北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题4.4相似三角形的性质【十大题型】专题特训（学生版+教师版）

专题4.4相似三角形的性质【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用相似三角形的性质求解】 2【题型2运用相似三角形解决折叠问题】 2【题型3运用相似三角形解决三角板问题】 3【题型4运用相似三角形解决裁剪问题】 5【题型5运用相似三角形解决格点问题】 7【题型6运用相似三角形探究线段之间的关系】 9【题型7运用相似三角形解决尺规作图问题】 10【题型8运用相似三角形解决动点问题】 12【题型9运用相似三角形解决最值问题】 13【题型10运用相似三角形解决多结论问题】 14知识点1：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等．如图，，则有．②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有（为相似比）．③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有．⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，∽，则有【题型1利用相似三角形的性质求解】【例1】（23-24九年级·四川成都·期末）若△ABC∽△A1B1C1，且ABA1B1＝A．83 B．6 C．9 【变式1-1】（23-24九年级·江苏连云港·期末）已知△ABC∽△DEF,△ABC的三条边分别为6、8、10，若△DEF的最短边为3，则最长边为【变式1-2】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，点P在△ABC的边AB上，∠A=70°，∠B=45°，若△ABC∽△ACP，则∠APC=（

）A．45° B．55° C．65° D．75°【变式1-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）已知两个相似三角形的周长比为2:3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为．【题型2运用相似三角形解决折叠问题】【例2】（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC沿DE折叠，使点C落在△ABC边上C′处，并且C′D∥BC

A．132 B．15625 C．254【变式2-1】（23-24九年级·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5，OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF=4cm，F【变式2-3】（23-24九年级·江苏淮安·期中）在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．

图1

图2(1)如图1，若点P恰好在边BC上，连接AP，求APDE(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．【题型3运用相似三角形解决三角板问题】【例3】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，△ABC为等腰Rt△ABC，∠ABC=∠BAD=90°，∠ABD=30°，AB=63，记DB交AC于E．若AC上有一点F满足∠DBF=45°，则EF的长为（A．66−63 B．18−63 C．【变式3-1】（23-24九年级·内蒙古包头·期末）如图，将一副三角板按图叠放，则AOOC的值为【变式3-2】（23-24九年级·山东济南·期中）【问题背景】△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小熙拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P【用数学的眼光观察】（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，以下结论正确的是：_______；①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP=∠CPF【用数学的思维思考】（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；【用数学的语言表达】（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，△BPE∽△PFE？说明理由．

【变式3-3】（23-24九年级·山东济南·期中）如图，把两块全等的等腰直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点E与三角板ABC的斜边中点重合，其中∠BAC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6．把三角板ABC固定不动，三角板DEF由图1所示的位置绕点E沿顺时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°<α<90°．设射线ED与射线BA相交于点P，射线EF与线段CA相交于点Q（当三角板旋转到图3所示位置时，线段EP交线段CA于点M）．(1)如图1，当射线EF经过点A，即点Q与点A重合时，易证△BPE∽△CEQ．此时，(2)当三角板DEF转到如图2的位置时，BP⋅CQ的值是否改变？说明你的理由；(3)在三角板DEF旋转的过程中，两三角板重合部分的面积是否可能为154？若可能，直接写出此时CQ【题型4运用相似三角形解决裁剪问题】【例4】（2024·山东菏泽·一模）包书皮是每位同学都经历过的事情，下面展示两种包书皮的方法：方法一：方法二：

(1)一本字典长为acm，宽为bcm，高为ccm，如果按方法一包书，将封面和封底各折进去3cm，试用含a、b(2)现有1张一角污损的矩形包书纸，如右图，矩形ABCD中，AB=30cm，BC=50cm，AE=12cm，AF=16cm．使用没有污损的部分按方法二的方式包一本长为19cm(3)在（2）的条件下，是否存在裁剪后最大的矩形也能包这本书，并说明理由．

【变式4-1】（23-24九年级·北京·期中）如图，直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC边长为10cm．现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长是cm．【变式4-2】（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为100dm2的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是【变式4-3】（2024·江苏徐州·模拟预测）A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入DIN(编号是DIN476)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．ISO216定义了A、B、C三组纸张尺寸．(1)观察发现：如图1，将A4纸2次折叠，发现第1次的折痕与A4纸较长的边重合，由此可求出A4纸较长边与较短边的比为．(2)探究迁移；将一张A4纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为AD的中点?请说明理由．(3)拓展应用；利用一张A4纸经过裁剪获得一张边长为21cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB【题型5运用相似三角形解决格点问题】【例5】（23-24九年级·江苏扬州·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．(1)在图①中，PDPA(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在线段AB上找一点P，使APBP②如图③，在线段BC上找一点P，使△APB∽【变式5-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，请按要求作图．

