2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第01讲导数的概念及运算(知识+真题+9类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

第01讲导数的概念及运算目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 2第二部分：高考真题回顾 4第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：导数的概念 4高频考点二：导数的运算 5高频考点三：求切线方程（在型） 6高频考点四：求切线方程（过型） 6高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数 7高频考点六：导数与函数图象 8高频考点七：公切线问题 10高频考点八：与切线有关的转化问题 11高频考点九：已知切线条数求参数 12第四部分：典型易错题型 13备注：求导时分子公式记错 13备注：复合函数求导容易误用求导法则 13备注：求切线时“过型”容易误把已知点直接当切点 13第一部分：基础知识1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.（2）平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为：.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即.2、导数的概念（1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.（2）定义法求导数步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；求极限，得导数：.3、导数的几何意义函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.4、基本初等函数的导数公式基本初等函数导数(为常数)()()(，)5、导数的运算法则若，存在，则有（1）（2）（3）6、复合函数求导复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.（2）过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第二部分：高考真题回顾1．（2023·全国·甲卷文）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：导数的概念典型例题例题1．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）设函数在处存在导数为2，则（）A．2 B．1 C． D．4例题2．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，则等于（

）A．1 B．C． D．0练透核心考点1．（23-24高二上·浙江金华·期末）如果函数在处的导数为1，那么（

）A．1 B． C． D．2．（23-24高二上·云南昭通·期末）设函数在处存在导数为2，则（

）A．2 B．1 C． D．6高频考点二：导数的运算典型例题例题1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）函数的导函数为（

）A． B． C． D．例题2．（多选）（23-24高二下·河南·开学考试）下列求导数运算正确的是（

）A． B．C． D．例题3．（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）求下列函数的导数：(1)；(2)(3)；练透核心考点1．（多选）（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．（多选）（23-24高二下·河北·开学考试）下列求导运算正确的是（

）A．若，则 B．C． D．高频考点三：求切线方程（在型）典型例题例题1．（23-24高二下·广西·开学考试）曲线在点处的切线的斜率为（

）A．5 B．6 C．7 D．8例题2．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程的斜率为．例题3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则.练透核心考点1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值.2．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函数在处的切线为，则直线的方程为.3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则函数在点处切线方程为．高频考点四：求切线方程（过型）典型例题例题1．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为.例题2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数，点在曲线上.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程.例题3．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数的图像在点处的切线与直线平行．(1)求在上的最值；(2)求经过点，并与曲线相切的直线的方程．练透核心考点1．（2024高二下·全国·专题练习）曲线过点的切线方程为.2．（2024高二下·上海·专题练习）已知函数.(1)求函数的最小值；(2)求函数过点的切线；3．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，求(1)曲线过点的切线方程；(2)曲线平行于直线的切线方程.高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数典型例题例题1．（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（

）A．3 B． C．0 D．1例题2．（22-23高三上·全国·阶段练习）若函数在点处的切线的斜率为1，则的最大值为（

）A． B． C． D．练透核心考点1．（23-24高三下·广东·阶段练习）已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．22．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线与曲线相切，则切点的横坐标为．高频考点六：导数与函数图象典型例题例题1．（23-24高二下·湖北黄冈·期中）函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．例题2．（23-24高二下·北京怀柔·期中）如图，函数的图象在点处的切线是，方程为，则

（

）

A． B． C． D．例题3．（多选）（23-24高二下·全国·课时练习）如图显示物体甲、乙在时间到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（

）A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度练透核心考点1．（23-24高二下·湖北·阶段练习）函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（

）

A． B．C． D．练透核心考点1．（23-24高二下·湖南·期中）已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（

）A．-1 B．1 C．2 D．32．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）若曲线与曲线：=有公切线，则实数的最大值为（

）A．+ B．- C．+ D．3．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则．高频考点八：与切线有关的转化问题典型例题例题1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例题2．（2024·陕西西安·二模）若，，则的最小值为（

）A． B．6 C．8 D．12例题3．（2024·安徽合肥·一模）已知点，定义为的“镜像距离”.若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为.练透核心考点1．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）实数满足，,的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023高三·全国·专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（

）A． B．1 C． D．3．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为.高频考点九：已知切线条数求参数典型例题例题1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．例题2．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题3．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．练透核心考点1．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·辽宁·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2024高二下·全国·专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为.第四部分：典型易错题型备注：求导时分子公式记错1．（22-23高二·全国·随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；备注：复合函数求导容易误用求导法则1．（23-24高二上·全国·课时练习）函数的导数为（

