高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第4讲两条直线的位置关系(专题测试)特训（学生版+解析）

必修2第4讲两条直线的位置关系（专题测试）第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题）1．（2019秋•南充期末）已知点A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1），则|AB|＝（）A．2 B．6 C．3 D．102．（2019秋•内江期末）已知点M（1，3）到直线l：mx+y﹣1＝0的距离等于1，则实数m等于（）A．34 B．43 C．−433．（2020•宝安区校级模拟）若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（）A．2 B．823 C．3 D4．（2019秋•雅安期末）过直线l1：x﹣2y+4＝0与直线l2：x+y+1＝0的交点，且过原点的直线方程为（）A．2x﹣y＝0 B．2x+y＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y＝05．（2020•中山区校级一模）在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则正实数m的最小值是（）A．13 B．3 C．33 D6．（2019秋•芜湖期末）若点A（0，t）与曲线y＝lnx上点B距离最小值为23，则实数tA．ln2+3 B．ln3+2 C．12ln3+3 D7．（2019秋•黄浦区期末）已知a∈R，若不论a为何值时，直线l：（1﹣2a）x+（3a+2）y﹣a＝0总经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，0） C．(−27，18．（2019秋•濮阳期末）点A（﹣3，2），B（3，2），直线ax﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则实数a的取值范围是（）A．−43≤a≤12 B．a≥1或a≤﹣1 C．﹣1≤a≤1 9．（2019秋•城关区校级期末）已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A．513 B．34 C．55 D．210．（2019秋•西湖区校级期末）已知两点A(1，63)，B(0，53)到直线A．a≥1 B．0＜a＜1 C．0＜a≤1 D．0＜a＜2

第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共4小题）11．（2020•通州区一模）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+3y+1=0的距离为12．（2019秋•浏阳市期末）两条平行直线l：3x+4y＝4与m：3x+4y﹣9＝0之间的距离d＝．13．（2020春•鼓楼区校级期中）已知直线l1：4x+2y﹣7＝0和l2：2x+y﹣1＝0，直线m分别与l1，l2交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为．14．（2020•佛山一模）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是；设点A（−54，0），则|PO|+|PA|的最小值为三．解答题（共3小题）15．（2019秋•渭滨区期末）已知直线l：x﹣2y+6＝0在x轴上的截距为m，在y轴上的截距为n．（1）求实数m，n的值；（2）求点（m，n）到直线l的距离．16．（2019秋•包河区校级期末）已知直线l方程为x﹣（m+1）y+3m﹣2＝0，m∈R．（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；（2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．17．（2020春•江宁区校级月考）设直线1的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线1分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（xA，0），B（0，yB），当△AOB面积最小时，求△AOB的周长；（3）当直线1在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l的方程．必修2第4讲两条直线的位置关系（专题测试）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2019秋•南充期末）已知点A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1），则|AB|＝（）A．2 B．6 C．3 D．10【解析】解：根据题意，点A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1），则|AB|=(1−1故选：D．