2024-2025学年湖南省“炎德·英才·名校联考联合体”高二第一次联考(暨入学检测)数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省“炎德·英才·名校联考联合体”高二第一次联考(暨入学检测)数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=7i3+i的虚部为(

)A.2110 B.−2110 C.212.已知集合U=R，A={x|12<12x+1<A.A⊆∁UB B.∁UA⊆B 3.已知cos2α=18，α∈(0,π2A.−74 B.74 4.已知命题甲：“实数x，y满足yx=xy”，乙：“实数x，y满足xA.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知a=40.1，b=(0.1)0.4，c=A.a>c>b B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b6.将函数f(x)=cos(2ωx+π−ωπ4)(ω>0)的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间(πA.14 B.12 C.347.由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉;第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是(

)A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算

C.两种方案一样 D.采用哪种方案无法确定8.[x]表示不超过实数x的最大整数，已知奇函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(−2)=−8，对于区间[0,2]上的任意x1，x2都有f(x1+4)−f(x2+4)x2−A.0 B.1 C.2 D.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设向量a=(3,k)，b=(2,−1)，则下列说法错误的是(

)A.若a与b的夹角为钝角，则k>6

B.|a|的最小值为9

C.与b共线的单位向量只有一个，为(22,−10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有(

)A.均值为101 B.极差为9

C.方差为8 D.第60百分位数为10111.阳马和鳖臑[biē nào]是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱(图2，图3)，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开(图4)，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马(图5).余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑(图6).若图1中的长方体是棱长为1的正方体，则下列结论正确的是(

)

A.鳖臑中的四个直角三角形全等

B.堑堵的表面积等于阳马与鳖臑的表面积之和

C.鳖臑的体积等于阳马体积的一半

D.鳖臑的内切球表面积为(3−2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若A，B，C三点共线，对任意一点O，有2OA−OC=2cosα⋅OB(α13.已知函数f(x)=a3x+1满足f(0)=12，则14.如图，已知点A，B在圆锥SO的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面中心，且圆锥SO的底面积为4π，∠ASB=30∘，若AB与截面SAO所成角为60∘，则圆锥SO的侧面积为

．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=sinωxcos(1)求ω;(2)求f(x)在区间[−π416.(本小题12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA(a(1)求A;(2)若b2+c217.(本小题12分)随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人标准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险．某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图．

(1)求a;(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人?(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低?18.(本小题12分)如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．19.(本小题12分)在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为α(0<α<1)，猜是反面的概率为1−α;当硬币出现反面时，猜是反面的概率为β(0<β<1)，猜是正面的概率为1−β.假设每次扔硬币相互独立．(1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为P1，P2，试比较P1，(2)若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率，(ⅰ)从下面 ① ② ③ ④中选出一定错误的结论： ①α+β=3(ⅱ)从(ⅰ)中选出一个可能正确的结论作为条件，用X表示猜测的正反文字串，将X中正面的个数记为n(X)，如X=“正反正反”，则n(X)=2.若扔四次硬币分别为“正正反反”，求P(n(X)=2)的取值范围．

参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.C

6.D

7.B

8.C

9.BC

10.ABD

11.CD

12.π313.1

14.2(15.解：(1)因为f(π4)=0，

所以f(π4)=sinπ4ωcosπ4ω−cos2π4

=12sinπ2ω−(22)2=12sinπ2ω−12=0，

所以sinπ2ω=1，

所以π2ω=π2+2kπ(k∈Z)，

解得ω=1+4k(k∈Z)，

又0<ω<516.解：(1)因为sinA(acosC−12b)=cosA(32b−asinC)，

所以a(sinAcosC+cosAsinC)=12bsinA+32bcosA，

所以asin(A+C)=12bsinA+32bcos17.解：(1)由图可知，(2a+0.03+0.07+6a+2a)×5=1，解得a=0.01．

(2)因为女性体脂率为25%至30%的频率为0.06×5=0.3，

女性体脂率超过30%的频率为0.02×5=0.1，

所以全市女性“偏胖”约有100×0.3=30(万人)，

“过胖”约有100×0.1=10(万人)．

(3)[10,20)的频率为(0.02+0.03)×5=0.25，

[10,25)的频率为(0.02+0.03+0.07)×5=0.6，

所以中位数位于[20,25)内，设为x0，

则(0.02+0.03)×5+(x0−20)×0.07=0.5，解得x0≈23.57;

平均数为x18.(1)证明：在正方形ABCD中，AD//BC，

因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以AD//平面PBC，

又因为AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC=l，

所以AD//l，

因为在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，

所以AD⊥DC，所以l⊥DC，

因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以AD⊥PD，所以l⊥PD，

因为CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PDC，

所以l⊥平面PDC；

(2)如图建立空间直角坐标系D−xyz，

因为PD=AD=1，

则有D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0)，

设Q(m,0,1)，则有DC=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=(1,1,−1)，

设平面QCD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DC=0n⋅DQ=0，，即y=0mx+z=0,

令x=1，则z=−m，

所以平面QCD的一个法向量为n=(1,0,−m)，

则cos<n,PB>=n⋅19.解：(1)猜测全部正确的概率为P1=αβ，

猜测全部错误的概率为P2=(1−α)(1−β)，

因为P2−P1=(1−α)(1−β)−αβ=1−(α+β)，

所以当α+β<1时，P1<P2;

当α+β=1时，P1=P2;

当α+β>1时，P1>P2．

(2)(i)若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率，

则α>1−αβ>1−β解得α>12β>12,

所以12<α<1,12<β<1,

所以1<α+β<2，14<αβ<1．

因此， ② ④一定错误．

(ii)若扔四次硬币分别为“正正反反”，事件n(X)=2包含以下三种情况：

两个正都猜对，且两个反都猜对，其概率为α2β2;

有且只有一个正猜对，且有且只有一个反猜对，