2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第07讲函数的图象(知识+真题+6类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

第07讲函数的图象目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 3第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：画出函数的图象 4高频考点二：函数图象的识别 6高频考点三：函数图象的应用 8角度1：研究函数的性质 8角度2：确定零点个数 8角度3：解不等式 9角度4：求参数的取值范围 9第五部分：新定义题（解答题） 12第一部分：基础知识1、平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.2、对称变换①的图象的图象；②的图象的图象；③的图象的图象；④(，且)的图象(，且)的图象.3、伸缩变换①.②.4、翻折变换（绝对值变换）①的图象的图象；（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）②的图象的图象.（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）5、图象识别技巧（按使用频率优先级排序）①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值）②单调性法（；；，；通过求导判断单调性）③奇偶性法偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数④极限（左右极限）（；；；；）⑤零点法⑥极大值极小值法第二部分：高考真题回顾1．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．2．（2022·全国·（乙卷文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·（甲卷理））函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：画出函数的图象典型例题例题1．（2024上·重庆·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知函数.

(1)在给出的坐标系中作出的图象；(2)根据图象，写出的单调区间；(3)试讨论方程的根的情况.例题2．（2024上·江苏盐城·高一校联考期末）画出下列函数的大致图象：(1)．(2)．练透核心考点1．（2024上·贵州六盘水·高一统考期末）已知函数是偶函数，当时，．(1)求的值，并作出函数在区间上的大致图象；(2)根据定义证明在区间上单调递增．2．（2024上·广东广州·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)画出函数的图象，并写出的单调区间；(2)求出的解析式.高频考点二：函数图象的识别典型例题例题1．（2024·四川·校联考模拟预测）函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

例题2．（2024下·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

练透核心考点1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

2．（2024上·陕西汉中·高一南郑中学校联考期末）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

高频考点三：函数图象的应用角度1：研究函数的性质典型例题例题1．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知是定义在上的函数在上单调递减，且，函数的图象关于点对称，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例题2．（2024·四川·校联考模拟预测）函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

例题2．（2024上·重庆·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知函数.

(1)在给出的坐标系中作出的图象；(2)根据图象，写出的单调区间；(3)试讨论方程的根的情况.练透核心考点1．（2024·山西运城·统考一模）已知符号函数则函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

2．（2024下·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

3．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）函数的部分图象大致为（

）A． B．

C．

D．

4．（2024上·重庆·高一统考期末）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．5．（2022下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）若函数满足，当时，，若在区间上，有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2024上·北京平谷·高一统考期末）已知函数，用表示的最小值，记为，那么的最大值为．7．（2023上·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）定义域为R的奇函数满足.(1)求解析式；(2)求不等式的解集.8．（2023上·湖南永州·高一湖南省祁阳县第一中学校考阶段练习）已知为上的偶函数，当时，．(1)求出时的解析式，并作出的图象；(2)根据图象，写出的解集．第五部分：新定义题（解答题）1．（2019上·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考阶段练习）已知函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，则求出的值；若不具有“性质”，请说明理由；（2）已知函数具有“性质”且函数在上的最小值为；当时，，求函数在区间上的值域；（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数，在恰好存在个零点，求的取值范围.2．（2019上·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）我们把定义在上，且满足（其中常数、满足，，）的函数叫做似周期函数.（1）若某个似周期函数满足且图象关于直线对称，求证：函数是偶函数；（2）当，时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，，的解析式；（3）对于（2）中的函数，若对任意，都有，求实数的取值范围.第07讲函数的图象目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 3第三部分：高频考点一遍过 5高频考点一：画出函数的图象 5高频考点二：函数图象的识别 9高频考点三：函数图象的应用 12角度1：研究函数的性质 12角度2：确定零点个数 13角度3：解不等式 15角度4：求参数的取值范围 16第五部分：新定义题（解答题） 23第一部分：基础知识1、平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.2、对称变换①的图象的图象；②的图象的图象；③的图象的图象；④(，且)的图象(，且)的图象.3、伸缩变换①.②.4、翻折变换（绝对值变换）①的图象的图象；（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）②的图象的图象.（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）5、图象识别技巧（按使用频率优先级排序）①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值）②单调性法（；；，；通过求导判断单调性）③奇偶性法偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数④极限（左右极限）（；；；；）⑤零点法⑥极大值极小值法第二部分：高考真题回顾1．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D2．（2022·全国·（乙卷文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.3．（2022·全国·（甲卷理））函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：画出函数的图象典型例题例题1．（2024上·重庆·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知函数.