【点睛】本题考查空间两点间距离的计算，注意两点间距离公式的应用，属于基础题．2．（2019秋•内江期末）已知点M（1，3）到直线l：mx+y﹣1＝0的距离等于1，则实数m等于（）A．34 B．43 C．−4【解析】解：根据题意，点M（1，3）到直线l：mx+y﹣1＝0的距离等于1，则有d=|m+3−1|m2+1故选：D．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，关键是掌握公式的形式，属于基础题．3．（2020•宝安区校级模拟）若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（）A．2 B．823 C．3 【解析】解：由l1∥l2得：1a−2解得：a＝﹣1，∴l1与l2间的距离d=6−故选：B．【点睛】本题主要考查了两直线平行A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0的条件A1B2﹣A2B1＝0的应用，及两平行线间的距离公式d=|C4．（2019秋•雅安期末）过直线l1：x﹣2y+4＝0与直线l2：x+y+1＝0的交点，且过原点的直线方程为（）A．2x﹣y＝0 B．2x+y＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y＝0【解析】解：联立x−解得两条直线l1：x﹣2y+4＝0与直线l2：x+y+1＝0的交点（﹣2，1）．∴过点P（﹣2，1）且过原点（0，0）的直线方程为：yx=1−2，即故选：D．【点睛】本题考查了两直线的交点坐标，考查了方程组的解法，是基础题．5．（2020•中山区校级一模）在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则正实数m的最小值是（）A．13 B．3 C．33 【解析】解：设P（1﹣my，y），由|PA|＝2|PB|得（1﹣my﹣1）2+y2＝4×[（1﹣my﹣4）2+y2]化简得（m2+1）y2+8my+12＝0，∴△64m2﹣48（m2+1）≥0，解得m≥3或m≤易知m=3时，y=故m的最小值为3．故选：D．【点睛】本题考查了两点间距离公式以及判别式法求最小值的问题，同时考查了学生的逻辑推理能力、数学运算等数学核心素养．6．（2019秋•芜湖期末）若点A（0，t）与曲线y＝lnx上点B距离最小值为23，则实数tA．ln2+3 B．ln3+2 C．12ln3+3 【解析】解：设点B坐标为（x0，lnx0），其中x0＞0，∵y'=1x，∴过点B的切线斜率为∵当直线AB与过点B的切线垂直时，点A与点B间的距离最小，∴此时lnx0−t点A与点B间的距离最小值x0即x04+x02−12=0，解得：x∴t=lnx故选：C．【点睛】本题主要考查了直线与直线的位置关系，以及两点间距离公式，是中档题．7．（2019秋•黄浦区期末）已知a∈R，若不论a为何值时，直线l：（1﹣2a）x+（3a+2）y﹣a＝0总经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，0） C．(−27【解析】解：由直线l：（1﹣2a）x+（3a+2）y﹣a＝0，知a（3y﹣2x﹣1）+（x+2y）＝0．∵不论a为何值时，直线l：（1﹣2a）x+（3a+2）y﹣a＝0总经过一个定点，即a有无数个解，∴3y﹣2x﹣1＝0且x+2y＝0，∴x=−27，∴这个定点的坐标是(−故选：C．【点睛】本题考查的知识点是恒过定点的直线，处理的方法是将直线方程化成两部分：一部分含参数，一部分不含参数，让两部分的系数均为0，构造方程组．8．（2019秋•濮阳期末）点A（﹣3，2），B（3，2），直线ax﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则实数a的取值范围是（）A．−43≤a≤12 B．a≥1或a≤﹣1 C．﹣1≤a≤1【解析】解：由直线ax﹣y﹣1＝0的方程，判断恒过P（0，﹣1），如下图示：∵KPA＝﹣1，KPB＝1，结合图象可得：实数a的取值范围是：a≤﹣1或a≥1．故选：B．【点睛】求恒过P点且与线段AB相交的直线的斜率的取值范围，有两种情况：当AB，在P竖直方向上的同侧时，（如本题）计算KPA与KPB，若KPA＜KPB，则直线的斜率k∈[KPA，KPB]当AB，在P竖直方向上的异侧时，（如下图）计算KPA与KPB，若KPA＜KPB，则直线的斜率k∈（﹣∞，KPA]∪[KPB，+∞）就是过p点的垂直x轴的直线与线段有交点时，斜率范围写两段区间，无交点时写一段区间．9．（2019秋•城关区校级期末）已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A．513 B．34 C．55 D．2【解析】解：∵两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，∴点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（a，b），则a−32−5+b2+1=0b−5a+3∴|PA|+|PB|的最小值为：|BC|=(4−2)2故选：D．