）A．B．C．D．2．（22-23高二下·宁夏银川·阶段练习）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．备注：求切线时“过型”容易误把已知点直接当切点1．（23-24高二下·重庆渝北·阶段练习）已知函数，过点作该函数曲线的切线，则该切线方程为（

）．A． B．C． D．2．（23-24高三下·山东德州·开学考试）过点与曲线相切的直线与轴的交点坐标为.第01讲导数的概念及运算目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 3第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：导数的概念 4高频考点二：导数的运算 5高频考点三：求切线方程（在型） 8高频考点四：求切线方程（过型） 10高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数 14高频考点六：导数与函数图象 16高频考点七：公切线问题 19高频考点八：与切线有关的转化问题 23高频考点九：已知切线条数求参数 27第四部分：典型易错题型 31备注：求导时分子公式记错 31备注：复合函数求导容易误用求导法则 32备注：求切线时“过型”容易误把已知点直接当切点 33第一部分：基础知识1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.（2）平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为：.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即.2、导数的概念（1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.（2）定义法求导数步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；求极限，得导数：.3、导数的几何意义函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.4、基本初等函数的导数公式基本初等函数导数(为常数)()()(，)5、导数的运算法则若，存在，则有（1）（2）（3）6、复合函数求导复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.（2）过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第二部分：高考真题回顾1．（2023·全国·甲卷文）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C第三部分：高频考点一遍过高频考点一：导数的概念典型例题例题1．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）设函数在处存在导数为2，则（）A．2 B．1 C． D．4【答案】D【分析】利用导数的极限定义计算可得.【详解】由导数的定义可知，.故选：D.例题2．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，则等于（

）A．1 B．C． D．0【答案】B【分析】利用求导法则结合导数定义求解即可.【详解】由得，所以，所以故选：B练透核心考点1．（23-24高二上·浙江金华·期末）如果函数在处的导数为1，那么（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的定义可直接得到答案.【详解】因为函数在处的导数为1，根据导数的定义可知，故选：A.2．（23-24高二上·云南昭通·期末）设函数在处存在导数为2，则（

）A．2 B．1 C． D．6【答案】B【分析】由导数的概念求解.【详解】由已知有，则.故选：B高频考点二：导数的运算典型例题例题1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）函数的导函数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助导数的运算法则计算即可得.【详解】.故选：B.例题2．（多选）（23-24高二下·河南·开学考试）下列求导数运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据导数的运算法则依次判断即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，由指数函数求导公式可得，故B正确；对于，故C正确；对于，故D正确.故选：BCD.例题3．（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）求下列函数的导数：(1)；(2)(3)；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）根据复合函数的导数公式和导数运算法则运算即可．【详解】（1）=（2）因为y=ln=，所以··=.（3）练透核心考点1．（多选）（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【分析】根据简单复合函数的求导法则计算可得.【详解】对于A：，则，故A正确；对于B：，则，故B正确；对于C：，则，故C正确；对于D：，则，故D错误；故选：ABC2．（多选）（23-24高二下·河北·开学考试）下列求导运算正确的是（

