2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第03讲导数与函数的极值、最值(知识+真题+6类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

第03讲导数与函数的极值、最值目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 2第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：函数图象与极值（点）的关系 3高频考点二：求已知函数的极值（点） 5高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 5高频考点四：求函数的最值（不含参） 7高频考点五：求函数的最值（含参） 8高频考点六：根据函数的最值求参数 10第四部分：典型易错题型 11备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案 11第一部分：基础知识1、函数的极值一般地，对于函数，（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.2、函数的最大（小）值一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3、函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.第二部分：高考真题回顾1．（多选）（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点2．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：函数图象与极值（点）的关系典型例题例题1．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．在区间上单调递增B．在区间上有且仅有2个极值点C．在区间上最多有4个零点D．在区间上存在极大值点例题2．（多选）（23-24高二·全国·单元测试）函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（

）A．是函数的极值点B．是函数的最小值点C．在区间上单调递增D．在处切线的斜率小于零练透核心考点1．（多选）（23-24高二上·江苏·课前预习）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下列说法正确的为（）A．函数在区间内是单调递增的B．函数在处取得极大值C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值2．（多选）（23-24高二·江苏南京·期中）已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论正确的有（

）A．函数的极大值点有个B．函数在上是减函数C．若时，的最大值是，则的最大值为4D．当时，函数有个零点高频考点二：求已知函数的极值（点）典型例题例题1．（2024高二下·全国·专题练习）设函数，则的极大值点和极小值点分别为（

）A． B． C． D．例题2．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）设函数，则（

）A．为极大值点 B．为极大值点C．为极小值点 D．无极值点例题3．（23-24高三上·北京东城·阶段练习）设函数.(1)若曲线在点处与直线相切，求的值；(2)求函数的单调区间与极值点.练透核心考点1．（2023·广西南宁·三模）函数的极小值点为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二·天津滨海新·期中）函数在区间上的极小值点是（

）A．0 B． C． D．3．（23-24高二·陕西·开学考试）函数的极小值点为，极大值为．高频考点三：根据函数的极值（点）求参数典型例题例题1．（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．例题2．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（

）A．1 B．2 C． D．3例题3．（2024高二下·全国·专题练习）若函数在上有极值，则实数的取值范围是.例题4．（2024·广东汕头·一模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.练透核心考点1．（23-24高三上·山东青岛·阶段练习）已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则．3．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数．(1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点；(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．高频考点四：求函数的最值（不含参）典型例题例题1．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）函数在上的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5例题2．（2024高二下·全国·专题练习）已知为正实数，函数在上的最大值为4，则在上的最小值为（

）A．0 B． C． D．2例题3．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）函数在区间上的最小值是.例题4．（22-23高二下·河南·期中）已知函数在点处的切线方程为．(1)求实数和的值；(2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．练透核心考点1．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）设，则函数的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．2．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）已知函数，则的最大值为．3．（2024·江西南昌·一模）已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)求的最大值.例题4．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数.(1)若在处取得极值，求的极值；(2)若在上的最小值为，求的取值范围.练透核心考点1．（23-24高三上·河北·期末）已知函数的最小值为0，则.2．（22-23高二下·全国·课时练习）已知函数，（为实数）．求在区间上的最小值．3．（23-24高三上·上海·期中）已知，函数，．(1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；(2)若与有相同的最小值，求实数a．4．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求在上的最小值．高频考点六：根据函数的最值求参数典型例题例题1．（2024高二下·全国·专题练习）若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是.例题2．（23-24高三下·浙江·阶段练习）己知函数，其中.(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;(2)是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.例题3．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，其中a是正数．(1)讨论的单调性；(2)若函数在闭区间上的最大值为，求a的取值范围．练透核心考点1．（2023·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为.2．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数有最小值2，求a的值.3．（2023·四川泸州·一模）已知是函数的极值点．(1)求的值；(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．第四部分：典型易错题型备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案1．（23-24高二·湖北黄冈·期末）已知函数在处有极小值，则常数的值为（