(1)在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）．(2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ=2AQ．【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）在5×5的方格中，△ABC是格点三角形（三角形的顶点在格点上）(1)要求在图1的方格中，画一个与△ABC相似且相似比为整数（不为1）的格点三角形．(2)要求在图2的方格中，画一个与△ABC相似且相似比不为整数的格点三角形．(3)要求在图3的方格中，画一个与△ABC相似且面积最大的格点三角形．【变式5-3】（2024·江苏无锡·一模）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．(1)在图①中，PC：PB=(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP=3．②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽【题型6运用相似三角形探究线段之间的关系】【例6】（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．【变式6-1】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB>DE），连接AG，CE交于点H，判断线段AG与CE的数量关系及位置关系；（2）如图2，已知矩形ABCD和矩形DEFG，AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α0°<α<360°，连接AG，CE交于点H，（1）中线段数量关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE【变式6-2】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．(1)求证：∠DAE=∠DCE；(2)求证：△ECF∽△EGC；(3)当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论．【变式6-3】（2024·河南信阳·模拟预测）阅读理解：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．(1)解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中，即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系为______；(2)问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；(3)问题解决：如图3，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB，DF，CF之间的数量关系，直接写出你的结论．【题型7运用相似三角形解决尺规作图问题】【例7】（2024·河北沧州·模拟预测）如图，在△ABC中，用尺规按①到③的步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于F、E两点；②分别以F、E为圆心，大于12FE为半径画弧，两弧相交于点③作射线AG，交BC于点D；结论Ⅰ：线段AD上必有一点M，使得S△ABM结论Ⅱ：ABAC对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是(

)

A．结论Ⅰ和结论Ⅱ都对 B．结论Ⅰ和结论Ⅱ都不对C．结论Ⅰ对，结论Ⅱ不对 D．结论Ⅰ不对，结论Ⅱ对【变式7-1】（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD交边BC于点E；②以点E为圆心，以BE的长为半径作弧交边AC于点F．若AB=AC=3，BC=2，则CF的长为【变式7-2】（2024·江苏镇江·二模）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．如图，①分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接AC，BC，AD，作射线BD；③以D为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BD于点E；④连接CE，交AB于点F．点F即为AB的一个三等分点（即学习任务：(1)填空：四边形ADBC的形状是；你的依据是；(2)证明：AF=【变式7-3】（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点E是边AC上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线AG．若射线AG经过点DA．813 B．1513 C．2013【题型8运用相似三角形解决动点问题】【例8】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，Rt△AOB中，∠O=90°，OA=20cm，OB=15cm，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向O运动，动直线EF从OA开始以每秒1cm的速度向上平行移动，分别与OB,AB交于点E，F，连接EP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．当t为时，【变式8-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8，过点B作射线BM∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动．过点E作EF⊥AC交射线BM于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t，当△DEG与△ACB相似且点D位于点E左侧时，t的值为．【变式8-2】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为【变式8-3】（23-24九年级·山西吕梁·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒342cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，当△PBQ是直角三角形时，t的值为【题型9运用相似三角形解决最值问题】【例9】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E是AB边上一点，且BE=3，D为BC边上一动点，作∠EDF交AC边于点F，若∠EDF=60°，则AF的最小值为．

【变式9-1】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．【变式9-2】（2024·河北邯郸·三模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E在CB边上，DE的中点为G，EG绕点E顺时针旋转90°得EF，若CE=x，则：（1）当x=6时，EF的长为；（2）在x的变化过程中，CF的最小值是．【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则AD2的最大值是（A．98 B．100 C．72 D．70【题型10运用相似三角形解决多结论问题】【例10】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，正方形ABCD中，G是AD边的延长线上一点，以CG为对角线作正方形CFGE，GE的延长线交对角线AC于点H，连接BE，DF，延长FG，CD交于点M．下列结论：①BE⊥AC；②∠AHG=∠AGF；③AD+DG=2

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【变式10-1】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，在矩形ABCD中，点G是边BC的三等分点(BG<GC)，点H是边CD的中点，线段AG，AH与对角线BD分别交于点E，F．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①FH:AF=1:2；②BE:EF:FD=4:6:5；③S1+S2+A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式10-2】（23-24九年级·四川宜宾·期中）如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4

A．①②③ B．①④ C．①③④ D．②③④【变式10-3】（23-24九年级·山东·期末）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论①∠AED=∠ADC；②DEDA=34A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

专题4.4相似三角形的性质【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用相似三角形的性质求解】 2【题型2运用相似三角形解决折叠问题】 3【题型3运用相似三角形解决三角板问题】 9【题型4运用相似三角形解决裁剪问题】 16【题型5运用相似三角形解决格点问题】 22【题型6运用相似三角形探究线段之间的关系】 27【题型7运用相似三角形解决尺规作图问题】 36【题型8运用相似三角形解决动点问题】 42【题型9运用相似三角形解决最值问题】 47【题型10运用相似三角形解决多结论问题】 52知识点1：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等．如图，，则有．②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有（为相似比）．③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有．⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，∽，则有【题型1利用相似三角形的性质求解】【例1】（23-24九年级·四川成都·期末）若△ABC∽△A1B1C1，且ABA1BA．83 B．6 C．9 【答案】D【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论．【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C∴S∵△ABC的面积为8，∴△A故选：D．【变式1-1】（23-24九年级·江苏连云港·期末）已知△ABC∽△DEF,△ABC的三条边分别为6、8、10，若△DEF的最短边为3，则最长边为【答案】5【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：设△DEF最长边为x，∵△ABC∽△DEF,△ABC的三条边分别为6、8、10，∴36解得x=5，即△DEF最长边为5，故答案为：5．【变式1-2】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，点P在△ABC的边AB上，∠A=70°，∠B=45°，若△ABC∽△ACP，则∠APC=（