）A．若，则 B．C． D．【答案】AC【分析】根据求导公式依次判定选项即可得到答案.【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误．故选：AC高频考点三：求切线方程（在型）典型例题例题1．（23-24高二下·广西·开学考试）曲线在点处的切线的斜率为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】求函数在处的导数即可.【详解】因为，所以曲线在点处的切线的斜率为．故选：B例题2．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程的斜率为．【答案】【分析】求导后借助导数的几何意义计算即可得.【详解】，则.故答案为：.例题3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】6【分析】求导得切线斜率，利用直线平行求解即可.【详解】由题意知，所以，解得.故答案为：6.练透核心考点1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值.【答案】21【分析】求导，点斜式得到直线方程，对应项相等得.【详解】由，得，则，又，则切线方程为，即，得故答案为：21.2．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函数在处的切线为，则直线的方程为.【答案】【分析】分别求得即可代入求解.【详解】因为，，从而，所以函数在处的切线为的方程为：，即.故答案为：.3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则函数在点处切线方程为．【答案】【分析】求导，求出斜率，写出切线方程.【详解】由已知，则，又，所以切线方程为，即.故答案为：.高频考点四：求切线方程（过型）典型例题例题1．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为.【答案】【分析】由导数的定义以及几何意义得切线斜率，由此即可得解.【详解】因为，又点在曲线上，所以，∴所求切线的斜率，故所求切线的方程为，即.故答案为：例题2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数，点在曲线上.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由已知条件求出的值，求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程.【详解】（1）解：因为函数，点在曲线，则，所以，，所以，，则，因此，曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：设切点坐标为，则，所以，曲线在点处的切线方程为，即，将点的坐标代入切线方程可得，解得或，当时，所求切线方程为；当时，所求切线方程为.综上所述，曲线过点的切线方程为或.例题3．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数的图像在点处的切线与直线平行．(1)求在上的最值；(2)求经过点，并与曲线相切的直线的方程．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义即可求得，然后求得的极值，即可得到最值；（2）根据题意，由导数的几何意义，设出切点的坐标，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为，则，且函数的图像在点处的切线与直线平行，则，即，所以.所以，则，当时，令，解得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以时，有极小值，即最小值，则，又，，，所以.（2）由（1）可知，则，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将点代入，可得，解得，则切线方程为，即.练透核心考点1．（2024高二下·全国·专题练习）曲线过点的切线方程为.【答案】或【分析】先利用导数的定义求出，设切线的切点是，则由导数的几何意义可得切线的斜率为，再由切线过点和，表示出切线的斜率，从而列方程可求出，则可求出斜率，进而可求出切线方程.【详解】，因为点不在曲线上，所以设切线的切点是，则切线的斜率，又切线过点和，所以，所以，化简得，因为，所以或.所以，或，所以所求切线方程是或，即或.故答案为：或.2．（2024高二下·上海·专题练习）已知函数.(1)求函数的最小值；(2)求函数过点的切线；【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题意对求导得函数单调性，由此即可求解；（2）由题意设出切点，表示出切线方程（含参），从而，，由此可求得，，进一步即可得解.【详解】（1）由题意得，的定义域为，，令，解得，或（舍去）；，解得，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.（2）设切点为，切线的斜率，所以，因为直线过点，所以，又，解得或，所以直线方程为或3．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，求(1)曲线过点的切线方程；(2)曲线平行于直线的切线方程.【答案】(1)或.(2)或【分析】（1）设出切点，写出切线方程，代入点，即可求得切线方程.（2）设出切点，用导数求得切点处切线的斜率与已知直线斜率相等，进而求出切点，写出切线方程.【详解】（1）因为切点在曲线上，所以可设切点为，求导得，则，则切线方程为，因为切线过，代入切向方程得：化简得，则或所以曲线过点的切线方程为：或.（2）直线的斜率为，设切点为，则由（1）知切线方程为，则由切线与直线平行得，即或，所以切线方程为或，即或高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数典型例题例题1．（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（

）A．3 B． C．0 D．1【答案】C【分析】根据题意结合导数的几何意义列式求解即可.【详解】因为，则，由题意可得：，解得，所以.故选：C.例题2．（22-23高三上·全国·阶段练习）若函数在点处的切线的斜率为1，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数的几何意义可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【详解】由已知，所以，，得，所以，当且仅当时等号成立．故选:C．练透核心考点1．（23-24高三下·广东·阶段练习）已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根据导数的几何意义结合基本不等式求解即可.【详解】，因为函数在点处的切线与直线垂直，所以，即，则不可能同时为负数，当或时，，当时，，当时，，当且仅当时，取等号，综上所述，的最大值为.故选：A.2．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线与曲线相切，则切点的横坐标为．【答案】1【分析】求出函数的导函数，令，再利用导数说明函数的单调性，由，即可得到方程的解，从而得解.【详解】因为，所以，设函数，则，所以在定义域上单调递增，因为，所以方程的解为，则所求切点的横坐标为．故答案为：高频考点六：导数与函数图象典型例题例题1．（23-24高二下·湖北黄冈·期中）函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，，又是割线AB的斜率，显然，所以.故选：B例题2．（23-24高二下·北京怀柔·期中）如图，函数的图象在点处的切线是，方程为，则

（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义知为处切线的斜率.【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，所以.故选：A例题3．（多选）（23-24高二下·全国·课时练习）如图显示物体甲、乙在时间到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（

）A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度【答案】BC【分析】根据平均速度的公式结合条件即可判断.【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误,B正确；在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为，，所以，故C正确，D错误．故选：BC．练透核心考点1．（23-24高二下·湖北·阶段练习）函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.【详解】

设，由图可得，而，故，故选：C.2．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可.【详解】依题意可知切点，函数的图象在点处的切线方程是，，即又即故选：D.3．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知在区间上，如图所示的图像中，有可能表示函数的图像.

