2024高考数学统考一轮复习第六章不等式推理与证明第四节合情推理与演绎推理教师文档教案文北师大版

PAGE第四节合情推理与演绎推理授课提示：对应学生用书第112页[基础梳理]1．合情推理类型定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特别到特别合情推理归纳推理和类比推理都是依据已有的事实，经过视察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理动身，推出某个特别状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特别的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所探讨的特别状况；③结论——依据一般原理，对特别状况做出的推断．1．类比推理的留意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，假如只抓住一点表面现象的相像甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．类比推理的几个角度方法解读适合题型类比定义在求解由某种熟识的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来解已知熟识定义类比新定义类比性质从一个特别式子的性质、一个特别图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要仔细分析两者之间的联系与区分，深化思索两者的转化过程是求解的关键平面几何与立体几何；等差数列与等比数列类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，留意学问的迁移已知熟识的处理方法类比未知问题的处理方法类比结构有些是类比等式或不等式形式的推理，可以从结构特点上类比，如两项类比三项，长度类比面积，平方类比立方，面积类比体积，平面类比空间几何问题的结论[四基自测]1．(基础点：归纳推理)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．an＝3n－1 B．an＝4n－3C．an＝n2 D．an＝3n－1答案：C2．(基础点：三段论)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．结论正确答案：A3．(基础点：类比推理)在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝eq\f(\r(a2＋b2),2).运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________．答案：eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)授课提示：对应学生用书第113页考点一归纳推理挖掘1与数字(数列)有关的推理/自主练透[例1](1)(2024·新乡模拟)从1起先的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A．2011 B．2012C．2013 D．2014[解析]依据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则其次层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，这九个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝2012，得a＝212，是自然数．[答案]B(2)(2024·湖北襄阳优质中学联考)将三项式(x2＋x＋1)n绽开，当n＝0，1，2，3，…时，得到以下等式：(x2＋x＋1)0＝1，(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1，(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1，(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1，……视察多项式系数之间的关系，可以依照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的，缺少的数记为0)的和，第k行共有(2k＋1)个数，若(x2＋x＋1)5(1＋ax)的绽开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为________．[解析]依据题意可得广义杨辉三角第5行的数为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，故(1＋ax)(x2＋x＋1)5的绽开式中，x7项的系数为30＋45a＝75，得a＝1.[答案]1[破题技法]与数字有关的等式的归纳推理，视察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．挖掘2与等式(不等式)有关的推理/互动探究[例2](1)视察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，依据上述规律，第五个等式为________．[解析]因为所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，所以由底数内在规律可知，第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.[答案]13＋23＋33＋43＋53＋63＝212(2)视察下列特别的不等式：eq\f(52－22,5－2)≥2×eq\f(7,2)，eq\f(45－35,42－32)≥eq\f(5,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))eq\s\up12(3)，eq\f(98－28,93－23)≥eq\f(8,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))eq\s\up12(5)，eq\f(910－510,95－55)≥2×75，……由以上特别不等式，可以揣测：当a>b>0，s，r∈Z时，有eq\f(as－bs,ar－br)≥________．[解析]eq\f(52－22,5－2)≥2×eq\f(7,2)＝eq\f(2,1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5＋2,2)))eq\s\up12(2－1)，eq\f(45－35,42－32)≥eq\f(5,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4＋3,2)))eq\s\up12(5－2)，eq\f(98－28,93－23)≥eq\f(8,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))eq\s\up12(5)＝eq\f(8,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9＋2,2)))eq\s\up12(8－3)，eq\f(910－510,95－55)≥2×75＝eq\f(10,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9＋5,2)))eq\s\up12(10－5)，由以上特别不等式，可以揣测，当a>b>0，s，r∈Z时，有eq\f(as－bs,ar－br)≥eq\f(s,r)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(s－r).[答案]eq\f(s,r)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(s－r)[破题技法]与式子有关的归纳推理(1)与不等式有关的归纳推理，视察每个不等式的特点，留意从纵向看，找到规律后可解．(2)与数列有关的归纳推理，通常是先求出几个特别项，采纳不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可求解．挖掘3与图形有关的推理/互动探究[例3](1)下图中①②③④为四个平面图形．表中给出了各平面图形中的顶点数、边数以及区域数．平面图形顶点数边数区域数①332②8126③695④10157现已知某个平面图形有1009个顶点，且围成了1007个区域，试依据以上关系确定这个平面图形的边数为________．[解析]由表归纳各平面图形的顶点数、边数、区域数的关系如下表：平面图形顶点数边数区域数关系①3323＋2－3＝2②81268＋6－12＝2③6956＋5－9＝2④1015710＋7－15＝2VEFV＋F－E＝2其顶点数V、边数E、区域数F满意关系式V＋F－E＝2，故可猜想此平面图形的边数为1009＋1007－2＝2014.[答案]2014(2)如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N＋，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)[解析]由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)，故选D.[答案]D[破题技法]与图形改变有关的归纳推理，合理利用特别图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．考点二类比推理挖掘类比方法、类比结论、类比运算/互动探究[例](1)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另始终角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这肯定理推广到立体几何中：在四面体O­ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面△ABC的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满意的关系描述正确的为()A．S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3) B．S2＝eq\f(1,Seq\o\al(2,1))＋eq\f(1,Seq\o\al(2,2))＋eq\f(1,Seq\o\al(2,3))C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)[解析]如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，则AD⊥BC，从而S2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·AD))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)BC2·AD2＝eq\f(1,4)BC2·(OA2＋OD2)＝eq\f(1,4)(OB2＋OC2)·OA2＋eq\f(1,4)BC2·OD2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)OB·OA))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)OC·OA))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·OD))eq\s\up12(2)＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3).[答案]A(2)若点P0(x0，y0)在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.那么对于双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为______________．[解析]若点P0(x0，y0)在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)外，过点P0作该双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2(图略)，则切点弦P1P2所在直线的方程为eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.[答案]eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1[破题技法]类比推理是由一类事物的特别性推另一类事物的特别性，首先要找出两类事物之间的联系与不同，然后找出“特别性”是什么内容，定义方面、性质方面、方法方面、运算方面等，从而推导结论．考点三演绎推理挖掘1简洁的三段论/自主练透[例1](1)(2024·洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数[解析]A中小前提不是大前提的特别状况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C，D都不是由一般性命题到特别性命题的推理，所以C，D都不正确，只有B正确．[答案]B(2)(2024·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x是对数函数，所以y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x是增函数”所得结论．错误的缘由是()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误[解析]因为当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，当0<a<1时，y＝logax在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A.[答案]A[破题技法]用演绎推理证明问题时，大前提往往是定义、定理或一些固定结论，小前提为问题的条件，一般大前提可省略，当大前提、小前提及推理正确时，结论就正确．挖掘2演绎推理、合情推理的生活应用/自主练透[例2](1)(2024·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是eq\f(\r(5)－1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)≈0.618，称为黄金分割比例))，闻名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人满意上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至颈项下端的长度为26cm，则其身高可能是()A．165cm B．175cmC．185cm D．190cm[解析]设某人身高为mcm，颈项下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得eq\f(m－105