）A．45° B．55° C．65° D．75°【答案】C【分析】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理．根据相似三角形的对应角相等得到∠ACP=∠B=45°，进而根据三角形的内角和定理即可解答．【详解】解：∵△ABC∽△ACP，∴∠ACP=∠B=45°，∴∠APC=180°−∠A−∠ACP=180°−70°−45°=65°．故选：C【变式1-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）已知两个相似三角形的周长比为2:3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为．【答案】104【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，列出方程，进行求解即可．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2:3，∴它们的面积比为4:9，设两个三角形的面积分别为：4x,9x，由题意，得：9x−4x=5x=40，∴x=8，∴它们的面积和为：4x+9x=13x=13×8=104；故答案为：104．【题型2运用相似三角形解决折叠问题】【例2】（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC沿DE折叠，使点C落在△ABC边上C′处，并且C′D∥BC

A．132 B．15625 C．254【答案】B【分析】根据勾股定理就可以求出AC的值，再根据轴对称的性质就可以得出C′D=CD，由C′D∥【详解】解：∵∠B=90°，AB=5，∵△DEC′与△DEC关于∴△DEC∴C′∵C′∴△ADC∴ADAC∴13−CD13∴CD=156故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．【变式2-1】（23-24九年级·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5，OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是【答案】5−1,2/【分析】本题考查矩形的判定与性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解答的关键．先证明△AOB∽△D1C1O求得AB=CD=2，设EF=x【详解】解：∵矩形ABCD的边AD=5，OA:OD=1:4，∴OD=4，OA=1，BC=AD=5，AB=CD，AB∥x轴，∴∠ABO=∠D1O∴△AOB∽△D1C由折叠性质得OD1=OD=4，CE=C1∴AB4=1AB∴CD=2，如图，OC1=OC=∴C1设EF=x，则EC由EF2+解得x=5综上，点E坐标为5−1,2故答案为5【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF=4cm，F【答案】25【分析】由CF=4cm，FB′=1cm可得CB′=5cm，由菱形的性质与折叠可得BC=CD=B′C=5cm，∠BCE=∠B′CE=45°，过点E作EG⊥BC于点G，设【详解】∵CF=4cm，F∴CB由翻折可得：BC=B∴在菱形ABCD中，CD=BC=5cm∵CB∴∠CFD=∠CFA=90°∴在Rt△CDF中，DF=∵在菱形ABCD中，AD∥∴∠BCB又由折叠有∠BCE=∠B′CE∴∠BCE=45°过点E作EG⊥BC于点G，∴∠EGB=∠EGC=90°，∴∠CEG=90°−∠BCE=90°−45°=45°，∴∠CEG=∠BCG，∴EG=CG，设CG=xcm，则EG=xcm，∵在菱形ABCD中，∠B=∠D，又∠EGB=∠CFD=90°，∴△EGB∽△CFD，∴EGCF=解得：x=20∴EG=207cm∴在Rt△BEG中，BE=故答案为：25【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．综合运用各知识点，正确作出辅助线，得到相似三角形是解题的关键．【变式2-3】（23-24九年级·江苏淮安·期中）在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．

图1

图2(1)如图1，若点P恰好在边BC上，连接AP，求APDE(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．【答案】(1)AP(2)BF的长为3【分析】（1）先得出∠APB=∠AED，再证明△ABP∽△DAE，利用相似三角形的性质求解即可；（2）过点E作EH∥DP交AD于点H，先得出EH=DH，设EH=DH=x，则AH=6−x，根据勾股定理得出22【详解】（1）在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，由折叠性质得：AP⊥DE，∴∠BAP+∠AED=90°，∴∠APB=∠AED，∵∠EAD=∠ABP=90°，∴△ABP∽△DAE，∴AP（2）如图，过点E作EH∥DP交AD于点∵EH∥∴∠HED=∠EDP，∵由折叠性质得∠HDE=∠EDP，∠DPE=∠A=90°，∴∠HED=∠HDE，∴EH=DH，设EH=DH=x，则AH=6−x，∵点E是AB的中点，∴AE=2，∵AE∴2解得：x=103，即∴AH=8∵EH∥∴∠HEP=90°，∴∠AEH+∠BEF=90°，∵∠A=∠B=90°，∴∠AEH+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠BEF，∴△AEH∽△BFE，∴AEBF=解得BF=3∴BF的长为32【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．【题型3运用相似三角形解决三角板问题】【例3】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，△ABC为等腰Rt△ABC，∠ABC=∠BAD=90°，∠ABD=30°，AB=63，记DB交AC于E．若AC上有一点F满足∠DBF=45°，则EF的长为（A．66−63 B．18−63 C．【答案】D【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．将△ABE顺时针旋转90°，构造全等三角形，再根据勾股定理求出FG的长，既可以得到答案．【详解】解：将△ABE顺时针旋转90°，至△BCG，连接CG、FG，∴∠FBG=∠EDF=45°,BG=BE,CG=AE,∠BCG=∠BAE=45°，∴△BEF≌△BGF(SAS∴EF=FG，∵∠ABC=∠BAD=90°,∠ABD=30°,AB=63∴AD=6,BC=63∴AD∥∴∠ADE=∠EBC，∵∠AED=∠CED，∴△ADE∽△CBE，∴AD∴6∴AE=92∵∠FCG=90°，∴FG设EF=FG=x，∴CF=66∴x∴x=66故选D．【变式3-1】（23-24九年级·内蒙古包头·期末）如图，将一副三角板按图叠放，则AOOC的值为【答案】3【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的特征；根据三角板的角度可得△ABC是等腰直角三角形，设AB=a，则BC=a，根据含30°的直角三角形的性质，勾股定理可得CD，进而根据AB∥CD，得出【详解】解：由于将一副三角板按图叠放，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥∴△ABO∽∴AO设AB=a，则BC=a，∴BD=2a，∴CD===3∴==3故答案为：33【变式3-2】（23-24九年级·山东济南·期中）【问题背景】△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小熙拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P【用数学的眼光观察】（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，以下结论正确的是：_______；①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP=∠CPF【用数学的思维思考】（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；【用数学的语言表达】（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，△BPE∽△PFE？说明理由．

