2025届安徽省阜阳市颍河中学高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

2025届安徽省阜阳市颍河中学高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如下表：x－10245f（x）312.513f（x）的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：①f（x）在区间[－1，0]上单调递增；②f（x）有2个极大值点；③f（x）的值域为[1，3]；④如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4其中，所有正确结论的序号是（）A.③ B.①④C.②③ D.③④2．已知数列满足，且，则（）A.2 B.3C.5 D.83．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），和去询问成绩，回答者对说“很遗㙳，你和都末拿到冠军；对说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A.720种 B.600种C.480种 D.384种4．已知，，若直线上存在点P，满足，则l的倾斜角的取值范围是（）A. B.C D.5．已知数列通项公式，则（）A.6 B.13C.21 D.316．已知，，则（）A. B.C. D.7．设.若，则＝（）A. B.C. D.e8．若用面积为48的矩形ABCD截某圆锥得到一个椭圆，且该椭圆与矩形ABCD的四边都相切.设椭圆的方程为，则下列满足题意的方程为（）A. B.C. D.9．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A. B.C. D.10．若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（）A. B.C. D.11．在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线，为双曲线的左、右顶点，为双曲线的虚轴端点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.12．某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为________14．若函数，则在点处切线的斜率为______15．若，则与向量同方向的单位向量的坐标为____________.16．已知为坐标原点，、分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于、的动点，直线、与轴分别交于点、两点，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）已知过点的直线与曲线C相交于两点，，请问点P能否为线段的中点，并说明理由.18．（12分）已知椭圆的长轴长是，以其短轴为直径的圆过椭圆的左右焦点，.（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段MN的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是，求面积的取值范围.19．（12分）请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个长方体形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设（1）求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域；（2）当为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？20．（12分）为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示.（1）根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在内的样本数；（2）记产品尺寸在内为等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损3元；其余的为合格品，每件可获利4元.若该机器一个月共生产2000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到9000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.21．（12分）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角大小；（3）求点到平面的距离.22．（10分）在棱长为4的正方体中，点分别在线段上，点在线段延长线上，，，连接交线段于点.（1）求证平面；（2）求异面直线所成角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】直接利用函数的导函数的图像，进一步画出函数的图像，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调区间，函数的极值和端点值可得结论【详解】解：由f（x）的导函数的图像，画出的图像，如图所示，对于①，在区间上单调递减，所以①错误，对于②，有1个极大值点，2个极小值点，所以②错误，对于③，根据函数的极值和端点值可知的值域为，所以③正确，对于④，如果x∈[t，5]时，由图像可知，当f（x）的最小值是1时，t的最大值为4，所以④正确，故选：D2、D【解析】使用递推公式逐个求解，直到求出即可.【详解】因为所以，，，.故选：D3、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4种情况，再排，也有4种情况，余下的问题是4个元素在4个位置全排列，根据分步计数原理求解即可【详解】由题意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4种情况，再排，也有4种情况，余下4人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况故选：D.4、A【解析】根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果.【详解】对直线，变形为，故其恒过定点，若直线存在点P，满足，只需直线与线段有交点即可.