(1)在给出的坐标系中作出的图象；(2)根据图象，写出的单调区间；(3)试讨论方程的根的情况.【答案】(1)作图见解析(2)减区间为，增区间为.(3)答案见解析【分析】（1）去绝对值符号，利用函数图象变换分段画出函数图象；（2）根据函数的图象，直接求出函数的单调区间；（3）根据函数的图象，分类讨论确定函数的图象与的图象交点个数，即可讨论方程根的情况.【详解】（1）函数，作出函数的图象如图所示：

（2）根据（1）中的函数图象知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（3）根据图象可知，当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有两个交点，此时方程有两个不同的根.当时，函数的图象与函数（为实数）的图象没有交点，此时方程没有根.当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有一个交点，此时方程有一个不同的根.例题2．（2024上·江苏盐城·高一校联考期末）画出下列函数的大致图象：(1)．(2)．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）由函数为偶函数，结合对数函数的图象，利用对称性作图．（2）利用函数图象的对称变换，把的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称即可.【详解】（1），易知函数为偶函数，所以函数的图象如图所示：（2）把的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称，即可得的图象，如图所示：练透核心考点1．（2024上·贵州六盘水·高一统考期末）已知函数是偶函数，当时，．(1)求的值，并作出函数在区间上的大致图象；(2)根据定义证明在区间上单调递增．【答案】(1)，图像见解析(2)证明见解析【分析】（1）由偶函数可得，可以先画出时的图象，然后利用关于轴对称画出另一半即可.（2）由函数单调性的定义证明即可.【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，作出图象如图所示：（2），且，有，由得，所以，即，所以函数在区间上单调递增.2．（2024上·广东广州·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)画出函数的图象，并写出的单调区间；(2)求出的解析式.【答案】(1)图象见解析；增区间为，减区间为；(2)【分析】（1）先作出函数在区间上的图象，结合奇函数的对称性可得出该函数在区间上的图象，根据图象可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）设，可得出，由奇函数的性质得出，可得出函数在上的解析式，进而可得出该函数在上的解析式.【详解】（1）函数是上的奇函数，其图象关于原点对称，且当时，，则函数的图象如下图所示：

由图象知，增区间为，减区间为（2）设，则，则.因此，时，，所以函数在上的解析式为.高频考点二：函数图象的识别典型例题例题1．（2024·四川·校联考模拟预测）函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的判断可排除CD，根据以及时的函数值的正负，即可排除B.【详解】因为，定义域为，又，可知为偶函数，排除CD；当时，，当时，，则，当时，，则，B不符题意，故选：A.例题2．（2024下·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，当时，，故排除A.故选：B.练透核心考点1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】判断函数的图象问题，可从函数定义域，函数的奇偶性，函数图象的趋势或者特殊点的函数值进行判断是否符合题意.【详解】由函数可得函数的定义域为，由可知函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，故舍去B，D两项；又由可得C项不合题意，故A项正确.故选：A.2．（2024上·陕西汉中·高一南郑中学校联考期末）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据函数的单调性以及特殊点的函数值求得正确答案.【详解】设，的定义域为，，所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误.，所以C选项错误当时，，所以A选项错误.故选：B高频考点三：函数图象的应用角度1：研究函数的性质典型例题例题1．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知是定义在上的函数在上单调递减，且，函数的图象关于点对称，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据函数的性质作出简图，结合函数图象可得不等式的解集.【详解】由函数的图象关于对称可得图象关于对称，所以为R上的奇函数，则函数图象大致如图所示．要解，即，即，当时，即时，，所以或者，解得或；当时，即时，，所以，解得综上可得不等式的解集为.故选：D.例题2．（2024·四川·校联考模拟预测）函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的判断可排除CD，根据以及时的函数值的正负，即可排除B.【详解】因为，定义域为，又，可知为偶函数，排除CD；当时，，当时，，则，当时，，则，B不符题意，故选：A.角度2：确定零点个数典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）函数的零点个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】转化为，的交点个数问题，画出两函数图象，数形结合得到答案.【详解】，即，令，，故的零点个数为与的交点个数，在同一坐标系内画出与的图象，如下：显然与的交点个数为1，故的零点个数为1.故选：D例题2．（多选）（2024下·广东湛江·高二校考开学考试）已知函数的图象与直线有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．1【答案】BC【分析】在同一坐标系中作出两函数的图象，观察图象可得到a的取值范围.【详解】在同一坐标系中作出函数与的大致图象，如图所示，两图象都经过，易知只有时才能在的区域有第二个交点，故的取值范围.故选：BC

