2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第10讲：拓展一：定义题(解答题)(学生版+解析)

第10讲：拓展一：定义题（解答题）1．（2024·安徽蚌埠·统考模拟预测）对于无穷数列，我们称（规定）为无穷数列的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为，它具有性质．(1)证明：；(2)记．证明：（其中i为虚数单位）；(3)以函数为指数型母函数生成数列，．其中称为伯努利数．证明：．且．2．（2024上·全国·高三校联考竞赛）设有两个集合，如果对任意，存在唯一的，满足，那么称是一个的函数.设是的函数，是的函数，那么是的函数，称为和的复合，记为.如果两个的函数对任意，都有，则称.(1)对，分别求一个，使得对全体恒成立；(2)设集合和的函数以及的函数.（i）对，构造的函数以及的函数，满足；（ii）对，构造的函数以及的函数，满足，并且说明如果存在其它的集合满足存在的函数以及的函数，满足，则存在唯一的的函数满足.3．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，恒成立，则称是上的有界函数，其中称为的上界．(1)若在上是以2为上界的有界函数，求的取值范围；(2)已知，为正整数，是否存在整数，使得对，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．4．（2024上·安徽·高一校联考期末）对于函数，为函数定义域，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不增函数”.(1)若函数是“同比不增函数”，求的取值范围；(2)是否存在正常数，使得函数为“同比不增函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.5．（2024上·江苏常州·高一统考期末）中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点.类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.(1)判断是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写对称中心；(2)若定义在上的函数为中心对称函数，求的值；(3)判断函数是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由.6．（2024上·山东济宁·高一统考期末）已知函数．对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数”.(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.9．（2024上·广东·高一统考期末）定义：函数若存在正常数，使得，为常数，对任意恒成；则称函数为“代阶函数”．(1)判断下列函数是否为“代阶函数”？并说明理由．①，②.(2)设函数为“代阶函数”，其中是奇函数，是偶函数.若，求的值．10．（2024上·上海·高一上海市洋泾中学校考期末）对于定义在区间上的函数，若．(1)已知，，试写出、的表达式；(2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围；(3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由．11．（2024上·广东肇庆·高一统考期末）对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“函数”.(1)已知函数，试判断是否为“函数”，并说明理由；(2)已知函数为上的奇函数，函数，为其定义域上的“函数”，求实数的取值范围.12．（2024上·北京顺义·高一统考期末）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.(1)判断函数和函数是否存在“优美区间”?（直接写出结论，不要求证明）(2)如果函数在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围.第10讲：拓展一：定义题（解答题）1．（2024·安徽蚌埠·统考模拟预测）对于无穷数列，我们称（规定）为无穷数列的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为，它具有性质．(1)证明：；(2)记．证明：（其中i为虚数单位）；(3)以函数为指数型母函数生成数列，．其中称为伯努利数．证明：．且．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由，通过赋值即可证得；（2）根据的周期性，经过多次推理，由求和可以证得；（3）构造，可以推出，然后再可证得.【详解】（1）令，则．由，令，则．因为，故．（2）证明：因为，，，，，所以（3）证明：令，则有，因此故且，即．【点睛】关键点点睛：主要考查了复数的周期性，考查推理论证能力，对学生思维要求比较高，综合性很强.2．（2024上·全国·高三校联考竞赛）设有两个集合，如果对任意，存在唯一的，满足，那么称是一个的函数.设是的函数，是的函数，那么是的函数，称为和的复合，记为.如果两个的函数对任意，都有，则称.(1)对，分别求一个，使得对全体恒成立；(2)设集合和的函数以及的函数.（i）对，构造的函数以及的函数，满足；（ii）对，构造的函数以及的函数，满足，并且说明如果存在其它的集合满足存在的函数以及的函数，满足，则存在唯一的的函数满足.【答案】(1)，(2)（i），；（ii），，说明见解析【分析】（1）利用对数函数性质结合题干条件求解；（2）（i）利用常函数求解；（ii）结合（i）再证明唯一性即可.【详解】（1）因为，而，对全体恒成立；故对所有成立.（2）（i）考虑以及两个函数，对任意，因为，所以.