数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最大值，此时，对应倾斜角；当直线过点时，其斜率取得最小值，此时，对应倾斜角为.根据斜率和倾斜角的关系，要满足题意，直线的倾斜角的范围为：.故选：A.5、C【解析】令即得解.【详解】解：令得.故选：C6、C【解析】利用空间向量的坐标运算即可求解.【详解】因为，，所以，故选：C.7、D【解析】由题可得，将代入解方程即可.【详解】∵，∴,∴，解得.故选：D.8、A【解析】由椭圆与矩形ABCD的四边都相切得到再逐项判断即可.【详解】由于椭圆与矩形ABCD的四边都相切，所以矩形两边长分别为，由矩形面积为48，得，对于选项B，D由于，不符合条件，不正确.对于选项A，，满足题意.对于选项C，不正确.故选：A.9、C【解析】按照程序框图的流程进行计算.【详解】，故输出S的值为.故选：C10、C【解析】根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案.【详解】对A，，为奇函数；对B，，为奇函数；对C，，为偶函数；对D，，既不是奇函数也不是偶函数.故选：C.11、C【解析】先求动点的轨迹方程，再根据面积的最大值求得，根据的面积最小值求，由此可求双曲线的离心率.【详解】设，，,依题意得,即,两边平方化简得,所以动点的轨迹是圆心为,半径的圆，当位于圆的最高点时的面积最大，所以,解得；当位于圆的最左端时的面积最小，所以,解得,故双曲线的离心率为.故选:C.12、B【解析】先得到从高二和高三年级抽取人，再利用分层抽样进行求解.【详解】设高一年级学生人数为，因为从三个年级中抽取一个容量为的样本，且高一年级抽取人，所以从高二和高三年级抽取人，则，解得，即高一年级学生人数为.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先设出抛物线方程，写出准线方程和焦点坐标，利用得到抛物线方程，再利用三角形的面积公式进行求解.【详解】设抛物线的方程为，则焦点为，准线方程为，由题意，得，，，所以，解得，所以.故答案为：.14、【解析】根据条件求出，，再求即答案.【详解】∵，∴，则和，得，，∴，，∴，所以在点处切线的斜率为.故答案为：15、【解析】由空间向量的模的计算求得向量的模，再由单位向量的定义求得答案.【详解】解：因为，所以，所以与向量同方向的单位向量的坐标为，故答案为：.16、3【解析】求得坐标，设出点坐标，求得直线的方程，由此求得两点的纵坐标，进而求得.【详解】依题意，设，则，直线的方程为，则，直线的方程为，则，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）不能，理由见解析.【解析】（1）利用题中距离之比列出关于动点的方程即可求解；（2）先假设点P能为线段的中点，再利用点差法求出直线的斜率，最后联立直线与曲线进行检验即可.【小问1详解】解：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是则等式两边平方可得：化简得曲线C的方程为：【小问2详解】解：点不能为线段的中点，理由如下：由（1）知，曲线C的方程为：过点的直线斜率为，，因为过点的直线与曲线C相交于两点，所以，两式作差并化简得：①当为的中点时，则，②将②代入①可得：此时过点的直线方程为：将直线方程与曲线C方程联立得：，，无解与过点的直线与曲线C相交于两点矛盾所以点不能为线段的中点【点睛】方法点睛：当圆锥曲线中涉及中点和斜率的问题时，常用点差法进行求解.18、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件结合列式计算即可作答.(2)设出直线MN的方程，与椭圆方程联立并结合已知求出m的范围，再借助韦达定理求出面积函数，利用函数单调性计算作答.【小问1详解】令椭圆半焦距为c，依题意，，解得，所以椭圆E的方程为.【小问2详解】由(1)知，椭圆E左焦点为，设过椭圆E左焦点的直线为(存在且不为0)，由消去x得，，设，则，线段的中点为，因此线段的垂直平分线为，由得的纵坐标为，依题意，且，解得，由(1)知，，，令，在上单调递减，当，即时，，当，即时，，所以面积的取值范围.【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积19、（1），定义域为；（2）当时，包装盒的容积最大是.【解析】（1）设出包装盒的高和底面边长，利用长方体的表面积得到等量关系，再利用长方体的体积公式求出表达式，再利用实际意义得到函数的定义域；（2）求导，利用导函数的符号变化得到函数的极值，即最值.小问1详解】解：设包装盒的高为，底面边长为，则，，所以=其定义域为；【小问2详解】解：由（1）得：，，因为，所以当时，；当时，；所以当时，取得极大值，即当时，包装盒的容积最大是20、（1）件；（2）需要对该工厂设备实施升级改造.【解析】（1）根据评论分布直方图面积之和为1列等式计算得，用200乘以内频率即可得出答案；（2）根据题意计算等品件，不合格品有件，进而得合格品有件，根据题意计算其利润与9000比较判定需要对该工厂设备实施升级改造.【详解】解：（1）因为，解得，所以200件样本中尺寸在内的样本数为（件）.（2）由题意可得，这批产品中优等品有件，这批产品中不合格品有件，这批产品中合格品有件，元.所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为8960元，因为，所以需要对该工厂设备实施升级改造.【点睛】频率分布直方图中的常见结论（1）众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标；（2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（3）中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.21、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出平面PCD的法向量为，平面的法向量为，即得证；（2）设直线与平面所成角为，利用向量法求解；（3）利用向量法求点到平面的距离.【小问1详解】证明：PA平面ABCD，ABCD为正方形，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系.由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）M为PD的中点，，所以，，，所以，