【答案】（1）②③④；（2）△BPE与△CFP相似，理由见解析；（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，理由见解析．【分析】（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，得出∠BEP=∠CPF，从而解决问题；（2）利用（1）小题证明方法可证：△BPE∽△CFP；（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP:BE=PF:PE，而CP=BP，因此PB:BE=PF:PE，进而求出，△BPE与△PFE相似．【详解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°，又∵∠EPF=45°∴∠B=∠C=∠EPF=45°，又∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∴∠BEP=∠FPC，故③正确；∴△BPE∽△CFP，故②正确；∴BECP故答案为：②③④．（2）解：△BPE∽△CFP；理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=∵∠B+∴∠BPE+∵∠EPF=45°又∵∠BPE+∴∠BPE+∴∠BEP=又∵∠B=∴△BPE∽△CFP．（3）解：动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP:BE=PF:PE，而CP=BP，因此PB:BE=PF:PE．又∵∠EBP=∴△BPE∽△PFE．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．【变式3-3】（23-24九年级·山东济南·期中）如图，把两块全等的等腰直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点E与三角板ABC的斜边中点重合，其中∠BAC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6．把三角板ABC固定不动，三角板DEF由图1所示的位置绕点E沿顺时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°<α<90°．设射线ED与射线BA相交于点P，射线EF与线段CA相交于点Q（当三角板旋转到图3所示位置时，线段EP交线段CA于点M）．(1)如图1，当射线EF经过点A，即点Q与点A重合时，易证△BPE∽△CEQ．此时，(2)当三角板DEF转到如图2的位置时，BP⋅CQ的值是否改变？说明你的理由；(3)在三角板DEF旋转的过程中，两三角板重合部分的面积是否可能为154？若可能，直接写出此时CQ【答案】(1)18(2)不变，BP·CQ=18(3)CQ=32【分析】（1）两块全等的等腰直角三角板ABC和DEF叠放在一起，点E与三角板ABC的斜边中点重合，其中∠BAC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6，可求出BP，△BPE∽（2）△ABC是等腰直角三角形，且点E是BC边中点，∠B=∠C=45°，可求出BE的长，△DEF是等腰直角三角形，∠PEC=∠3+∠4=∠B+∠1，可证△BPE∽（3）由（1），（2）的结论，过点E作EN⊥AC于N，根据相似三角形的性质和函数解析式得最值即可求解．【详解】（1）解：根据题意，AE为BC的垂直平分线，点Q与点A重合，∴AB⊥DE，且DE平分AB，则BP=EP=12AB=∴BE=CE=AE=32∵△BPE∽∴BPBE=CE∴BP·CQ=32故答案为：18．（2）解：不变，BP·CQ=18．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，且点E是BC边中点，∴在△BPE和△CEQ中，∠B=∠C=45°，且BE=CE=1∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠3=45°=∠B，∵∠PEC=∠3+∠4=∠B+∠1，∴∠1=∠4，∴△BPE∴BPCE∴BP·CQ=CE·BE=(3（3）解：如图所示，过点E作EN⊥AC于N，此时重叠部分为△MEQ，设CQ为x，∵BP·CQ=18，∴BP=18∴AP=18∵EN⊥AC，∴∠ENC=90°=∠BAC，∴EN∥AB，∴△ENM∽△PAM，∴AMNM=PAEN，即∴MQ=6−AM−CQ=6−x−6x−18x−6，设重叠部分的面积为∴y=1当y=154时，代入得，154∵x=32或∴存在CQ使面积为154∴CQ=32或【点睛】本题主要考查图形变换，等腰直角三角形的性质、相似三角形相似判定与性质例，掌握图形变换时三角形相似的判定和性质是解题的关键．【题型4运用相似三角形解决裁剪问题】【例4】（2024·山东菏泽·一模）包书皮是每位同学都经历过的事情，下面展示两种包书皮的方法：方法一：方法二：

(1)一本字典长为acm，宽为bcm，高为ccm，如果按方法一包书，将封面和封底各折进去3cm，试用含a、b(2)现有1张一角污损的矩形包书纸，如右图，矩形ABCD中，AB=30cm，BC=50cm，AE=12cm，AF=16cm．使用没有污损的部分按方法二的方式包一本长为19cm(3)在（2）的条件下，是否存在裁剪后最大的矩形也能包这本书，并说明理由．

【答案】(1)长为2b+6+c，宽为a(2)答案不唯一，见详解(3)不存在，见详解【分析】本题考查了代数式，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值，正确掌握知识点是解决本题的关键．（1）仔细分析题意及图形特征即可求解；（2）设PM=xcm，表示出EM=34x，则剪裁后矩形的长和宽分别为50−xcm（3）y=50−x30−12+34x此时50−13=37<16×2+6=38，即可说理．【详解】（1）解：长为2b+6+c，宽为a（2）解：设PM=xcm，由得△EPM∽△EFA，∴x16∴EM=3此时剪裁后矩形的长和宽分别为50−xcm，30−12+当x=4，则长和宽分别为46cm，22裁剪方式如下图：