【点睛】本题考查两线段和的最小值的求法，考查直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（2019秋•西湖区校级期末）已知两点A(1，63)，B(0，53)到直线A．a≥1 B．0＜a＜1 C．0＜a≤1 D．0＜a＜2【解析】解：由题意如图所示：因为若A，B在直线的同一侧，可做两条直线，所以若有这样的直线有4条，则当A，B两点分别在直线的两侧时，还应该有两条，所以2a小于A，B的距离，因为|AB|=(1−0)所以0＜2a＜2，所以：0＜a＜1，故选：B．【点睛】考查点到直线的距离公式，属于中档题．二．填空题（共4小题）11．（2020•通州区一模）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+3y+1=0的距离为【解析】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+3y+1=0的距离d故答案为：1．【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式，是基础题．12．（2019秋•浏阳市期末）两条平行直线l：3x+4y＝4与m：3x+4y﹣9＝0之间的距离d＝1．【解析】解：两条平行直线l：3x+4y﹣4＝04与m：3x+4y﹣9＝0之间的距离d=|−4+9|故答案为：1．【点睛】本题考查的知识要点：两平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13．（2020春•鼓楼区校级期中）已知直线l1：4x+2y﹣7＝0和l2：2x+y﹣1＝0，直线m分别与l1，l2交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为52【解析】解：由题知，l2：4x+2y﹣2＝0，两直线间的距离d=5故答案为：52【点睛】本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（2020•佛山一模）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是（0，±1）；设点A（−54，0），则|PO|+|PA|的最小值为7【解析】解：设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则|x+1|+x令x＝0，1+|y|＝2，y＝±1，故曲线C与y轴的交点为（0，1），（0，﹣1），当x≥﹣1时，由x2+y2=1−x故轨迹方程是以原点O为焦点，x＝1为准线的在x≥﹣1的抛物线，根据题意，当O，P，A三点共线时，则|PO|+|PA|的最小为|AB|＝1+5当x＜﹣1时，x2+y2=x+3故轨迹方程是以原点O为焦点，x＝﹣3为准线的在x＜﹣1的抛物线，根据题意，当O，P，A三点共线时，则|PO|+|PA|的最小为|AC|=−综上，|PO|+|PA|的最小值为74故答案为：（0，±1）；74【点睛】考查直线与抛物线的综合，求曲线的轨迹方程，中档题．三．解答题（共3小题）15．（2019秋•渭滨区期末）已知直线l：x﹣2y+6＝0在x轴上的截距为m，在y轴上的截距为n．（1）求实数m，n的值；（2）求点（m，n）到直线l的距离．【解析】解：（1）令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝﹣6，所以m＝﹣6，n＝3．（2）由（1）知点（m，n）为（﹣6，3），所以点（m，n）到直线l的距离为d=|−6−2×3+6|【点睛】本题主要考查了直线的截距及点到直线的距离公式的简单应用，属于基础试题．16．（2019秋•包河区校级期末）已知直线l方程为x﹣（m+1）y+3m﹣2＝0，m∈R．（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；（2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．【解析】解：（1）证明：x﹣（m+1）y+3m﹣2＝0，化为：（x﹣y﹣2）﹣m（y﹣3）＝0．联立：（x﹣y﹣2）＝y﹣3＝0．解得x＝5，y＝3．交点（5，3），故定点P的坐标为（5，3）．（2）对于直线l方程为x﹣（m+1）y+3m﹣2＝0，m∈R．当直线l不经过原点时，令y＝0，可得x＝﹣3m+2≠0，再令x＝0，可得y=3m−2所以＝﹣3m+2=3m−2m+1，解得故直线l的方程为：x+y﹣8＝0．当直线l经过原点时，3m﹣2＝0，解得m=23，故直线l的方程3x﹣5故要求的直线l的方程为：x+y﹣8＝0或3x﹣5y＝0．【点睛】本题考查了直线系、截距式方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．（2020春•江宁区校级月考）设直线1的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线1分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（xA，0），B（0，yB），当△AOB面积最小时，求△AOB的周长；（3）当直线1在两