数学教材习题点拨：3回归分析的基本思想及其初步应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨练习1．解：画散点图的目的是通过变量的散点图判断两个变量更近似于什么样的函数关系，以确定是否直接用线性回归模型来拟合原始数据．评注：在对常用的函数图象比较了解的情况下，通过观察散点图可以判断两个变量的关系更近似于哪种函数．2．解：分析残差可以帮助我们解决以下几个问题：①寻找异常点，就是残差特别大的点，考察相应的样本数据是否有错；②分析残差图可以发现模型选择是否合适．评注：分析残差是回归诊断的一部分内容,可以帮助发现样本数据中的错误,分析模型选择是否合适，是否有其他变量需要加入到模型中，模型的假设是否正确等．3．解：(1）解释变量与预报变量的关系是线性函数的关系．(2）R2＝1.评注：如果所有的样本点都在一条直线上,建立的线性回归模型一定是这条直线,即此时的模型为y＝bx＋a，没有随机误差项,所以是严格的一次函数关系．通过计算可以证明解释变量和预报变量之间的相关系数是1,而R2恰好等于相关系数的平方．习题3。11．解：（1）由表中数据制作的散点图如图所示1993～2002年中国GDP散点图从散点图中可以看出GDP值与年份近似呈现线性关系．(2)用yi表示GDP值，t表示年份．根据截距和斜率的最小二乘计算公式得≈－14292537.73，≈7191.969，从而得线性回归方程＝7191。969t－14292537.73.残差计算结果见下表．GDP值与年份线性拟合残差表年份1993199419951996残差－6422。087－1489.0563037。6755252。206年份1997199819992000残差4638.2371328。868－2140。801－1932.17年份20012002残差－1277。439－993。608(3）2003年的GDP预报值为112976。2亿元，根据国家统计局2004年的统计，2003年实际GDP值为117251。9亿元，预报与实际相差4275.7亿元．（4）上面建立的回归方程的R2＝0。974,说明年份能够解释97％的GDP值变化,因此所建立的模型能够很好地刻画GDP和年份的关系．2．提示:该题目的结果与具体的数据有关,不作统一答案．3．解：由表中数据得散点图如图所示．从散点图中可以看出震级x与地震数N之间不具有线性相关关系．从图中可以看出，随着x的减少,所考察的地震数N近似地以指数函数图象的形式增长．做变换y＝lgN，得到的数据见下表:x3.03。23.43。63。84。0y4.4534。3094。1704。0293。8833。741x4。24。44。64。85。05.2y3.5853.4313。2833。1322.9882。873x5。45.65.86。06.26。4y2.7812.6382.4382.3142.1701。991x6.66.87。0y1.7561.6131。398x和y的散点图如图所示．从这个散点图可以看出x和y之间有很强的线性相关性,因此可以用线性回归模型拟合它们之间的关系．根据截距和斜率的最小二乘计算公式得＝6。7013，＝－0.7405，从而线性回归方程为＝6。7013－0.7405x