（3）解：不存在，设面积为y，则y=50−x当x=13时，y最大，此时50−13=37<16×2+6=38，所以，不存在．【变式4-1】（23-24九年级·北京·期中）如图，直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC边长为10cm．现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长是cm．【答案】20【分析】根据已知可得AE=2，DE=4，DE//BC，结合相似三角形性质可得AEAC【详解】解：如图所示：由题意可知：AC=10，AE=10−8=2，DE=4，∵DE//BC，∴△ADE∼△ACB，∴AEAC=DE解得：BC=20，故答案为20．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的性质,根据矩形的性质结合相似三角形的判定定理找出△ADE∼△ACB解题的关键.【变式4-2】（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为100dm2的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是【答案】16【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形．设EF=x，判断出△AEF和△DEG为等腰直角三角形，证明△AEF∽△DEG，得到AEDE=EF【详解】解：如图，在正方形ABCD中，AD=10，设EF=x，由此裁剪可得：△AEF和△DEG为等腰直角三角形，∴△AEF∽△DEG，∴AEDE=EF解得：AE=2(分米)，∴EF=2∴正方体礼品盒的棱长为22∴体积为22故答案为：162【变式4-3】（2024·江苏徐州·模拟预测）A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入DIN(编号是DIN476)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．ISO216定义了A、B、C三组纸张尺寸．(1)观察发现：如图1，将A4纸2次折叠，发现第1次的折痕与A4纸较长的边重合，由此可求出A4纸较长边与较短边的比为．(2)探究迁移；将一张A4纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为AD的中点?请说明理由．(3)拓展应用；利用一张A4纸经过裁剪获得一张边长为21cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB【答案】(1)2(2)是，理由见解析(3)见解析【分析】（1）设A4纸较长边的长为a，较短边长为b，易求得第一次折痕长为2b，根据第1次的折痕与A4纸较长的边重合得到a=（2）设AB=t，AD=2t，根据矩形和折叠性质得到∠AEB=∠ACD，进而证得△ABE∽△DAC，由ABAD（3）延长DA、CG相交于点P，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得CE=2125cm，再根据折叠性质和等角对等边得到EP=CE=2125【详解】（1）解：设A4纸较长边的长为a，较短边长为b，由题意，第一次折痕长为b2∵第1次的折痕与A4纸较长的边重合，∴a=2b，即故答案为：2:1（2）解：点E是AD的中点，理由如下：由（1）得ADAB=2，设AB=t由折叠使得点A和点C重合得AC⊥BE，则∠AEB+∠OAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=90°，CD=AB=t，∠ACD+∠OAE=90°，∴∠AEB=∠ACD，∴△ABE∽△DAC，∴ABAD=AE∴AE=2即点E是AD的中点；（3）解：如图，延长DA、CG相交于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=BC=21cm，∠D=90°，AD由折叠性质得∠BCP=∠ECP，DE=AE=1∴CE=C∵AD∥∴∠EPC=∠BCP=∠ECP，∴EP=CE=21∴AP=EP−AE=21∵AD∥∴△PAG∽△CBG，∴AGBG=AP∴G是AB的黄金分割点．【点睛】本题考查矩形与折叠性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、黄金分割等知识，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．【题型5运用相似三角形解决格点问题】【例5】（23-24九年级·江苏扬州·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．(1)在图①中，PDPA(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在线段AB上找一点P，使APBP②如图③，在线段BC上找一点P，使△APB∽【答案】(1)1(2)①见解析；②见解析【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）证明△ABP∽△DCP，即可求得PDPA（2）①如图，取格点E、F，连接EF交AB于点P，利用相似三角形的判定和性质即可得解；②如图，取格点T，连接DT交AB于点P，利用相似三角形的判定即可得解．【详解】（1）解：∵AB=3，CD=1，且AB∥∴△ABP∽△DCP，∴PDPA故答案为：13（2）解：①点P如图所示，；②点P如图所示，．【变式5-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，请按要求作图．

(1)在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）．(2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ=2AQ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据相似三角形的判定，并结合网格求解；（2）根据平行线分线段成比例定理，在网格中画出符合条件的图形．【详解】（1）如图

