2024-2025学年高中数学第三章概率3.2.3.1互斥事件课时素养评价含解析北师大版必修3

PAGE课时素养评价二十一互斥事件(20分钟·35分)1.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数,分别有下列事务:①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数;②至少有一个是奇数和两个数都是奇数;③至少有一个是奇数和两个数都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中,为互斥事务的是 ()A.① B.②④ C.③ D.①③【解析】选C.由互斥事务的定义知,只有③的两个事务不会同时发生.2.某城市2024年的空气质量状况如表所示:污染指数T3060100110130140概率P其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为稍微污染.该城市2024年空气质量达到良或优的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.依据题意,空气质量达到良或优的概率为QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.3.把红、黑、黄、白4球随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1个球,事务“甲分得红球”与事务“乙分得红球”是 ()A.对立事务B.不行能事务C.互斥但不对立事务D.以上答案都不对【解析】选C.因为两个事务不能同时发生,但可能同时不发生,所以是互斥事务,不是对立事务.4.给出事务A与B的关系示意图,如图所示,则 ()A.A⊆B B.A⊇BC.A与B互斥 D.A与B对立【解析】选C.明显事务A与B不能同时发生,但又不肯定非要发生一个,有可能都不发生,故A与B互斥,不是对立事务.5.从一批羽毛球产品中任取一个,假如其质量小于4.8g的概率是0.3,质量不小于4.85g的概率是0.32,那么质量在[4.8,4.85)g范围内的概率是______.

【解析】设事务A=“质量小于4.8g的羽毛球”,B=“质量在[4.8,4.85)g范围内的羽毛球”,C=“质量不小于4.85g的羽毛球”.则A,B,C互斥,且A+B+C=Ω,所以P(Ω)=P(A+B+C),即1=0.3+P(B)+0.32,所以P(B)=0.38.答案:0.386.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:血型ABABO该血型的人所占的比例%2829835已知同种血型的人可以相互输血,O型血可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能相互输血,李明是B型血,若他因病须要输血,问:(1)任找一个人,其血可以输给李明的概率是多少?(2)任找一个人,其血不能输给李明的概率是多少?【解析】对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事务分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.(1)因为B,O型血可以输给B型血的人,故“可以输给B型血的人”为事务B′+D′,依据概率的加法公式,得P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“不能输给B型血的人”为事务A′+C′,且P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.(30分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛掷一枚质地匀称的骰子,记事务A为“落地时向上的点数是奇数”,事务B为“落地时向上的点数是偶数”,事务C为“落地时向上的点数是2的倍数”,事务D为“落地时向上的点数是2或4”,则下列每对事务是互斥事务但不是对立事务的是 ()A.A与B B.B与CC.A与D D.B与D【解析】选C.A与D互斥,但不对立.2.围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为QUOTE,从中取出2粒都是白子的概率是QUOTE.那么,现从中随意取出2粒恰好是同一色的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选C.“2粒恰好是同一色”包含两个互斥事务:“2粒都是黑子”和“2粒都是白子”,所以所求概率P=QUOTE+QUOTE=QUOTE.3.据某医疗机构调查,某地区居民血型分布为:O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%.现有一血型为A的病人须要输血,若在该地区任选一人,那么能为病人输血的概率约为 ()A.65% B.45% C.20% D.15%【解析】选A.A型或者O型可为A型病人输血,所以所求概率约为50%+15%=65%.4.在一次随机试验中,彼此互斥的事务A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是 ()A.A+B与C是互斥事务,也是对立事务B.B+C与D是互斥事务,也是对立事务C.A+C与B+D是互斥事务,但不是对立事务D.A与B+C+D是互斥事务,也是对立事务【解析】选D.由于A,B,C,D彼此互斥,且A+B+C+D是一个必定事务,故其事务的关系可由图表示.由图可知,任何一个事务与其余3个事务的和事务必定是对立事务,任何两个事务的和事务与其余两个事务的和事务也是对立事务.5.从1,2,3,…,9这九个数字中,随机抽取一个数,则这个数是3的倍数或5的倍数的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.取到的数是3的倍数的概率P1=QUOTE=QUOTE,取到的数是5的倍数的概率为P2=QUOTE,所以取到的数是3的倍数或5的倍数的概率P=P1+P2=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.从一篮子鸡蛋中任取一个,其质量小于30克的概率为0.3,质量在[30,40](克)的概率为0.4,则其质量大于40克的概率为________.

【解析】其质量大于40克的概率P=1-0.3-0.4=0.3.答案:0.37.某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________.

【解析】该射手在一次射击中不超过8环的概率为P=1-0.2-0.3=0.5.答案:0.58.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中有45个红球,从中摸出1个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为________.

【解析】所求概率P=1-0.45-0.23=0.32.答案:0.32三、解答题(每小题10分,共20分)9.袋中装有大小和质地相同的红球、白球、黑球若干个,它们的数量比依次是2∶1∶1,现用分层抽样的方法从中抽取一个样本,抽出的红球和黑球一共有6个.(1)求样本中红球、白球、黑球的个数;(2)若从样本中任取2个球,求下列事务的概率:①含有红球;②恰有1个黑球.【解析】(1)因为红球和黑球在总数中所占比例为QUOTE=QUOTE,样本中全部球的总数N=QUOTE=8.所以红球的个数为QUOTE×8=4,白球的个数为QUOTE×8=2,黑球的个数为QUOTE×8=2.(2)记“2个球1红1白”为事务A,“2个球1红1黑”为事务B,“2个球都是红球”为事务C,“2个球1白1黑”为事务D.则A中的基本领件个数为8,B中的基本领件个数为8,C中的基本领件个数为6,D中的基本领件个数为4,全部基本领件的总数为28.①方法一:含有红球的概率P1=P(A)+P(B)+P(C)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.方法二:“2个都是白球”“2个都是黑球”的基本领件个数都为1,含有红球的概率P1=1-QUOTE=QUOTE.②恰有1个黑球的概率P2=P(B)+P(D)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.10.据统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下:排队人数012345人或更多概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多有两人排队等候的概率;(2)至少有三人排队等候的概率;(3)至少有两人排队等候的概率.【解析】记“在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人或更多”的事务分别为A,B,C,D,E,F.则A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)至多有两人排队等候的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)方法一:至少有三人排队等候的概率为P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二:因为至少三人排队等候与至多两人排队等候是对立事务,故由对立事务的概率公式,至少三人排队等候的概率是P(D+E+F)=1-P(A+B+C)=1-0.56=0.44.(3)方法一:至少有两人排队等候的概率为P(C+D+E+F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.方法二:至少有两人排队与少于两人排队等候是对立事务,所以所求概率为1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.1+0.16)=0.74.1.某商店月收入(单位:元)在下列范围内的概率如表所示:月收入[1000,1500)[1500,2000)[2000,2500)[2500,3000)概率0.12ab0.14已知月收入在[1000,3000)内的概率为0.67,则月收入在[1500,3000)内的概率为______.

【解析】令A表示月收入在[1000,1500),B表示月收入在[1500,2000),C表示月收入在[2000,2500),D表示月收入在[2500,3000),因为事务A,B,C,D互斥,且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.答案:0.552.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)假如他乘A或B去开会的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?【解析】记“他乘火车去”为事务A1,“他乘轮船去”为事务A2,“他乘汽车去”为事务A3,“他乘飞机去”为事务A4,这四个事务不行能同时发生,故它们彼此互斥.(1)P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P,则P=1-P(A2)=1-0.2=0.8.(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.4+0.1)=0.5,故他有可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.【补偿训练】如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.【解析】(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),所以用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～