【答案】①【分析】利用导数的几何意义，结合图形即可得解.【详解】因为在区间上，所以在上，切线的斜率始终大于，仅①满足．故答案为：①.高频考点七：公切线问题典型例题例题1．（23-24高二下·安徽合肥·期中）函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（

）A．1 B．3 C．6 D．2【答案】C【分析】根据导数得出函数与抛物线在点处的切线的斜率，根据已知两切线相同即可得出答案.【详解】，则，则在点处的切线的斜率为，，则，则在点处的切线的斜率为，函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则，即，故选：C.例题2．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）曲线与曲线的公切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】画出图象，从而确定正确选项.【详解】画出以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A选项符合.故选：A例题3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则．【答案】5【分析】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求．【详解】由，得，由，解得，则直线与曲线相切于点，∴，得，∴直线是曲线的切线，由，得，设切点为，则，且，联立可得，解得，所以．∴．故答案为：5．练透核心考点1．（23-24高二下·湖南·期中）已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（

）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先求得在处的切线方程，然后与联立，由求解【详解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲线在处的切线方程为，由得，由，解得．故选：B2．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）若曲线与曲线：=有公切线，则实数的最大值为（

）A．+ B．- C．+ D．【答案】C【分析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得，整理得，利用导数研究函数的单调性求出即可得出结果.【详解】设在曲线上的切点为，则切线斜率为，在曲线上的切点为，切线斜率为，所以切线方程分别为、，即、，有，整理得，设，则，令，令，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上，如图，由图可知，即k的最大值为.故选：C.3．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则．【答案】/【分析】先根据和在公共点处有相同的切线得出在处两函数的导数相等,再由在上,列方程组求解即可.【详解】因为，所以，，因为在公共点处有相同的切线，所以即，所以故答案为：高频考点八：与切线有关的转化问题典型例题例题1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】将的最小值转化为直线上的点与函数上的点间距离最小值的平方，由导数的几何意义求函数的切线，从而得解.【详解】由已知，则，即为直线上的点，为函数上的点，则，设与相切，由，则，可得，所以切点为，则，则切点到直线的距离为，所以最小值为2.故选：B.例题2．（2024·陕西西安·二模）若，，则的最小值为（

）A． B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】设函数和，转化为切点到直线的距离为平方，根据导数的几何意义，求得切点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，设函数，直线，设直线与函数的切点为可得，可得，解得，可得，即切点坐标为，则切点到直线的距离为，又因为表示点到直线的距离为平方，所以的最小值为.故选：C.例题3．（2024·安徽合肥·一模）已知点，定义为的“镜像距离”.若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为.【答案】/【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.【详解】由函数可得，即；所以的反函数为；由点在曲线上可知点在其反函数上，所以相当于上的点到曲线上点的距离，即，利用反函数性质可得与关于对称，所以可得当与垂直时，取得最小值为2，因此两点到的距离都为1，过点的切线平行于直线，斜率为1，即，可得，即；点到的距离，解得；当时，与相交，不合题意；因此.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值.练透核心考点1．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）实数满足，,的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据指对结构调整变形已知方程，再构造函数，得到函数零点为0，进而构造函数与，则表示曲线上的点到直线的距离的平方.【详解】化简已知得，，即，令，原式化简为，令，则，所以在R上单调递增，又，所以有唯一零点，所以，此方程有唯一根为0，即，即，分别设与，则表示曲线上的点到直线的距离的平方，下面求上与平行的切线，因为，所以，当时，，解得：，所以切点为，所以到直线距离为：，此距离即为曲线上的点到直线的距离的最小值，所以的最小值为2.故选：C.2．（2023高三·全国·专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】由圆的对称性可得，只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值.设图象上一点，利用导数几何意义可得，利用导数解得，从而可求解.【详解】由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值．设图象上一点，令图象上一点的切线为由的导数为，即切线的斜率为，当时，圆心到函数图象上一点的距离最小，此时，即有，由，可得，递增，又，所以，，所以点到点的距离最小，且为，则线段的长度的最小值为，故选：A．3．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为.【答案】【分析】根据函数在某点处的切线斜率，利用两点间距离，两直线位置关系，结合图象，可得答案.【详解】

由函数，求导可得：，则，在处的切线方程为，整理可得：；由函数，求导可得：，则，在处的切线方程为，整理可得；由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直..故答案为：.高频考点九：已知切线条数求参数典型例题例题1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.【详解】设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，结合图象可知，即.故选：A.

例题2．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设切点坐标，写出切线方程，过点，代入化简得，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解.【详解】设切点为，∵，∴，∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为，代入点的坐标，化简得，∵过点可以作三条直线与曲线相切，∴方程有三个不等实根.令，求导得到，可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，如图所示，故，即.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题.例题3．