（答案不唯一）（2）如图

【点睛】本题主要考查作图－相似的变换，解题的关键在于熟练掌握相似三角形判定与性质以及平行线分线段成比例定理．【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）在5×5的方格中，△ABC是格点三角形（三角形的顶点在格点上）(1)要求在图1的方格中，画一个与△ABC相似且相似比为整数（不为1）的格点三角形．(2)要求在图2的方格中，画一个与△ABC相似且相似比不为整数的格点三角形．(3)要求在图3的方格中，画一个与△ABC相似且面积最大的格点三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用勾股定理画出一个△DEF使得△DEF∽△ABC，且相似比为2即可；（2）利用勾股定理画出一个△DEF使得△DEF∽△ABC，且相似比为2即可；（3）将△ABC的边长扩大5倍，利用勾股定理画出对应的三角形即可．【详解】（1）解：如图所示，△DEF即为所求；∵AB=12+12=2∴DEAB∴△DEF∽△ABC，∴△DEF即为所求；（2）解：如图所示，△DEF即为所求；同理可得DEAB∴△DEF∽△ABC，∴△DEF即为所求；（3）解：如图所示，△PQM即为所求；【点睛】本题主要考查了在网格中画相似三角形，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键．【变式5-3】（2024·江苏无锡·一模）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．(1)在图①中，PC：PB=(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP=3．②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽【答案】(1)1(2)图见解析【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；（2）①根据勾股定理得AB的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P；②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P【详解】（1）解：图1中，∵AB∥∴PCPB故答案为：13（2）解：①在网格图②中，AB=3如图2所示，连接CD，交AB于点P，∵BC∥∴APBP解得：AP=3，∴点P即为所要找的点；②如图3所示，作点A的对称点A′连接A′C，交BD于点∵AB∥∴△APB∽∴点P即为所要找的点．【点睛】本题考查了作图—相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相似三角形．【题型6运用相似三角形探究线段之间的关系】【例6】（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)GH=(3)BG=6【分析】（1）证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH；（2）根据△EDP∽△PCH，求得PH的长度，从而得出GH长度；（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先证明△MBH≌△PCH，得到相等的边，再根据△BMG∽△MAP，得出大小关系．【详解】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠1+∠3=90°，∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，∴∠EPH=∠A=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3=∠2，∴△EDP∽△PCH；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠A=∠D=∠C=90°，∵P为CD中点，∴DP=CP=1设EP=AE=x，∴ED=AD−x=3−x，在Rt△EDP中，E即x2解得x=5∴EP=AP=x=5∴ED=AD−AE=4∵△EDP∽△PCH，∴EDPC=EP∴PH=5∵PG=AB=2，∴GH=PG−PH=3（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，∴BG∥AP，∵AE=EP，∴∠EAP=∠EPA，∴∠BAP=∠GPA，∴△MAP是等腰三角形，∴MA=MP，∵P为CD中点，∴设DP=CP=y，∴AB=PG=CD=2y，∵H为BC中点，∴BH=CH，∵∠BHM=∠CHP，∠CBM=∠PCH，∴△MBH≌△PCH(ASA∴BM=CP=y，HM=HP，∴MP=MA=MB+AB=3y，∴HP=1在Rt△PCH中，CH=∴BC=2CH=5∴AD=BC=5在Rt△APD中，AP=∵BG∥AP，∴△BMG∽△AMP，∴BGAP∴BG=6∴ABBG∴AB=6BG，即【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键．【变式6-1】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB>DE），连接AG，CE交于点H，判断线段AG与CE的数量关系及位置关系；（2）如图2，已知矩形ABCD和矩形DEFG，AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α0°<α<360°，连接AG，CE交于点H，（1）中线段数量关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE【答案】（1）AG=CE，AG⊥CE；（2）不成立，2AG=CE，AG⊥CE【分析】（1）根据四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形可证明△GDA≌△EDCSAS，从而得到AG=CE；根据全等三角形的性质得到∠HOA+∠DAG=90°即可证明AG⊥CE（2）根据四边形ABCD和四边形DEFG都是矩形和AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，可证明△GDA∽△EDC，根据相似三角形的性质得到∠HOA+∠DAG=90°即可证明AG⊥CE．【详解】解：（1）∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴DE=DG，AD=CD，∠EDG=∠ADC=90°，∴∠EDG+∠EDA=∠ADC+∠EDA，即∠GDA=∠EDC，∴△GDA≌△EDCSAS∴AG=CE；∠DCE=∠DAG，∵∠HOA=∠DOC，∠DCE+∠DOC=90°，∴∠HOA+∠DAG=90°，∴∠AHO=90°，∴AG⊥CE；解：（2）不成立；如图：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是矩形，∴∠EDG=∠ADC=90°，∴∠EDG+∠EDA=∠ADC+∠EDA，即∠GDA=∠EDC，∵AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，∴DC=2DE=2AD，DE=2DG，∴DGDE∴△GDA∽△EDC，∴2AG=CE；∠DCE=∠DAG，∵∠HOA=∠DOC，∠DCE+∠DOC=90°，∴∠HOA+∠DAG=90°，∴∠AHO=90°，∴AG⊥CE；【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用所学知识和找到角之间的关系是关键．【变式6-2】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．(1)求证：∠DAE=∠DCE；(2)求证：△ECF∽△EGC；(3)当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)FG=3EF，证明见解析【分析】（1）根据菱形的性质，可得到∠ADB=∠CDE，AD=CD，证明两三角形全等，可得到对应角相等，进而得到答案；（2）根据已知条件可以找到两个三角形的三个对应角相等，因此可证明出相似；（3）根据（1）（2）中的已知条件可以找到相等的边，再根据相似三角形对应边成比例可得出最终结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADB=∠CDE，AD=CD，在△ADE和AD=CD∠ADB=∠CDE∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DAE=∠DCE；（2）证明：由（1）可得∠DAE=∠DCE，∵四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，∴AD∥BG，∴∠DAE=∠G，∴∠DCE=∠G，又∠CEF=∠GEC，∴∠EFC=∠ECG，在ΔECF∠DAE=∠G∠CEF=∠GEC∴△ECF∽△EGC；（3）解：当AE=2EF时，FG=3EF，证明如下：由（2）可得△ECF∽△EGC，∴EFEC∵△ADE≌△CDE，∴EC=AE，∴EFAE又AE=2EF，EG=EF+FG，∴12整理可得FG=3EF．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形、相似三角形，解题的关键是找到各个角度、各个边长之间的关系．【变式6-3】（2024·河南信阳·模拟预测）阅读理解：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．(1)解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中，即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系为______；(2)问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；(3)问题解决：如图3，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB，DF，CF之间的数量关系，直接写出你的结论．【答案】(1)AD=AB+DC(2)AB=AF+CF，证明见解析(3)AB=【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、解题的关键是灵活运用相关的性质定理和判定定理．（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△GEC，根据相似三角形的性质得到AB=2【详解】（1）解：如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，∠BAF=∠F∠AEB=∠FEC∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，∠BAE=∠G∠AEB=∠GEC∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=2证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴ABCG=BE∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=2【题型7运用相似三角形解决尺规作图问题】【例7】（2024·河北沧州·模拟预测）如图，在△ABC中，用尺规按①到③的步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于F、E两点；②分别以F、E为圆心，大于12FE为半径画弧，两弧相交于点③作射线AG，交BC于点D；结论Ⅰ：线段AD上必有一点M，使得S△ABM结论Ⅱ：ABAC对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是(