（ii）我们可以继续使用（i）的构造，任意取，因为，所以，所以，则，因此存在满足条件；如果符合题意，即，则，由定义得到；所以存在唯一的的函数满足题意.【点睛】关键点点睛：充分利用题目定义的新函数证明唯一性是关键.3．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，恒成立，则称是上的有界函数，其中称为的上界．(1)若在上是以2为上界的有界函数，求的取值范围；(2)已知，为正整数，是否存在整数，使得对，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用上界的定义，换元令转化函数式得，再结合与的单调性计算即可；（2）假设存在满足题意，分离参数得，然后分类讨论为奇数或偶数，结合的取值范围计算即可.【详解】（1）令，，则，由题意可得，在上恒成立，则在上恒成立，∴，即，易知在上单调递减，则，根据对勾函数的性质可知：在上单调递增，则，综上：．（2）假设存在满足题意，当为正偶数时，，即设，易知，则，，∴；当为正奇数时，，即同理设，易知，则，，∴；若存在，则且，即，∴，即，∴．4．（2024上·安徽·高一校联考期末）对于函数，为函数定义域，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不增函数”.(1)若函数是“同比不增函数”，求的取值范围；(2)是否存在正常数，使得函数为“同比不增函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，且【分析】（1）由恒成立，分离常数，结合三角函数的最值来求得的取值范围.（2）结合的图象以及图象变换的知识求得的取值范围.【详解】（1）因为函数是“同比不增函数”，则恒成立，所以恒成立，所以，即，由于，所以.所以的取值范围是.（2）存在，理由如下：，画出的图象如下图所示，

的图象是由的图象向左平移个单位所得，由图可知，当时，对任意的，都有成立，所以存在正常数，使得函数为“同比不增函数”，且.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的理解和应用，解题的关键在于利用题中的定义，将问题转化为恒成立问题，本题第（2）问利用数形结合思想求解比较直观简单.5．（2024上·江苏常州·高一统考期末）中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点.类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.(1)判断是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写对称中心；(2)若定义在上的函数为中心对称函数，求的值；(3)判断函数是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由.【答案】(1)是中心对称函数，对称中心为(2)(3)是中心对称函数，对称中心为.【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论；（2）若定义在上的函数为中心对称函数，其对称中心的横坐标必为，由可知，，即可得出的值；（3）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论．【详解】（1）根据题意，的定义域为，，若对，都有，所以中心对称函数，对称中心为；（2）若定义在上的函数为中心对称函数，明显定义域仅关于点对称，其对称中心的横坐标必为，则，因为为中心对称函数，则为定值，则，即，所以关于点对称.（3）函数的图象是中心对称图形，其对称中心为点解方程得，所以函数的定义域为明显定义域仅关于点对称所以若函数的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为设其对称中心为点，则由题意可知有，令，可得，所以所以若函数为中心对称图形，其对称中心必定为点下面论证函数的图象关于点成中心对称图形：即只需证明，，得证.【点睛】结论点睛：函数的对称性：（1）若，则函数关于中心对称；（2）若，则函数关于对称.6．（2024上·山东济宁·高一统考期末）已知函数．(1)求函数的定义域；(2)试判断的单调性，并说明理由；(3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围．【答案】(1)(2)单调递增，理由见解析(3)【分析】（1）由函数解析式直接求定义域；（2）法一：利用复合函数单调性判定；法二：定义法证明单调性；（3）由题意可知方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．再利用基本不等式求出函数的值域即可.【详解】（1）要使函数的表达式有意义，须使，解得，所以函数的定义域是．（2）在上单调递增．理由如下：法一：因为，又在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，在上为增函数，故在上单调递增．法二：因为，对任意，，且，可知，则，又，可知，所以，即．故在上单调递增，（3）由（2）可知在上单调递增，设区间是函数的“完美区间”．则，．可知方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．令，则，所以，当且仅当时，取等号．又在上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，．所以．故实数b的取值范围为．【点睛】思路点睛：第三问由题意，可将问题转化为方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．接下来利用换元法求出函数的值域即可.7．（2024·云南昆明·统考模拟预测）我们把（其中，）称为一元n次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元次多项式方程（即，，，…，为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即，其中k，，，，，……，为方程的根．