角度3：解不等式典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意结合的奇偶性和单调性的示意图，化简不等式为，数形结合，求得它的解集．【详解】由题意可得，奇函数在和上都为单调递增函数，且，函数图像示意图如图所示：

故不等式，即，即，结合的示意图可得它的解集为或故选：D．例题2．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】由题得出的性质，然后作出草图即可得出答案.【详解】对任意的且都有，所以时，严格减，又是上奇函数，且，所以可以画出的草图如下：

由图易知，当时，，此时；当时，，此时，故不等式解集为或，故选：D.角度4：求参数的取值范围典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为．【答案】【分析】问题转化为方程和共有四个不同的实数解，作出函数的图象，由图象判断实数的取值范围．【详解】方程等价于，由一次函数和对勾函数的性质，作函数的图象如图，由图象可知，方程只有一个实数根，则有三个不同的实数解，所以实数的取值范围为.故答案为：例题2．（2024上·重庆·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知函数.

(1)在给出的坐标系中作出的图象；(2)根据图象，写出的单调区间；(3)试讨论方程的根的情况.【答案】(1)作图见解析(2)减区间为，增区间为.(3)答案见解析【分析】（1）去绝对值符号，利用函数图象变换分段画出函数图象；（2）根据函数的图象，直接求出函数的单调区间；（3）根据函数的图象，分类讨论确定函数的图象与的图象交点个数，即可讨论方程根的情况.【详解】（1）函数，作出函数的图象如图所示：

（2）根据（1）中的函数图象知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（3）根据图象可知，当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有两个交点，此时方程有两个不同的根.当时，函数的图象与函数（为实数）的图象没有交点，此时方程没有根.当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有一个交点，此时方程有一个不同的根.练透核心考点1．（2024·山西运城·统考一模）已知符号函数则函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】先得到为偶函数，排除AB，再计算出，得到正确答案.【详解】定义域为R，且为奇函数，故，故的定义域为R，且，故为偶函数，AB错误；当时，，C错误，D正确.故选：D2．（2024下·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，当时，，故排除A.故选：B.3．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）函数的部分图象大致为（

）A． B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据函数解析式判断函数奇偶性，排除C,D两项，再利用特殊值检验排除B项即得.【详解】∵，即为奇函数，排除C，D；又，排除B.故选:A.4．（2024上·重庆·高一统考期末）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由的图象，求出特殊点，结合条件逐一比较分析判断.【详解】当时，，当时，，当时，，由图像可知，，此时，解得，故A对；因为关于对称，所以，又，，故B对；由，得，由，得，由，得，故C错；，故D对.故选：ABD

5．（2022下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）若函数满足，当时，，若在区间上，有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用条件先确定函数在区间上的解析式，利用数形结合计算即可.【详解】由题意可知时，，所以，即，又在区间有两个零点，即有两个交点，作与图象如下，显然过定点，由图象可知，即.故选：C【点睛】思路点睛：首先根据函数递推关系，推出函数解析式，对于函数零点问题一般是转化为两个函数的交点问题，作出函数图象利用数形结合的思想计算即可.6．（2024上·北京平谷·高一统考期末）已知函数，用表示的最小值，记为，那么的最大值为．【答案】【分析】在在同一坐标系中，画出的图像，根据条件，利用图像即可求出结果.【详解】由，得到或，在同一坐标系中，画出的图像，如图所示，因为，由图知，当时，取到最大值为，

故答案为：.7．（2023上·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）定义域为R的奇函数满足.(1)求解析式；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解，（2）利用函数的图象即可求解.【详解】（1）当时，则，故，由于为奇函数，所以，又，故（2）作出图象如下：由图象可知：当或时，，故的解为或8．（2023上·湖南永州·高一湖南省祁阳县第一中学校