）A．1 B．2或6 C．2 D．62．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（

）A．3 B．18 C．3或18 D．不存在第03讲导数与函数的极值、最值目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 2第三部分：高频考点一遍过 5高频考点一：函数图象与极值（点）的关系 5高频考点二：求已知函数的极值（点） 9高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 12高频考点四：求函数的最值（不含参） 17高频考点五：求函数的最值（含参） 21高频考点六：根据函数的最值求参数 27第四部分：典型易错题型 32备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案 32第一部分：基础知识1、函数的极值一般地，对于函数，（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.2、函数的最大（小）值一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3、函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.第二部分：高考真题回顾1．（多选）（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.【详解】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.2．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.【详解】（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为.【点睛】关键点睛：1.当时，利用，换元放缩；2.当时，利用，换元放缩.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：函数图象与极值（点）的关系典型例题例题1．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．在区间上单调递增B．在区间上有且仅有2个极值点C．在区间上最多有4个零点D．在区间上存在极大值点【答案】CD【分析】结合导数图像的正负性，判断原函数的单调性，进而逐一对选项辨析即可.【详解】由图可知，在区间为负，单调递减，在区间为正，单调递增，故A错误；在区间上有3个零点，且零点附近左右两边的值一正一负，故有3个极值点，故B错误；在区间，为负，单调递减，在区间，为正，单调递增，则在与时取得极小值，在时取得极大值，则当与时，，且时，在区间上最多有4个零点,故C正确；在区间上为正，单调递增，在区间上为负，单调递减，则为极大值点，故D正确；故选：CD.例题2．（多选）（23-24高二·全国·单元测试）函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（

）A．是函数的极值点B．是函数的最小值点C．在区间上单调递增D．在处切线的斜率小于零【答案】AC【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；故选：AC练透核心考点1．（多选）（23-24高二上·江苏·课前预习）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下列说法正确的为（）A．函数在区间内是单调递增的B．函数在处取得极大值C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值【答案】ABD【分析】根据图象，先判断出在和上大于0，在和上小于0，从而可得的单调性和极值点.【详解】从图象上可以发现，当时，，于是，故在区间内是单调递增的，A正确；当时，，所以，当时，，所以，故函数在处取得极大值，B正确；当时，，所以函数在区间内是单调递减的，C错误；当时，，于是，故在区间内是单调递减的，而在区间内是单调递增的，所以函数在处取得极小值，D正确．故选：ABD2．（多选）（23-24高二·江苏南京·期中）已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论正确的有（

）A．函数的极大值点有个B．函数在上是减函数C．若时，的最大值是，则的最大值为4D．当时，函数有个零点【答案】ABD【分析】利用导函数的图象可判断A、B选项的正误；取，结合函数的最值与单调性的关系可判断C选项的正误；作出函数的草图，数形结合可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，B选项正确；函数有个极大值点，A选项正确；当时，函数最大值是，而最大值不是，C选项错误；作出函数的图象如下图所示，由下图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查导数和原函数之间的关系，由图象判断零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.高频考点二：求已知函数的极值（点）典型例题例题1．（2024高二下·全国·专题练习）设函数，则的极大值点和极小值点分别为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值点.【详解】易知函数的定义域是，由题意，，当或时，；当或时，，在和上单调递增，在和上单调递减，极大值点是，极小值点是．故选：A.例题2．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）设函数，则（