进一步可以推出：在实系数范围内（即，，，…，为实数），方程的有实数根，则多项式必可分解因式．例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，．(1)解方程：；(2)设，其中，，，，且．（i）分解因式：；（ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点．求证：当时，．【答案】(1)，，(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）观察得到是方程的一个根，从而设，对照系数得到，，，得到，求出方程的根；（2）（i）是方程的一个根，设，对照系数得到，，，从而得到答案；（ii）令，故是方程的最小正实根，由（i）知：，设，根据的开口方向，结合，则一定有一正一负两个实根，设正实根为t，结合得到，故，得到.【详解】（1）观察可知：是方程的一个根；所以，由待定系数法可知，，解得，，；所以，即或，则方程的根为，，．（2）（i）由可知，是方程的一个根；所以，即，对照系数得，，，，故，，；所以．（ii）令，即，点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点，等价于是方程的最小正实根；由（i）知：是方程的一个正实根，且，设，由，，，可知为开口向上的二次函数；又因为，则一定有一正一负两个实根，设正实根为t；又，可得，所以；当时，，由二次函数单调性可知，即是方程的最小正实根．【点睛】方法点睛：三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数理解到位，求解三次函数的零点，常常需要先观察函数，直接法得到其中一个零点，将三次函数转化为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质.8．（2024上·江苏苏州·高一校考期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数”.(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.【答案】(1)是，(2)【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；（2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得；【详解】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），即，由，故当时，，此时不存在使成立，当时，，且在上单调递增，故对于任意，都有唯一一个，使得，综上所述，对于任意，都有唯一一个，使得，是的“重覆盖函数”，且；（2）由可得，故，，即，存在2个不同的实数，使得，其中，由时，，故，即，故，故对任意，，，即对任意，都有2个实根，当时，，且在上递增，故时，都有唯一确定的实根，故当时，亦有且有一个实根，当时，，且在上单调递减，符合题意，当时，为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。当时，则需对称轴，且，即，且，即，综上，实数的取值范围是.9．（2024上·广东·高一统考期末）定义：函数若存在正常数，使得，为常数，对任意恒成；则称函数为“代阶函数”．(1)判断下列函数是否为“代阶函数”？并说明理由．①，②.(2)设函数为“代阶函数”，其中是奇函数，是偶函数.若，求的值．【答案】(1)①是代阶函数，②不是代阶函数，理由见解析(2)【分析】（1）利用“代阶函数”的定义判断即可；（2）根据“代阶函数”的定义，结合函数的奇偶性变形，得到，求解即可.【详解】（1）①是代阶函数，因为，此时，，所以为代阶函数；②不是代阶函数，因为，所以不是代阶函数；（2）由已知存在常数满足，即，令，则①，令，则②，因为是奇函数，是偶函数，所以，，，，①②，整理得，令，则，又因为，且，可得，所以，所以【点睛】方法点睛：新定义题型的特点：通过给定一个新的概念，根据题目提供的信息，结合所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义的题目，要耐心读题，分析新定义的特点和性质，按新定义的要求求解.10．（2024上·上海·高一上海市洋泾中学校考期末）对于定义在区间上的函数，若．(1)已知，，试写出、的表达式；(2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围；(3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由．【答案】(1)、(2)(3)是，【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式；（2）若与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解；（3）根据函数在上的值域，写出、的解析式，再由求出的范围得到答案．故是上的“阶收缩函数”，且小正整数.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解.11．（2024上·广东肇庆·高一统考期末）对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“函数”.(1)已知函数，试判断是否为“函数”，并说明理由；(2)已知函数为上的奇函数，函数，为其定义域上的“函数”，求实数的取值范围.【答案】(1)是“函数”，理由见解析(2)【分析】（1）直接由新定义判断方程是否有解即可.（2）由题意得首先得，然后对分类讨论，将问题转换为方程有解求参数范围即可.【详解】（1）由题意，若函数在定义域内存在实数，满足，可得，即.当时，上式成立，所以存在，满