2力矩与平面力偶系

山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学第二章平面力系的合成与平衡第二节力矩与平面力偶系一、力矩1.力矩的概念力不仅能使物体移动，还能使物体转动。例如用手推门、用扳手拧紧螺母等，都是力使物体产生转动效应的实例。那么，力对物体转动效应与哪些因素有关呢？FdOMO(F)在右图中，力F使扳手绕螺母中心O转动的效应，不仅与力F的大小成正比，而且还与螺母中心O到该力作用线的垂直距离d成正比。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学FdOMO(F)当改变力F的指向，扳手的转向也会随之改变。因此，力F对扳手的转动效应，可用两者的乘积Fd再加上表示转向的正负号来量度，称为力F对O点的矩，简称力矩。用符号MO(F)表示。即MO(F)=±Fd转动中心O，称为矩心;矩心O到力F作用线的垂直距离d，称为力臂;通常规定：使物体逆时针转动的力矩为正，反之为负。在平面问题中，力矩为代数量。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学FdABOM在图中，A、B为力的起点和终点，力F对点O的矩的大小等于三角形AOB面积的两倍，即MO(F)=±Fd=±2△AOB力矩的单位是牛顿∙米(N∙m)或千牛顿∙米(kN∙m)。由力矩的定义可知：(1)当力臂等于零，即力的作用线通过矩心时，力矩等于零；(2)当力沿其作用线移动时，不会改变力对某点的矩。这是因为F和d均未改变。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学一、力矩1.力矩的概念2.合力矩定理dyOF1F2FRAcbBCDMO(FR)=±2△AOBMO(F1)=±2△AOCMO(F2)=±2△AOD=Ob·OA=Oc

·OA=Od

·OA根据合力投影定理有：YR

·OA·OA·OA

=

Y1

+

Y2

ObOcOd即

MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)上述表明：合力对平面内任一点的矩，等于两分力对同一点之矩的代数和。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学以上结论也可扩展到多个平面汇交力的情况，即MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+……+MO(Fn)=∑MO(F)由此可见：平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。这就是平面汇交力系的合力矩定理。应用合力矩定理可以简化力矩的计算。在力矩计算时，若力臂d难以确定，就可以将力分解为比较容易找到力臂的两个分力。计算出分力矩再代数求和，便得到原力的矩了。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学图中的每1m长的挡土墙，所受土压力的合力F=100kN，方向如图所示。试求土压力F使墙倾覆的力矩。例2-1030ºAF2m2md土压力F可能使挡土墙绕A点转动，从而发生倾覆。故所求倾覆的力矩就是力F对A点的矩。而直接找到F的力臂d有困难。解根据合力矩定理，可将力F分解为两个分力Fx和Fy，两分力的力臂是已知的。FxFyMA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=100×0.866×2-100×0.5×2=73.2kN∙m山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学放在地面上的板条箱如图所示，受到F=100N的力作用。试求该力对A点的矩。例2-11解A2m1.5mFBBd(1)力臂d容易求得：d=1.2m。所以MA(F)=100×1.2=120N∙m(2)也可将力F分解为两个分力Fx和Fy，利用合力矩定理计算：FxFyMA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=100×0.8×1.5+0=120N∙m山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学二、力偶1.力偶的概念在日常生活和生产实践中，经常见到由大小相等、方向相反、作用线平行的两个力使物体产生转动的例子。例如汽车司机用双手转动方向盘，人们用两手指拧开瓶盖，旋转钥匙开锁等。第二节力矩与平面力偶系一、力矩这种由大小相等、方向相反、作用线平行且不共线的两个力组成的力系，称为力偶。用符号(F，F’)表示。F’Fd山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学实践证明：力偶对物体的转动效应，不仅与组成力偶的力的大小成正比，而且与力偶臂的大小也成正比。F’Fd另外，当力偶的两个力大小和作用线不变，而只是同时改变指向，力偶的转向也就相反了。因此，力偶对物体的转动效应，可用力与力偶臂的乘积Fd再加上表示转向的正负号来量度，称为力偶矩。用符号M(F，F’)表示，可简记为M。即M=±

Fd通常规定：力偶使物体逆时针转动时，力偶矩为正，反之为负。在平面力系中，力偶矩为代数量。力偶矩的单位与力矩相同，也是牛顿∙米(N∙m)或千牛顿∙米(kN∙m)。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学二、力偶1.力偶的概念F’Fd2.力偶的基本性质(1)力偶在任一轴上的投影恒为零。力偶没有合力，所以不能用一个力来代替。力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行且不共线，不能合成为一个力。力偶不能用一个力来代替，也不能和一个力平衡。力偶只能和力偶平衡。力偶和力对物体作用的效应不同。一个力可以使物体移动或同时转动，而力偶不会使物体移动，只会转动。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学2.力偶的基本性质(2)力偶对其作用平面内任一点之矩都恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。MO(F，F’)F’FdOx=MO(F)+MO(F’)=F(x+d)

-

F’

x=Fd=M

计算结果与x无关。可见结论成立。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学2.力偶的基本性质(3)在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。这叫做力偶的等效性。力偶对物体的转动效应，取决于力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用平面。这又称为力偶的三要素。力换句话说：只要两个力偶的三要素相同，它们就是等效的。

推论1力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不改变它对刚体的转动效应。即力偶对物体的转动效应与它在平面内的位置无关。根据力偶的这一性质，可以得出以下两个推论：图示三种情形下，力偶移动或转动，但作用效应是相同的。F’FdF’FddF’F山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学

推论2只要力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力的大小和力偶臂的长度，而不改变它对刚体的转动效应。在研究力偶对刚体的转动效应时，只需考虑力偶矩的大小和转向，而不必在意力偶的位置、力的大小及力偶臂的长度。15N4m6m10N20N3m因此在工程中，力偶可用一段带箭头的弧线来表示，如图所示。60Nm图中的几个力偶的作用效应是相同的。2.力偶的基本性质山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学二、力偶第二节力矩与平面力偶系一、力矩三、平面力偶系在物体的某一平面上同时作用两个以上的力偶，称为平面力偶系。1.平面力偶系的合成力偶只能使物体转动。因此，平面力偶系的合成，实质上是力偶的转动效应的合成。合成后也只能使物体转动。于是可以得出结论：平面力偶系的合成结果为一个合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即MR=M1+M2+……+Mn=∑M山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例2-12

某物体在平面内受到三个力偶的作用，各力偶的力偶矩如图所示。试求合力偶矩。15N8m4m10N50Nm30NmMR=∑M=15×4-10×8+50=30N∙m合力偶矩为30N∙m，逆时针转向，与原力偶系共面。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学三、平面力偶系1.平面力偶系的合成平面力偶系可以合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，则力偶系中各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体平衡；MR=∑M2.平面力偶系的平衡条件反过来，物体处于平衡状态，则要求合力偶矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零，即∑M=0上式又称为平面力偶系的平衡方程。对于平面力偶系的平衡问题，利用这一方程可以求解一个未知量。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例2-13

如图所示的简支梁AB，受一力偶的作用，其力偶矩M=20kN∙m。试求A、B支座的反力。

B支座为可动铰支座，其反力FB的方位可以确定AB4mM解取梁AB为研究对象，该梁