）A．为极大值点 B．为极大值点C．为极小值点 D．无极值点【答案】B【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到极值点.【详解】函数定义域为，则，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，即为极大值点.故选：B例题3．（23-24高三上·北京东城·阶段练习）设函数.(1)若曲线在点处与直线相切，求的值；(2)求函数的单调区间与极值点.【答案】(1)(2)见解析.【分析】（1）已知函数的解析式，把点代入，再根据在点处与直线相切，求出，的值；（2）由题意先对函数进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间.【详解】（1），曲线在点处与直线相切，，∴（2），当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点．当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，即函数的增区间为，，减区间为；此时是的极大值点，是的极小值点．练透核心考点1．（2023·广西南宁·三模）函数的极小值点为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值点.【详解】因为定义域为，所以，令得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值．故选：D2．（23-24高二·天津滨海新·期中）函数在区间上的极小值点是（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用导数研究的区间单调性，进而确定极小值点.【详解】由题设，所以在上，递减，在上，递增，所以极小值点为.故选：B3．（23-24高二·陕西·开学考试）函数的极小值点为，极大值为．【答案】18【分析】求导，即可得函数的单调性，结合极值点的定义即可求解.【详解】由得，令，解得或，令，解得，故在和上单调递增，在单调递减，故在处取极小值，在处取极大值，故，，故答案为：，18，高频考点三：根据函数的极值（点）求参数典型例题例题1．（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数的导数，由已知可得函数在上有两个零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可.【详解】函数的定义域为，，又函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个零点，由，所以方程有两个不同的正实数，所以，即.故选：B例题2．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【分析】先求出函数的导函数；再求出极值点，代入函数解方程即可.【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，.令，得；令，得.所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.则是函数的极小值点，故，解得.故选：B例题3．（2024高二下·全国·专题练习）若函数在上有极值，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由题意可得在上有变号零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值可得答案.【详解】的定义域为，，要函数在上有极值，则在上有变号零点，即在上有实数根，且不能为相等实根.令，则，当且仅当时等号成立，所以.当时，，函数单调递增，则函数在上没有极值，故.故答案为：.例题4．（2024·广东汕头·一模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出的范围.【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，求导得，当时，，由，得，由，得，则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；当时，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，则函数在上递增，在上递减，因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；②若，即，由，得或，由，得，则函数在上递增，在上递减，因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；③若，即，由在上恒成立，得在上递增，函数无极值，不合题意，所以的取值范围为.练透核心考点1．（23-24高三上·山东青岛·阶段练习）已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将问题转化为方程在有两个不相等实根，即有两个不同的交点，令，利用数形结合法求解．【详解】解：，则，要使函数在其定义域内既有极大值也有极小值，只需方程在有两个不相等实根．即，令，则．当，，当，，在递增，在递减，当，，，其图象如下：，．故选：D．2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则．【答案】【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可.【详解】由题意可知，因为函数在时取得极大值4，所以，解之得，检验，此时，令或，令，即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意，故.故答案为：3．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数．(1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点；(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）当时，对求导，分析函数单调性，确定图象，可证明曲线与直线只有一个交点.（2）将既存在极大值，又存在极小值，转换为有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数的取值范围.【详解】（1）当时，函数，求导得：，令，得；令，得；则函数在上递增，在上递减，故，所以曲线与直线只有一个交点.（2）函数的定义域为，求导得，设，令，解得，.因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，则，解得且，综上所述：的取值范围为.高频考点四：求函数的最值（不含参）典型例题例题1．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）函数在上的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用导数与函数单调性的关系分析的性质，从而求得在的极大值与端点值，由此得解.【详解】因为，所以，令，得或；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，而，所以在上的最大值为.故选：B.例题2．（2024高二下·全国·专题练习）已知为正实数，函数在上的最大值为4，则在上的最小值为（

）A．0 B． C． D．2【答案】A【分析】利用导数判断得在上单调递增，从而列式得解.【详解】因为，为正实数，所以恒成立，所以在上单调递增，所以函数在上的最大值为，即，所以在上的最小值为.故选：A.例题3．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）函数在区间上的最小值是.【答案】0【分析】根据给定条件，利用导数求出函数在给定区间上的最小值.【详解】函数，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，而当时，，当时，，所以函数在区间上的最小值是0.故答案为：0例题4．（22-23高二下·河南·期中）已知函数在点处的切线方程为．(1)求实数和的值；(2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．【答案】(1)，(2)【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义可求的值，再根据切线过切点求的值；（2）根据导数与函数单调性的关系，分析函数在给定区间上的单调性，再求函数的最大值.【详解】（1）因为所以，由题意可得，，解得:，.（2）由(1)可得，所以，且，易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，，且，即最大值为：.练透核心考点1．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）设，则函数的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根据题意，令，求导可得，即可得到在单调递减，从而得到结果.【详解】因为，令，则，由可得，