)

A．结论Ⅰ和结论Ⅱ都对 B．结论Ⅰ和结论Ⅱ都不对C．结论Ⅰ对，结论Ⅱ不对 D．结论Ⅰ不对，结论Ⅱ对【答案】A【分析】取△ABC的内心M，连接BM，CM，过点M作MH⊥AB，MK⊥BC，MN⊥AC，垂足分别为H，K，N，得出MH=MK=MN，根据三角形面积公式得出S△ABM=12AB⋅MH=12rAB，S△ACM=12AC⋅MN=12rAC，S△BCM【详解】解：由题意得：AG为∠BAC的平分线，∵三角形的内心是三个内角平分线的交点，∴△ABC的内心在AG上，取△ABC的内心M，连接BM，CM，过点M作MH⊥AB，MK⊥BC，MN⊥AC，垂足分别为H，K，N，如图，

则MH=MK=MN，设MH=MK=MN=r，∴S△ABM=12AB⋅MH=∴S∵AB+AC>BC，∴S△ABM∴线段AD上必有一点M，使得S△ABM∴结论Ⅰ正确；过点C作CH∥AB，交AG于点∴∠CHA=∠BAD，∵AG为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CHA=∠CAD，∴CH=AC．∵CH∥∴△CDH∽△BDA，∴BDCD∴ABAC∴结论Ⅱ正确．综上，结论Ⅰ和结论Ⅱ都对．故选：A．

【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，角平分线上的点到两边的距离相等，相似三角形对应边成比例．【变式7-1】（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD交边BC于点E；②以点E为圆心，以BE的长为半径作弧交边AC于点F．若AB=AC=3，BC=2，则CF的长为【答案】2【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，先证明AD是BC的垂直平分线，再通过夹角相等两边成比例证明△ABC∽△FEC，列式代入数值得出ABFE【详解】解：连接EF，BD，

