对夫妇站成一排拍毕业照，其中每一对夫妇必须站在一起，不同的站法一共有多少种？

解答：首先将7对夫妇看作7个整体进行排列，P(7,7)=7!=5040。然后每对夫妇内部还可以互换位置，每对有2种站法，所以总共有5040×2^7=645120种不同的站法。课堂1.课堂评价

-**提问**：在课堂上，教师通过提问的方式来检查学生对排列知识的理解和掌握程度。问题设计应涵盖基础知识、应用能力和思维拓展等方面，以全面评估学生的学习情况。例如，教师可以提问：“如何计算从n个不同元素中取出m个元素的排列数？”或者“请举例说明排列在生活中的应用。”

-**观察**：教师在教学过程中要密切观察学生的学习反应和行为，如注意力是否集中、是否积极参与课堂讨论、对问题的反应速度等。这些观察可以帮助教师了解学生对排列知识的兴趣和接受程度，及时调整教学策略。

-**测试**：在课程结束时，教师可以安排一次小测验，以检测学生对排列知识的掌握情况。测试题目应包括基础题、中等难度题和挑战题，以评估不同层次学生的理解程度。

-**问题解决**：鼓励学生在课堂上提出问题，通过解答学生的疑问，教师可以了解学生对排列知识的困惑点和难点，及时进行针对性的讲解和指导。

2.作业评价

-**批改**：教师应认真批改学生的作业，对学生的解题过程和答案进行详细检查。在批改过程中，教师要注意发现学生常见的错误类型，如计算错误、概念混淆等，并在下一次课堂上进行集中讲解。

-**点评**：在作业批改完成后，教师应选择代表性的作业进行点评，既可以是对优秀作业的表扬，也可以是对常见错误的分析。通过点评，学生可以了解自己的学习效果，明确改进的方向。

-**反馈**：教师应及时将作业评价结果反馈给学生，包括作业的得分、存在的问题以及改进的建议。这种及时的反馈可以帮助学生了解自己的学习状态，调整学习策略。

-**鼓励**：在评价过程中，教师应注重鼓励和激励学生，特别是对于那些在学习上有所进步的学生。教师的鼓励可以增强学生的自信心，激发他们继续努力学习的动力。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在导入环节中，我尝试通过生活中的实际案例来激发学生的学习兴趣，例如使用手机号码、车牌号码等，让学生更直观地感受到排列知识的应用价值。

2.在巩固练习环节，我引入了小组竞赛机制，这不仅增加了课堂的互动性，也让学生在合作中加深了对排列知识的理解和应用。

（二）存在主要问题

1.教学管理方面，我发现部分学生在课堂上的参与度不高，可能是因为教学内容与他们的实际生活关联不够紧密，导致兴趣不浓。

2.教学组织方面，课堂提问环节的时间分配不够合理，有时因为个别学生的回答时间过长，导致其他学生没有足够的机会参与。

3.教学评价方面，虽然我进行了课堂提问和作业评价，但缺乏对学习过程中学生思维过程的深入分析，未能充分了解学生的学习困惑。

（三）改进措施

1.针对学生的参与度问题，我计划在未来的教学中更多地引入与学生生活密切相关的案例，例如让学生设计自己的班级活动安排、课程表等，以此提高他们对排列知识的兴趣。

2.为了解决课堂提问时间分配不合理的问题，我会提前准备更具体的问题，并设置时间限制，确保每个学生都有机会参与，同时也会鼓励学生主动提问。

3.在教学评价方面，我计划增加对学生的学习过程记录，例如记录学生在讨论、提问和练习中的表现，以便更全面地了解学生的学习情况，从而提供更有针对性的指导。同时，我会定期与学生进行一对一的交流，了解他们的学习感受和需求。板书设计①排列的定义与基本概念

-重点知识点：排列的定义、排列与组合的区别

-重点词句：“从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排列”

②排列数的计算公式

-重点知识点：排列数计算公式、排列数的推导过程

-重点词句：“排列数公式P(n,m)=n!/(n-m)!”

③排列的应用实例

-重点知识点：排列在实际问题中的应用、解题策略与技巧

-重点词句：“解决排列问题的步骤：确定元素、确定顺序、计算排列数”第八单元排列组合8.3组合主备人备课成员教材分析“中职数学拓展模块一下册北师大版（2021）第八单元排列组合8.3组合”主要介绍组合的基本概念、性质和计算方法。本节课内容与排列组合的基本原理紧密相连，旨在让学生理解组合的含义、掌握组合数公式及其应用。通过本节课的学习，学生能够熟练运用组合数公式解决实际问题，为后续概率论的学习打下基础。本节课的教学内容与实际生活紧密相关，有助于提高学生的数学应用能力。核心素养目标1.理解组合的定义，区分排列与组合的区别，形成逻辑思维素养。

