上海高考文科数学试题详解

2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（文科）详解满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数的最小正周期是．考点：三角恒等变形、三角函数的周期解答：因为，所以.难度：容易题2．若复数,其中是虚数单位，则．考点:复数的四则运算，共轭运算解答:此题先根据分配律去括号可简化计算,即难度：容易题3．设常数，函数．若，则．考点：解方程、求函数值解答：由难度：容易题4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．考点:圆锥曲线的标准方程解答：知抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为：难度：容易题5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为．考点：分层抽样解答：高一、高二共有学生2800名,按40：1的比例，需抽取学生数为70人.难度：容易题6．若实数满足，则的最小值为．考点：基本不等式解答：，即难度：容易题7．若圆锥的侧面积是底面积的倍,则其母线与轴所成的角的大小为(结果用反三角函数值表示)．考点：圆锥的侧面展开图解答：如图:难度：容易题8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．考点:三视图解答：由三视图知,切割掉的两个小长方体可拼成一个长宽高分别为4、3、2的长方体,所以其体积为24.难度：容易题9．设若是的最小值,则的取值范围为．考点:函数的单调性及最值 解答：难度:中等题10．设无穷等比数列的公比为，若，则．考点:无穷等比数列各项的和解答:难度:中等题11．若，则满足的的取值范围是．考点：幂函数的单调性解答:EMBEDEquation.DSMT4∴其定义域为又是增函数，是减函数,是增函数，又，，即为，难度：中等题12．方程在区间上的所有的解的和等于．考点：三角方程解答：难度：中等题13．为强化安全意识,某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是（结果用最简分数表示）．考点：组合、概率解答:未来的连续天中随机选择天的所有情况有种；未来的连续天中选择的天恰好为连续天的所有情况有种；则所求概率为难度:中等题14．已知曲线，直线．若对于点,存在上的点和上的使得，则的取值范围为．考点：圆的方程、能成立问题解答:∵曲线,即,∵,∴点即为中点；设，∵,则，∵点在曲线C上,∴难度：较难题二、选择题（本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设，则“”是“且”的（）（A)充分非必要条件 (B）必要非充分条件(C)充分必要条件 (D）既非充分又非必要条件考点：充分条件、必要条件解答：必要非充分条件,选B难度:容易题16．已知互异的复数满足，集合，则（）(A） (B）（C) （D)考点：集合的相等、复数范围内1的立方根解答：⑴若则（舍）；⑵若则,那么（舍)或（舍）或或综合上述，.选D难度：中等题17．如图,四个边长为的小正方体排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（）(A） （B）（C） (D）考点：向量的数量积、向量的投影解答:结合图形，观察在上的投影即可：在上的投影相同;在上的投影相同；在上的投影相同；故的不同值的个数为3，选C难度：中等题18．已知与是直线（为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（)（A）无论如何，总是无解 (B）无论如何，总有唯一解（C)存在，使之恰有两解 （D）存在,使之有无穷多解考点:直线的方程、二元一次方程的行列式解法解答:把代入直线得，即。同理可得。则是方程组的解。若不是方程组的唯一解,则方程组有无数解则，与已知矛盾综上，方程组总有唯一解，选B。难度：较难题三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积．考点:棱锥的体积、空间想象能力解答：依题意：是边长为4的正三角形,折叠后是棱长为2的正四面体（如图）。设顶点在底面内的投影为,连接，则为的重心，底面.难度:容易题20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分,第2小题满分8分．设常数,函数．若,求函数的反函数;根据的不同取值,讨论函数的奇偶性，并说明理由．考点：反函数、函数的奇偶性解答:（1）因为，所以,得或，且．因此，所求反函数为．（2）①当时，,定义域为，故函数是偶函数;②当时，，定义域为，，故函数为奇函数；③当且时，定义域为关于原点不对称,故函数既不是奇函数，也不是偶函数．难度:容易题21．(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分,第2小题满分8分．如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端,长35米，长80米．设点在同一水平面上,从和看的仰角分别为．（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少(结果精确到0.01米）?（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，求的长(结果精确到0。01米）．考点：解斜三角形解答:（1)设，则.因,所以,即,（米）（2）在中，由已知，，，由正弦定理得，解得（米)．在中，由余弦定理得，解得（米）．所以，的长约为26.93米．难度:中等题22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分,第3小题满分7分．在平面直角坐标系中，对于直线和点，记．若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点被直线分隔,则称直线为曲线的一条分隔线．(1）求证；点被直线分隔；（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；（3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线．求的方程，并证明轴为曲线的分隔线．考点：定义法求曲线方程、数形结合思想解答：（1）证明：因为，所以点被直线分隔．（2）解：直线与曲线没有公共点的充要条件是方程组无解,即．当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔．故实数的取值范围是．（3）证明:设的坐标为,则曲线的方程为．对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点．又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔．所以轴为曲线的分隔线．难度：中等题23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分,第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知数列满足,，．(1）若，求的取值范围;(2）设是等比数列，且,求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比;（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．考点：等差数列、等比数列与不等式综