2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第12讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题(学生版+解析)

第12讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题一、型及型未定式1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式.2、定理1（型）：（1）设当时，及；（2）在点的某个去心邻域内（点的去心HYPERLINK邻域内）都有，都存在，且；（3）；则：.3、定理2（型）：若函数和满足下列条件：(1)及；

(2)，和在与上可导，且；

(3)，那么.4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1)及；

(2)在点的去心HYPERLINK邻域内，与可导且；

(3)，那么=.5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立.6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:A． B． C．1 D．23．（23-24高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（

）A．0 B． C．1 D．2练透核心考点1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有．2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有．3．（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则．类型二：洛必达法则在导数中的应用典型例题1．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则.②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：；(3)证明：，.2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．练透核心考点1．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，(1)当时，求函数的值域；(2)若函数恒成立，求的取值范围.2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函数.(1)当时，求过原点且与的图象相切的直线方程；(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围.第12讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题一、型及型未定式1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式.2、定理1（型）：（1）设当时，及；（2）在点的某个去心邻域内（点的去心HYPERLINK邻域内）都有，都存在，且；（3）；则：.3、定理2（型）：若函数和满足下列条件：(1)及；

(2)，和在与上可导，且；

(3)，那么.4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1)及；

(2)在点的去心HYPERLINK邻域内，与可导且；

(3)，那么=.5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立.6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:,如满足条件，可继续使用洛必达法则.二、型、、、型1、型的转化：或；2、型的转化：3、、型的转化：幂指函数类高频考点类型类型一：洛必达法则的简单计算典型例题1．（23-24高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据题意利用洛必达法则求解即可【详解】由题意得，故选：B2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用洛必达法则直接求解即可.【详解】.故选：B.3．（23-24高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用洛必达法则直接求解即可【详解】，故选：D练透核心考点1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有．【答案】【分析】由洛必达法则，分别对分子和分母求导，代入即可求得该极限值.【详解】由题意可得：．故答案为：.2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有．【答案】2【分析】根据题中所给方法也就是洛必达法则，直接计算可求得答案.【详解】由题意可得：,故答案为：2.3．（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则．【答案】/0.5【分析】依据洛必达法则去计算即可解决.【详解】故答案为：类型二：洛必达法则在导数中的应用典型例题1．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则.②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：；(3)证明：，.【答案】(1)不是区间上的2阶无穷递降函数；(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；（2）通过构造，再结合即可得到结果；（3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论.【详解】（1）设，由于，所以不成立，故不是区间上的2阶无穷递降函数.（2）设，则，设，则，所以，得.（3）令，则原不等式等价于，即证，记，则，所以，即有对任意，均有，所以，因为，所以，所以，证毕!【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．【答案】【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案.【详解】根据题目的条件，当且时，得，等价于．设，，因为，设，则，所以在上单调递增，因为，所以当时，，即在上单调递减，当在上单调递增．当趋近时，趋近，当趋近时，趋近，所以符合洛必达法则的条件，即，所以当时，所以的取值范围是．练透核心考点1．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，(1)当时，求函数的值域；(2)若函数恒成立，求的取值范围.使得当时，故在上单调递减，则，④当时，令，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，，即在上递增，则成立.综上所述，若函数恒成立，则.方法二当时，成立，当时，成立，当时，恒成立，令，则，又，令，，当时，，，在上单调递增.，，故，，又，，故.【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，法一：由求解；法二：转化为由求解.2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函数.(1)当时，求过原点且与的图象相切的直线方程；(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）函数有两个零点等价于有两个不同根，构造函数判定其单调性与零点得方程有两个不等实根，利用换元法得，构造，法一、将恒成立问题转化为，利用对勾函数的单调性，分类讨论计算即可；法二、利用导数求的单调性结合洛必达法则最小值即可.【详解】（1）易知的定义域为，设切点坐标，则切线方程为：，把点带入切线得：，所以，的切线方程为：；（2），又有两个不同零点，则有两个不同零点，构造函数，

则为增函数，且，即方程有两个不等实根，令，则，

则，

设，法一、原不等式恒成立等价于恒成立