2.掌握组合数公式的推导和应用，提升数学运算和解决问题的能力。

3.通过解决实际问题，培养数据分析观念，增强数学应用意识。重点难点及解决办法重点：理解组合的概念，掌握组合数公式，能够运用组合解决实际问题。

难点：区分排列与组合的区别，组合数公式的推导过程，复杂问题的解决策略。

解决办法：

1.利用实例讲解排列与组合的区别，通过直观的例子帮助学生理解组合概念。

2.通过数学归纳法引导学生推导组合数公式，加强学生对公式适用条件的理解。

3.采用问题驱动的教学方法，引导学生分析问题、设计方案，逐步解决实际问题。

4.对复杂问题进行分解，将其拆分为若干个小问题，逐一击破，降低问题解决的难度。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.采用讲授法引导学生学习组合的基本概念，确保学生理解组合数公式的推导过程。

2.设计小组讨论活动，让学生通过合作探究解决组合问题，促进思维碰撞和知识内化。

3.运用案例研究，让学生分析实际问题，运用组合知识解决问题，增强实际应用能力。

4.利用多媒体辅助教学，展示组合问题的动态变化过程，增强学生的直观感知。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过提出问题“一个班级有10名学生，从中选择3名学生参加比赛，有多少种选择方式？”来激发学生的好奇心和兴趣。

-回顾旧知：简要回顾排列的概念和排列数公式，为学生学习组合打下基础。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：详细介绍组合的定义，解释组合与排列的区别，引入组合数公式的概念。

-举例说明：通过具体的例子，如从5名男生中选2名男生参加比赛，展示组合数的计算方法。

-互动探究：学生分组讨论，解决一些简单的组合问题，如从10名球员中选择4名球员组成一个队伍，引导学生发现组合数公式的应用。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：学生独立完成一些组合数计算题目，加深对组合数公式的理解。

-教师指导：在学生练习过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，确保学生正确掌握组合数公式。

4.拓展提升（约15分钟）

-学生活动：学生尝试解决一些较为复杂的组合问题，如多步骤的组合问题，或涉及不同条件的组合问题。

-教师指导：教师引导学生分析问题，提供解决问题的策略，帮助学生提升解决问题的能力。

5.总结反馈（约5分钟）

-学生总结：让学生用自己的话总结本节课学到的知识，加深记忆。

-教师反馈：教师对学生的学习情况进行简要评价，指出做得好的地方和需要改进的地方，布置相关的课后作业。教学资源拓展1.拓展资源：

-组合在实际问题中的应用，如彩票组合、分组问题、分配问题等。

-组合与排列的混合问题，如先组合后排列的问题，以及如何区分和处理这类问题。

-组合数公式的推导过程，包括组合数公式的历史背景和数学证明。

-组合问题在计算机科学中的应用，如组合算法、编程中的组合问题求解等。

-数学游戏和谜题，如涉及组合逻辑的智力题，可以增强学生的逻辑思维能力。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读相关的数学书籍或文章，了解组合数在各个领域的应用，加深对数学实用性的认识。

-提议学生参与数学竞赛或数学俱乐部，通过解决实际问题来提高解题技巧和数学思维能力。

-建议学生利用网络资源，如在线视频教程，来加深对组合数公式推导的理解。

-鼓励学生尝试编写简单的计算机程序，如使用Python等编程语言，来解决组合问题，将数学知识与计算机科学相结合。

-推荐学生尝试解决一些经典的组合问题，如汉诺塔、迷宫问题等，这些问题的解决过程中会涉及到组合数的计算。

-鼓励学生自主探索组合数的其他性质，如组合数的递推关系，以及如何利用这些性质简化计算过程。

-提议学生将所学的组合知识应用到现实生活中，如设计调查问卷时考虑样本组合，或在进行决策分析时考虑各种可能的选择组合。教学评价与反馈1.课堂表现：

-观察学生在课堂上的参与度，包括提问、回答问题、参与讨论的积极性。

-记录学生在解决组合问题时的思考过程，以及他们是否能够正确运用组合数公式。

-评估学生对新知识的理解和接受程度，以及他们能否将新知识与已有知识相联系。

2.小组讨论成果展示：

-要求每个小组展示他们的讨论成果，包括解决问题的方法和过程。

-评估小组讨论的深度和广度，以及组员之间的合作效果。

-对每个小组的表现给予评价，指出其优点和需要改进的地方。

3.随堂测试：

-设计一些组合数计算的随堂测试题目，测试学生在课堂上的学习效果。

-评估学生的测试结果，分析他们在哪些方面掌握得较好，哪些方面还存在问题。

-根据测试结果，调整后续的教学计划和教学方法。

4.课后作业反馈：

-收集学生的课后作业，检查他们是否能够独立完成作业，以及作业的准确性和完整性。

-对作业中的常见错误进行总结，下一节课时进行针对性的讲解和纠正。

5.教师评价与反馈：

-针对学生的学习表现，给予个性化的评价和反馈，鼓励学生的进步，指出需要改进的地方。

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