2024-2025学年新教材高中数学5三角函数5.7三角函数的应用课后素养落实含解析新人教A版必修第一册

课后素养落实(五十五)三角函数的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．如图所示，单摆从某点起先来回摇摆，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆摇摆一个周期所需的时间为()A．2πs B．πsC．0.5s D．1sD[依题意是求函数s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))的周期，T＝eq\f(2π,2π)＝1，故选D.]2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节那天某商场的人流量满意函数F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，则在下列时间段内人流量增加的是()A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20]C[由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.]3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝10cos2t确定，则当t＝eq\f(2π,3)s时，s1与s2的大小关系是()A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1＝s2 D．不能确定C[当t＝eq\f(2π,3)时，s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))＝5sineq\f(3π,2)＝－5，当t＝eq\f(2π,3)时，s2＝10coseq\f(4π,3)＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－5，故s1＝s2.]4．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：月份123456789101112平均温度－5.9－3.32.29.315.120.322.822.218.211.94.3－2.4则适合这组数据的函数模型是()A．y＝acoseq\f(πx,6)B．y＝acoseq\f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)C．y＝－acoseq\f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)D．y＝acoseq\f(πx,6)－3C[当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝eq\f(－5.9＋22.8,2)＞0.故选C.]5．电流强度I(安)随时间t(秒)改变的函数I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象如图所示，则当t＝eq\f(1,100)秒时，电流强度是()A．－5安 B．5安C．5eq\r(3)安 D．10安A[由图象知A＝10，eq\f(T,2)＝eq\f(4,300)－eq\f(1,300)＝eq\f(1,100)，所以ω＝eq\f(2π,T)＝100π.所以I＝10sin(100πt＋φ)．因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,300)，10))为五点作图法中的其次个点，所以100π×eq\f(1,300)＋φ＝eq\f(π,2).所以φ＝eq\f(π,6).所以I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))，当t＝eq\f(1,100)秒时，I＝－5安．]二、填空题6．某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的月平均气温值为______℃.20.5[由题意可知A＝eq\f(28－18,2)＝5，a＝eq\f(28＋18,2)＝23.从而y＝5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))＋23.故10月份的月平均气温值为y＝5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＋23＝20.5.]7．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋\f(π,4)))[由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝eq\f(2π,0.8)＝eq\f(5,2)π，所以y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)πt＋φ))，将点(0.1,2)代入y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋φ))中，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,4)))＝1，所以φ＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即φ＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，令k＝0，得φ＝eq\f(π,4)，所以y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋\f(π,4))).]8．一种波的波形为函数y＝－sineq\f(π,2)x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．7[函数y＝－sineq\f(π,2)x的周期T＝4，且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.]三、解答题9．已知某地一天从4时到16时的温度改变曲线近似满意函数y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25[解](1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10℃.所以，最大温差为30℃－10(2)令10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝15，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝－eq\f(1,2).而x∈[4,16]，所以x＝eq\f(26,3).令10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝25，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝eq\f(1,2)，而x∈[4,16]，所以x＝eq\f(34,3).故该细菌的存活时间为eq\f(34,3)－eq\f(26,3)＝eq\f(8,3)小时．10．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性改变，每天时刻t的浪高数据的平均值如下表：t(时)03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)作出这些数据的散点图；(2)从y＝ax＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b和y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；(3)假如确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试支配恰当的训练时间．[解](1)散点图如图所示．(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．令A>0，ω>0，|φ|<π.由图可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).把t＝0，y＝1代入y＝0.4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(3)由y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1≥0.8，得sineq\f(π,6)t≥－eq\f(1,2).则－eq\f(π,6)＋2kπ≤eq\f(π,6)t≤eq\f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，留意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再结合题意可知，应支配在11时到19时训练较恰当．1．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预料：发觉每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满意：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x123y100009500？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()A．10000元 B．9500元C．9000元 D．8500元C[因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取eq\f(3π,2)，φ可取π，即y＝500sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)x＋π))＋9500.当x＝3时，y＝9000.]2.如图，设点A是单位圆上的肯定点，动点P从点A动身在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧eq\o\ac(AP,\s\up10(︵))的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()ABCDC[令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sineq\f(θ,2)＝eq\f(d,2)，∴d＝2sineq\f(θ,2)＝2sineq\f(l,2)，即d＝f(l)＝2sineq\f(l,2)(0≤l≤2π)，它的图象为C.]3．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asinωπt＋eq\f(π,4)＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．eq\f(1,120)[因为Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωπt＋\f(π,4)))＋60＝80，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωπt＋\f(π,4)))≤1，所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150ωπ＋\f(π,4)))＝－1，此时150ωπ＋eq\f(π,4)＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，所以150ωπ＋eq\f(π,4)＝eq\f(3,2)π，解得ω＝eq\f(1,120).]4．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的随意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为eq\f(π,3)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝________.－eq\f(\r(2),2)[由条件|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为eq\f(π,3)，结合图象(略)可知函数f(x)的最小正周期为eq\f(2π,3)，则由T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,3)，得ω＝3.又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－eq\f(π,4)，则f(x)＝sin3x－eq\f(π,4)，于是feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).]在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的改变，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数f(n)＝100·[Acos(ωn＋2)＋k]来刻画，其中A和k是正整数，ω>0，正整数n表示月份且n∈[1,12]，n∈N＋，例如n＝1时表示1月份．经统计发觉，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增，直到8月份达到最多．(1)试依据已知信息，确定一个符合条件的f(n)的表达式；(2)一般地，假如当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，