∵分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD交边BC于点∴BD=CD，∵AB=AC=3，∴AD是BC的垂直平分线，∴EB=CE=1∵以点E为圆心，以BE的长为半径作弧交边AC于点F．∴EB=FE∴CE=EB=FE=1∵∠C=∠C，AB∴△ABC∽△FEC则AB解得CF=故答案为：2【变式7-2】（2024·江苏镇江·二模）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．如图，①分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接AC，BC，AD，作射线BD；③以D为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BD于点E；④连接CE，交AB于点F．点F即为AB的一个三等分点（即学习任务：(1)填空：四边形ADBC的形状是；你的依据是；(2)证明：AF=【答案】(1)菱形，四条边相等的四边形为菱形(2)见解析【分析】本题主要考查了基本作图，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）利用菱形的判定与性质解答即可；（2）利用菱形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【详解】（1）解：由作法可知：AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC的形状是菱形，依据是：四条边相等的四边形为菱形；故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形；（2）证明：∵四边形ADBC的形状是菱形，∴AC∥∴∠ACE=∠CEB,∠AFC=∠BFE，∴△AFC∽△BFE，∴AFFB∵AC=BD，BD=DE，∴BE=2AC，∴AFFB∴FB=2AF，∴AB=3AF．∴AF=1【变式7-3】（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点E是边AC上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线AG．若射线AG经过点DA．813 B．1513 C．2013【答案】C【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了相似三角形的判定与性质．设AE=x，先利用勾股定理计算出AC=4，则CE=4−x，再利用基本作图得到AD平分∠CAB，接着证明∠EDA=∠EAD得到DE=AE=x，然后证明△CEF∽△CAB，则利用相似比得到CE:CA=EF:AB，即(4−x):4=2x:5，于是解方程可得到AE的长．【详解】解：设AE=x，∵∠C=90°,AB=5,BC=3，∴AC=5由作法得AD平分∠CAB，∴∠BAD=∠EAD，∵EF∥∴∠BAD=∠EDA，∴∠EDA=∠EAD，∴DE=AE=x，∵D为线段EF的中点，∴EF=2x，∵EF∥∴△CEF∽△CAB，∴CE:CA=EF:AB，即(4−x):4=2x:5，解得x=20即AE的长为2013故选：C．【题型8运用相似三角形解决动点问题】【例8】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，Rt△AOB中，∠O=90°，OA=20cm，OB=15cm，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向O运动，动直线EF从OA开始以每秒1cm的速度向上平行移动，分别与OB,AB交于点E，F，连接EP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．当t为时，【答案】6或80【分析】分别用t表示OP与OE的长度，根据∠EOP与∠BOA都是直角，当△EOP与△BOA相似时，O与O是对应点，因此分△EOP∽△BOA与△EOP∽△AOB两种情况讨论,根据相似列方程解之即可．【详解】解：∵动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向O运动，OA=20∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，又∵动直线EF从OA开始以每秒1cm∴OE=tcm，根据∠EOP与∠BOA都是直角，O与O是对应点，因此分△EOP∽△BOA与△EOP∽△AOB两种情况讨论，当△EOP∽△BOA，即OEOB=OP解得：t=6，当△EOP∽△AOB，即OEOA=OP解得：t=80综上所述：当t=6或8011时，△EOP与△BOA故答案时：6或8011【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似进行讨论分析是解题的关键．【变式8-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8，过点B作射线BM∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动．过点E作EF⊥AC交射线BM于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t，当△DEG与△ACB相似且点D位于点E左侧时，t的值为．【答案】3或23/2【分析】若ΔDEG与ΔACB相似，分情况讨论，则DEEG【详解】解：如下图：∵EF=BC=8，G是EF的中点，∴GE=4．点D位于点E左侧时，即AD<AE，∴3t<6+2t，解得：t<6，∴DE=AE−AD=6+2t−3t=6−t，若ΔDEG与ΔACB相似，则DEEG∴6−t4=6∴t=3或t=故答案为：3或23【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．【变式8-2】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为【答案】16【分析】此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ∽△ABC时；（2）当△APQ∽△ACB时．利用相似三角形的性质求解即可【详解】解：（1）当△APQ∽△ABC时，设用时t秒，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．APAB=AQAC，则AP=2t，CQ=3t，于是2t8=16解得，t=1（2）当△APQ∽△ACB时，APAC设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．于是2t16解得t=4．故答案为：16【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意将对应边转换，得到两组相似三角形是解题的关键．【变式8-3】（23-24九年级·山西吕梁·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒342cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，当△PBQ是直角三角形时，t的值为【答案】65或【分析】先由勾股定理算出AB的值，再分别用含t的式子表示出AP、BQ、BP及BQ，然后分两种情况判定△BQ1P1∽△BCA及△BP2Q2∽△BCA，之后利用相似三角形的性质列比例式计算：①当∠BQ1P1＝90°时，如图1；②当∠BP2Q2＝90°时，如图2．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，∴AB＝52+3由题意可知点P运动时间t秒时，AP＝342tcm，BQ＝tcm∴BP＝（34-342t)cm当△PBQ是直角三角形时，有两种情况：①当∠BQ1P1＝90°时，如图1：∵∠C＝90°，∠BQ1P1＝90°，∴∠C＝∠BQ1P1，又∵∠B＝∠B，∴△BQ1P1∽△BCA，∴BQ∴t3解得：t＝65②当∠BP2Q2＝90°时，如图2：∵∠C＝90°，∠BP2Q2＝90°，∴∠C＝∠BP2Q2，又∵∠B＝∠B，∴△BP2Q2∽△BCA，∴BP∴34−解得：t＝1710故答案为：65或17【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质及定理、数形结合并分类讨论是解题的关键.【题型9运用相似三角形解决最值问题】【例9】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E是AB边上一点，且BE=3，D为BC边上一动点，作∠EDF交AC边于点F，若∠EDF=60°，则AF的最小值为．

【答案】8【分析】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，证明△CDF∽△BED，可得CFBD=CDBE，设BD=x，则CD=4−x，再建立二次函数求解【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴BC=AC=4，∠B=∠C=60°，设BD=x，则CD=4−x，∵∠EDC=∠B+∠BED，即∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，而∠EDF=60°，∴∠BED=∠CDF，∵∠B=∠C，∴△CDF∽△BED，∴CFBD=CD∴CF=−1∴当x=2时，CF有最大值43∴AF有最小值为4−4故答案为：83【变式9-1】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．【答案】4【分析】连接DF，先根据相似三角形判定与性质证明DEAE=23,得到S△AEF=35S△ADF,进而根据CD=2BD，CF=2AF，得到S△AEF=215S【详解】解：如图，连接DF，∵CD=2BD，CF=2AF，∴CFCA∵∠C=∠C，∴△CDF∽△CBA，∴DFBA=CDCG=∴DF∥BA，∴△DFE∽△ABE，∴DFAB∴S△AEF∵CF=2AF，∴S△ADF∴S△AEF∵CD=2BD，∴S△ADC∴S△AEF∵△ABC中，AB=4，BC=5，∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为12此时△AFE面积最大为10×2故答案为：4【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定得到DEAE【变式9-2】（2024·河北邯郸·三模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E在CB边上，DE的中点为G，EG绕点E顺时针旋转90°得EF，若CE=x，则：（1）当x=6时，EF的长为；（2）在x的变化过程中，CF的最小值是．【答案】54【分析】（1）首先根据勾股定理求出DE=CD2（2）过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M，证明出△DEC∽△EFM，得到CDME=DEEF=CEMF【详解】（1）∵正方形ABCD的边长为8，CE=x∴∠DCE=90°当x=6时，CE=x=6∴DE=∵DE的中点为G，∴GE=∵EG绕点E顺时针旋转90°得EF，∴EF=GE=5；（2）如图所示，过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M∵DE的中点为G，∴GE=∵EG绕点E顺时针旋转90°得EF∴FE=GE，∠DEF=90°∴FE=12∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠CDE=∠CEF∴△DEC∽△EFM∴CDME=∴ME=4，MF=∴MC=ME−CE=4−x∴CF=∴当x=165时，CF的最小值为故答案为：5，45【点睛】此题考查了二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是