2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量基本定理课时素养评价含解析北师大版必修4

PAGE课时素养评价十八平面对量基本定理(20分钟35分)1.设e1,e2是平面内全部向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是 ()A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2【解析】选B.因为6e1-8e2=2(3e1-4e2),所以(6e1-8e2)∥(3e1-4e2),所以3e1-4e2和6e1-8e2不能作为基底.2.已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则向量= ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】选C.=2⇒=QUOTE,所以=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE.3.如图,在△ABC中,=a,=b,=4,用向量a,b表示,正确的是 ()A.=QUOTEa+QUOTEb B.=QUOTEa+QUOTEbC.=QUOTEa+QUOTEb D.=QUOTEa-QUOTEb【解析】选C.因为=+=+QUOTE=+QUOTE(-)=QUOTEa+QUOTEb.4.设a是已知的平面对量且a≠0,关于向量a的分解,有如下四个说法:①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc;上述说法中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则正确的个数是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.利用向量加法的三角形法则,易得①正确;利用平面对量的基本定理,易得②正确;以a的终点作半径为μ的圆,这个圆必需和向量λb有交点,这个不肯定能满意,③错误;由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边),即|λb|+|μc|=λ+μ>|a|,而给定的λ和μ不肯定满意此条件,所以④错误.5.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=QUOTEAB,BE=QUOTEBC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.

【解析】由=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(-)=-QUOTE+QUOTE,则λ1+λ2的值为QUOTE.答案:QUOTE6.在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点.=QUOTE,=a,=b,求证:B,E,F三点共线.【解题指南】利用基底表示出,,然后证=λ(λ∈R)得出三点共线.【证明】因为D是BC的中点,所以有=QUOTE(a+b).=QUOTE=QUOTE(a+b),=QUOTE=QUOTEb,=-=QUOTE(a+b)-a=QUOTE(b-2a),=-=QUOTE(b-2a),所以=QUOTE,又,有公共点B,所以B,E,F三点共线.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2024·台州高一检测)已知点G为△ABC的重心,若=a,=b,则= ()A.QUOTEa+QUOTEb B.-QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEa-QUOTEb D.-QUOTEa-QUOTEb【解析】选B.设D是AC中点,则=QUOTE(+),又G为△ABC的重心,所以=QUOTE=QUOTE×QUOTE(+)=QUOTE(+)=QUOTE(-+-)=-QUOTE+QUOTE=-QUOTEa+QUOTEb.2.设O,A,B,M为平面上四点,=λ+(1-λ),λ∈(0,1),则 ()A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上 D.O,A,B,M四点共线【解析】选A.因为=λ+(1-λ),所以-=λ(-),即=λ,又0<λ<1,所以点M在线段BA上.3.已知a,b是两个不共线的向量,m,n∈R且ma+nb=0,则 ()A.a=0,n=0 B.m,n的值不确定C.m=n=0 D.m,n不存在【解析】选C.因为a,b是两个不共线的向量,ma+nb=0,故m=n=0.4.在△ABC中,点E为AB边的中点,点F为AC边的中点,BF交CE于点G,若=x+y,则xy等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由题意知:G是△ABC的重心,延长AG与边BC交于点D,所以=QUOTE=QUOTE+QUOTE,又因为点E为AB边的中点,点F为AC边的中点,故=2,=2,则=QUOTE+QUOTE,即x=y=QUOTE,所以xy=QUOTE.【误区警示】本题中由E,F为中点即可推断出G为重心,若推断不出则易出错.5.如图,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为 ()A.1 B.2 C.3 【解析】选B.因为O为BC中点,所以=QUOTE(+),又O在MN上,所以=λ,则有-=λ(-),所以=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以有QUOTE①+②得QUOTE=QUOTE,进而有m+n=2.【光速解题】选B.从题目可以看出直线MN改变过程中m+n为定值,故可以令MN与直线BC重合,即=,=,此时m=1,n=1,故m+n=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2024·邯郸高一检测)如图所示,在△ABC中,BC=30,点D在BC边上,点E在线段AD上,若=QUOTE+QUOTE,则BD=.

【解题指南】本题首先可依据点D在BC边上,设=λQUOTE,然后将=QUOTE+QUOTE化简为=QUOTE+QUOTE,依据点E在线段AD上解得λ=QUOTE,最终通过计算即可得出结果.【解析】因为点D在BC边上,所以可设=λQUOTE,所以=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,因为点E在线段AD上,所以A,E,D三点共线,所以QUOTE+QUOTE=1,解得λ=QUOTE,所以CD=30×QUOTE=18,BD=30-18=12.答案:127.已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且a与b是一组基底,则实数λ的取值范围是.

【解析】当a∥b时,设a=mb,则有e1+2e2=m(λe1+e2),即e1+2e2=mλe1+me2,所以QUOTE解得λ=QUOTE,即当λ=QUOTE时,a∥b.又a与b是一组基底,所以a与b不共线,所以λ≠QUOTE.答案:QUOTE∪QUOTE8.如图,在△ABC的边AB,AC上分别取点M,N,使=QUOTE,=QUOTE,BN与CM交于点P,若=λ,=μ,则QUOTE的值为.

【解析】由题意=-=-QUOTE,=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,=-=-QUOTE,=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,依据平面对量基本定理,可得QUOTE所以μ=QUOTE,λ=4,所以QUOTE=QUOTE=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点G是△ABC的重心,=2.(1)用和表示;(2)用和表示.【解析】(1)设BC的中点为M,则2=+,所以=QUOTE,因为G为△ABC的重心,因此,=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)因为=2,所以=QUOTE,因此,=-=QUOTE-QUOTE=QUOTE.10.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底.(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.【解析】(1)若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线得,QUOTE⇒QUOTE所以λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=ma+nb(m,n∈R),得3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2,所以QUOTE⇒QUOTE所以c=2a+b.(3)由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.所以QUOTE⇒QUOTE故所求λ,μ的值分别为3和1.如图所示,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且=x+y.(1)求x的取值范围.(2)当x=-QUOTE时,求y的取值范围.【解析】(1)因为=x+y,以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形,由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线,当OP长度增大且靠近OM时,x趋向负无穷大,所以x的取值范围是(-∞,0).(2)如图所示,当x=-QUOTE时,在OA的反向延长线取点C,使OC=QUOTEOA,过C作CE∥OB,分别交OM和AB的延长线于点D,E,则CD=QUOTEOB,CE=QUOTEOB,要使P点落在指定区域内,则P点应落在DE上,当点P在点D处时,由相像三角形知,CD=QUOTEOB,=-QUOTE+QUOTE,当点P在点E处时,由相像三角形知,CE=QUOTEOB,=-QUOTE+QUOTE,所以y的取值范围是QUOTE.【补偿训练】(2024·长沙高一检测)如图所示,在△ABC中,=,=QUOTE,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P.(1)用和分别表示和;(2)假如=+λ=+μ,求实数λ和μ的值;(3)确定点P在边BC上的位置.【解析】(1)=-=QUOTE-,=-=QUOTE-.(2)由(1)知:=+λ=QUOTE+QUOTE,