2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第04讲数列求和(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

二、填空题8．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）计算．三、解答题9．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足.(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式.(2)设，求数列的前n项和.10．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知递增等差数列满足：，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前2n项和.11．（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）已知数列an中，，．(1)求an(2)求和：12．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前2n项和．B能力提升1．（2024·福建泉州·二模）已知数列an和bn的各项均为正，且，bn是公比3的等比数列．数列an的前n项和满足(1)求数列an，b(2)设，求数列的前n项和．2．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求证：.C综合素养（新定义解答题）1．（23-24高二下·河南安阳·期中）在数列中，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，.2．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）已知实数列{an}满足：，点（在曲线上．(1)当且时，求实数列{an}(2)在（1）的条件下，若表示不超过实数t的最大整数，令，是数列bn的前n项和，求的值；(3)当，时，若存在，且对恒成立，求证：．第04讲数列求和(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）已知数列的前项和为．若，则（

）A．48 B．50 C．52 D．54【答案】C【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列求和的其他方法【分析】根据得到，，，，相加得到答案.【详解】因为，所以，，，，所以故选：C2．（24-25高三上·山东济宁·开学考试），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】倒序相加法求和【分析】利用求解即可.【详解】，故，故……，故.故选：D3．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式是其前n项和为，则等于（

）A．120 B．180 C．240 D．360【答案】C【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和【分析】利用并组求和、等差数列的求和公式可得答案.【详解】由题意得．故选：C.4．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列满足，，则该数列的前22项和为（

）A．69 B．88 C．89 D．96【答案】C【知识点】分组（并项）法求和、由递推数列研究数列的有关性质、特殊角的三角函数值【分析】利用条件分奇偶讨论的关系，利用分组求和法计算即可.【详解】当为奇数时，，当为偶数时，，所以故选：C5．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，前n项和为，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】由定义判定等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和【分析】根据给定条件，求出，再利用等比数列前n项和公式计算即得.【详解】数列中，，由，得，，则有，因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.故选：D6．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）在数列中，，，则（

）A．380 B．800 C．880 D．40【答案】B【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式【分析】先根据递推公式得出等差数列得出通项公式，再结合通项正负分组求和即可.【详解】因为，所以，所以，当时，，当时，，所以.故选：B.7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某数列的通项，则（

）A．48 B．49 C．50 D．51【答案】D【知识点】倒序相加法求和【分析】令函数，，所以，由倒序相加法求和即可.【详解】令函数，则，所以．所以，令，则，则有，所以．故选：D．二、填空题8．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）计算．【答案】5【知识点】裂项相消法求和【分析】运用裂项相消求和即可.【详解】此问题可以看作数列的前50项和.即.故答案为：5.三、解答题9．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足.(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式.(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)；(2)【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和【分析】（1）根据等差数列定义即可得数列是以为首项，为公差的等差数列，并求出通项公式；（2）写出数列的通项公式，利用分组求和的方法即可得出.【详解】（1）根据题意由易知，即可得为定值，由此可得数列是以为首项，公差的等差数列，所以，可得；即数列的通项公式为；（2）由（1）可得；则数列的前n项和.即可得10．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知递增等差数列满足：，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前2n项和.【答案】(1)(2)【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和【分析】（1）利用因式分解得，即，从而求解通项公式.（2）解法一：结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和求解即可；解法二：利用并项求和法求和即可.【详解】（1）设递增等差数列an的公差为d，则，因为，所以，即，因为，，所以，所以，所以，故数列an的通项公式为.（2）解法一：.解法二：.11．（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）已知数列an中，，．(1)求an(2)求和：【答案】(1)；(2)【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和【分析】（1）由条件证明数列为等比数列，结合等比数列通项公式求数列an的通项公式；（2）设，，则，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，所以，又，所以数列为首项为，公比为的等比数列，所以，所以an的通项公式为.（2）设，，则，由（1）可得，所以，所以，所以，所以，所以所以.所以12．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前2n项和．【答案】(1)(2)【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、裂项相消法求和【分析】（1）利用来求得an的通项公式.（2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列bn的前2n项和．【详解】（1）依题意，，，当时，，解得，（舍去）.当时，由得，两式相减得，即，由于，所以，所以数列an是首项为，公差为的等差数列，所以（也符合）.（2）由（1）得，所以.B能力提升1．（2024·福建泉州·二模）已知数列an和bn的各项均为正，且，bn是公比3的等比数列．数列an的前n项和满足(1)求数列an，b(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）利用递推公式可证得数列an是等差数列，可求出数列an的通项；利用等比数列的性质，可求出（2）根据裂项相消和分组求和法求解即可；【详解】（1）由题设，当时或（舍），由，知，两式相减得，（舍）或，即，∴数列an是首项为2，公差为2的等差数列，．又．（2）则当n为偶数时，；当n为奇数时，．1．（23-24高二下·河南安阳·期中）在数列中，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，.【答案】(1)(2)【知识点】由递推关系式求通项公式、数列求和的其他方法【分析】（1）降次作差即可得到，最后验证即可；（2）求出前12项的每一项，最后求和即可.【详解】（1）当时，，①，所以当时，②，①②得，即也满足该式，所以.（2）由（1）知，当时，，当时，，当时，，当时，，依次类推，可知.所以数列bn的前12项和为.2．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）已知实数列{an}满足：，点（在曲线上．(1)当且时，求实数列{an}(2)在（1）的条件下，若表示不超过实数t的最大整数，令，是数列bn的前n项和，求的值；(3)当，时，若存在，且对恒成立，求证：．【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【知识点】数列的极限、数列不等式恒成立问题、数列求和的其他方法、构造法求数列通项【分析】（1）根据题意，构造等差数列，结合等差数列的通项公式即可求得；（2）根据（1）中所求，求得，结合“”的定义，即可求得结果；（3）由，结合递推公式求得，根据其大小关系，以及数列的极限存在，求得的取值范围，同时求得关于的表达式，结合作差法以及递推公式，即可证明.【详解】（1）由题可知：，故数列是公差为的等差数列，又