2024-2025学年高中数学第一章预备知识3不等式1.3.2基本不等式导学案北师大版必修第一册

第一章预备学问第三章不等式3.2基本不等式导学案1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；借助基本不等式解决简洁的最值问题，1.两个非负实数的算术平均值________它们的几何平均值2.若a≥0,b≥0,取，则：当且仅当a=b时，等号成立这个不等式称为__________3.当x,y均为正数时,下面的命题均成立：若x+y=s（s为定值）则当且仅当x=y时,xy取得最大值________（2） 若xy=p(p为定值）则当且仅当x=y时,x+y取得最小值_____1.《几何原本》中的几何代数法（以几何方法探讨代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，许多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交圆周于D，连接OD．作CE⊥OD交OD于E．由CD≥DE可以证明的不等式为（）A．≥（a＞0，b＞0） B．（a＞0，b＞0） C．≥（a＞0，b＞0） D．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）2．若a，b＞0，ab+2a+b＝4，则a+b的最小值为（）A．2 B．﹣1 C．2﹣2 D．2﹣33．若矩形ABCD的周长1为定值，则该矩形的面积的最大值是（）A． B． C． D．4．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥4恒成立，则m的取值范围是（）A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（0，] D．（，2]1．下列命题中正确的是（）A．若a，b∈R，则 B．若x＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x∈R，则2．下列函数中，最小值是2的是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝7x+7﹣x D．y＝x2（x＞0）3．函数的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．94．已知实数a，b∈R+，且a+b＝2，则的最小值为（）A．9 B． C．5 D．45．已知x＞0，则y＝x+的最小值为（）A．4 B．16 C．8 D．106．若正数a，b满意＝，则当ab取最小值时，b的值为（）A． B． C． D．7．已知x，y＞0，，则x+2y的最小值为（）A．9 B．12 C．15 D．8．已知正实数满意a+2b＝1，则+最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．119．（1）设0＜x＜，求函数y＝x（3﹣2x）的最大值；（2）解关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0．10．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．（1）求广告牌的面积关于x的函数S（x）；（2）求广告牌的面积的最小值．【答案】：【实践探讨】1.【解析】解：由射影定理可知CD2＝DE•OD，即DE＝＝，由DC≥DE得≥，故选：A．2．【解析】解：∵a，b＝R*，ab+2a+b＝4，∴b（a+1）＝4﹣2a，∴b＝＝﹣＝﹣＝﹣2+，∴a+b＝a﹣2+＝a+1+﹣3∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2＝2，当且仅当a+1＝即a＝时″＝″，故选：D．3．【解析】解：设矩形ABCD的长为x，宽为y，则其周长1＝2x+2y为定值，即x+y＝；所以该矩形的面积为S＝xy≤＝＝＝，当且仅当x＝y＝时S取得最大值是．故选：C．4【解答】解：∵m＞0，xy＞0，x+y＝2，∴＝＝≥＝，∵不等式≥4恒成立，∴≥4，整理得，解得，即m≥2，∴m的取值范围为[2，+∞）．故选：B．【课后巩固】1.D2.C3.C4.B5.C6.A7.D8.B9【解析】解：（1）设0＜x＜，∵函数y＝x（3﹣2x）＝﹣2，故当x＝时，函数取得最大值为．（2）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0．当a＝1时，不等式即（x﹣1）2＜0，不等式无解；当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．综上可得，当a＝1时，不等式的解集为∅，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．10．【解析】解：（1）依题意广告牌的高为tm，则（x﹣1）（t﹣1.25）＝45，所以，且x＞1，所以广告牌的面