2024-2025学年河北省省级联测高三（上）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省省级联测高三（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,2,3,4}，B={x∈Z|y=ln(9−x2)}A.{1,2,3} B.{−1,2} C.{2,3} D.{0,1,2,3,4}2.已知复数z1=a2−3a+3i，z2=2+(a2A.1或2 B.1 C.2 D.33.已知向量a,b满足|a|=2,b=(2,0)，且|a+A.(−1,0) B.(1,0) C.(−2,0) D.(2,0)4.已知cos(α+π2)=2cos(α+3π)，则A.−14 B.34 C.25.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD是面积为16的正方形，则该几何体的体积为(

)A.16π3

B.16π

C.64π3

6.设Sn为正项等比数列{an}的前n项和，3S2=a1+2A.55 B.57 C.87 D.897.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若关于x的方程g(x)−m=0在x∈[−πA.(−2,2]

B.(−2,−3]

C.[8.已知定义域为R的函数f(x)不是常函数，且满足f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=0，则i=12026f(i)=A.−2 B.2 C.−2026 D.2026二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X～N(1,4)，Y～N(2,1)，则下列说法正确的是(

)A.若P(X<0)=0.2，则P(X≤2)=0.4

B.若P(X≥a)=P(X≤0.2)=0.1，则P(a9<X<1)=0.4

C.P(X>1)>P(Y>2)10.已知函数f(x)=−x3+2x2−xA.函数f(x)的单调递增区间为(1,3)

B.函数f(x)的极大值点为1

C.若x∈[1,2]，则f(x)的值域为[−2,0]

D.若∀x≥0，都有g(x)≤0成立，则a的取值范围为(−∞,−1]11.已知曲线G：x|x|+y|y|=4，则下列说法正确的是(

)A.点(1,1)在曲线G上

B.直线l：y=−x与曲线G无交点

C.设直线l：y=kx+2，当k∈(−1,0)时，直线l与曲线G恰有三个公共点

D.直线l：x+y=2与曲线G所围成的图形的面积为π−2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=aln(3x+1)−x2+b，a，b∈R，若曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=3x+2，则a+b=13.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点O的直线与双曲线C交于M，N两点，且点M在第一象限，满足M14.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m道试题的概率为f(m)，则当m=______时，f(m)取得最大值．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cosAac−cosAab=cosCbc．

(1)求角A；

(2)若a=216.(本小题15分)

已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，上、下顶点分别为A，B，且∠AF1B=π2，点(1,22)在Γ上．

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)过左焦点17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PDC为钝角三角形且DP=DC，∠DAB=∠ABC=2∠ADB=2∠DCB=90°，E是PA的中点．

(1)证明：BD⊥PD；

(2)若直线PD与底面ABCD所成的角为60°，求平面BDE与平面CDE夹角的正弦值．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x2+a)x+1(a<0)．

(1)证明：函数f(x)的极大值大于1；

(2)若函数f(x)有3个零点，求实数a的取值范围；

(3)已知Ai(xi,yi)，i=0，1，2，3是f(x)图象上四个不重合的点，直线A0A319.(本小题17分)

已知有限集A={a1,a2,a3,…,an}(n≥2)，若A中的元素ai(i=1,2,…,n)满足a1a2…an=a1+a2+…+an，则称A参考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.C

6.C

7.B

8.A

9.BD

10.BCD

11.BCD

12.3

13.1714.13或14

15.解：(1)由2cosAac−cosAab=cosCbc，整理得2bcosA−ccosA=acosC，

结合正弦定理，化简得2sinBcosA−sinCcosA=sinAcosC，

所以2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，

因为△ABC中，sinB>0，

所以2cosA=1，可得cosA=12，结合0<A<π，可得A=π3；

(2)由(1)得A=π3，即sinA=32,cosA=12，

因为△ABC的面积S=116.解：(1)根据题意可知，∠AF1B=π2，所以a=2b，

由于点(1,22)在Γ上，因此12b2+12b2=1，

即2b2=2，

解得b=1，所以a=2，

因此椭圆Γ的方程为x22+y2=1．

(2)根据已知得直线MN的斜率必存在，所以设直线MN的方程为y=k(x+1)，

代入椭圆方程，可得(1+2k2)x2+4k217.解：证明：(1)由∠DAB=∠ABC=2∠ADB=2∠DCB=90°，得AD=AB，AD//BC，

则∠DBC=∠DCB=45°，

所以BD=CD，∠BDC=90°，即BD⊥CD，

因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面PCD，

又PD⊂平面PCD，

所以BD⊥PD．

(2)如图，过点P作CD的垂线，交CD的延长线于点H，连接AH，

因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PH⊂平面PCD，PH⊥CD，

所以PH⊥平面ABCD，

则DH为PD在底面ABCD内的射影，

所以∠PDH为直线PD与底面ABCD所成的角，即∠PDH=60°，

设AD=1，得BD=DC=DP=2,BC=2，

△PHD中．DH=22,PH=62，

在△ADH中，∠ADH=45°，

由余弦定理得AH=AD2+DH2−2AD⋅DHcos45°=22，

所以AH2+DH2=AD2，所以AH⊥CD，

如图，过点D作DF//PH，则DF⊥底面ABCD，

以DB，DC，DF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,−22,62),A(22,−22,0),E(24,−22,18.解：(1)证明：由题，f′(x)=3x2+a，

令f′(x)=0，解得x=±−a3，

当x<−−a3或x>−a3时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当−−a3<x<−a3时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

所以当x=−−a3时，f(x)取得极大值，

由单调性可知f(−−a3)>f(0)=1，

所以函数f(x)的极大值大于1；

(2)由(1)可知，当x=−−a3时，f(x)有极大值，且极大值为f(−−a3)>1>0，

因为x→−∞，f(x)→−∞；，x→+∞，f(x)→+∞，且当x=−a3时，f(x)有极小值，

所以要使得函数f(x)有3个零点，应满足f(−a3)<0，

即(−a3+a)−a3+1<0，

即2a3−a3<−1，因为a<0，

所以(−2a3)−a3>1，

解得a<−3322，19.解：(