当时，，则单调递减，所以时，有最小值为.故选：D【点睛】，2．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）已知函数，则的最大值为．【答案】【分析】求导得出函数在上的单调性，即可求得的最大值为.【详解】由可得，令可得，又，所以，当时，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增；易知；因此的最大值为.故答案为：3．（2024·江西南昌·一模）已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求导得，令可求的单调递减区间；（2）由（1）易判断在时单增，在时单减，进而求出.【详解】（1），令，得，即，所以的单调递减区间为；（2）当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即的最大值为.4．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知函数在处取得极小值5．(1)求实数a，b的值；(2)当时，求函数的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意得到，，求出，，检验后得到答案；（2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案.【详解】（1），因为在处取极小值5，所以，得，此时所以在上单调递减，在上单调递增所以在时取极小值，符合题意所以，．又，所以．（2），所以列表如下：0123001↗极大值6↘极小值5↗10由于，故时，．高频考点五：求函数的最值（含参）典型例题例题1．（22-23高二下·天津和平·阶段练习）函数，若恒有，则a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可知的最小值大于等于0，利用导数求函数的最值即得.【详解】由题可得，由，可得，此时单调递减，由，可得，此时单调递增，∴，∴.故选：C.例题2．（2023高二·全国·专题练习）已知函数，其中.求的最小值；【答案】0【分析】求导后根据导函数的正负与原函数的单调性与最值求解即可.【详解】，令，解得，由为增函数知，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以的最小值为.例题3．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数.(1)若，且与函数的图象相切，求的值；(2)若对成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切点横坐标即可得解.（2）根据给定条件构造函数，按，分类讨论求解.【详解】（1）函数，求导得，设直线与函数的图象相切的切点横坐标为，于是，而，，解得，又，解得，所以.（2）依题意，对恒成立，设，显然，恒成立，当时，，不符合题意，当时，求导得，由得，函数在上单调递减，由得，函数在上单调递增，则，于是，解得，因此；所以所求实数的取值范围是.例题4．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数.(1)若在处取得极值，求的极值；(2)若在上的最小值为，求的取值范围.【答案】(1)极大值为，极小值为(2)【分析】（1）根据极值点可得，进而可得，利用导数即可求解函数的单调区间，进而可求解极值，（2）根据导数确定函数单调性，结合分类讨论即可求解.【详解】（1），，.因为在处取得极值，所以，则.所以，，令得或1，列表得1+0-0+↗极大值↘极小值↗所以的极大值为，极小值为.（2）.①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；②当时，令，则或，所以在上单调递减，在上单调递增，此时，的最小值为，不满足题意；③当时，在上单调递减，的最小值为，不满足题意.综上可知，实数的取值范围时.练透核心考点1．（23-24高三上·河北·期末）已知函数的最小值为0，则.【答案】【分析】求导，分类讨论函数的单调性即可求解最值.【详解】因为，所以.若，则在上单调递减，无最小值.若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.故答案为：2．（22-23高二下·全国·课时练习）已知函数，（为实数）．求在区间上的最小值．【答案】【分析】根据得出在上的增减性，再分类讨论即可得出在区间上的最小值．【详解】函数的定义域为，，当变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增①当时，在区间上为增函数，所以．②当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，所以，综上，．3．（23-24高三上·上海·期中）已知，函数，．(1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；(2)若与有相同的最小值，求实数a．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由得切点的横坐标，再代入计算出纵坐标即得切点坐标；（2）首先由导数求得与的最小值，由两最小值相等求，为此方程变形后引入新函数，利用导数确定单调性得出零点．【详解】（1）由题意，，由得，此时，所以切点为；（2），时，，在上是增函数，无最小值，所以，，时，，递减，时，，递增，所以有唯一的极小值也是最小值，，，，，递减，时，，递增，所以有唯一的极小值也是最小值为，由题意，，设，则，设，则，时，，递增，时，，递减，所以，所以，即，是减函数，又，因此是的唯一零点，所以由得．4．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求在上的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解；（2）利用导函数与单调性、最值的关系，结合的不同取值范围，分类讨论求解.【详解】（1）函数的定义域为，则．当时，在上恒成立，故此时在上单调递减；当时，由，得,由，得，故此时在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知，当时，在上单调递减，所以在上单调递减，所以；当时，(i)若，即时，在上单调递增，此时，；(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，；(iii)若，即时，在上单调递减，此时，．综上所述，．高频考点六：根据函数的最值求参数典型例题例题1．（2024高二下·全国·专题练习）若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是.【答案】【分析】先利用导数分析的性质，再结合在内存在最小值，得到关于的不等式，解之即可得解.【详解】因为，所以，令，得或，令，得或；令，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，令，解得或，若函数在内存在最小值，则，解得.故答案为：.例题2．（23-24高三下·浙江·阶段练习）己知函数，其中.(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;(2)是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线方程即可求出参数值.（2）含参分类讨论，利用导数求函数的单调性，进而得到最大值，分别求解即可得到参数值.【详解