数学教材梳理古典概型

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、基本事件的概念和概率在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件的概率为。一次试验中，只可能出现一种结果,即产生一个基本事件,任何两个基本事件是互斥的（不可能同时发生的），如掷骰子试验中，一次试验只能出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生.且任何随机事件都可以表示成基本事件的和(至少有一个发生）,在掷骰子试验中，随机事件“出现偶数点"由基本事件出现“2点”“4点”“6点”共同组成.误区警示在计算基本事件的概率时要明确基本事件与基本事件的总数之间的关系，如掷骰子的试验中,P（“1点")=P（“2点”)=…=P（“6点”)=。而如果将事件看成是偶数点或奇数点,则事件的总数就不再是6而是2,P(偶数点）=P（奇数点)=.二、古典概型的特点我们将满足下述条件的随机试验的概率模型称为古典概型。（1）所有的基本事件只有有限个；(2）每个基本事件的发生都是等可能的;一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.误区警示并不是所有的试验都符合古典概型.例如，在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件只有两个:发芽、不发芽。而“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的。又如,从规格直径为300mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d，测量值可能是从299.4mm到300。6mm之间的任何一个值,所有可能的结果有无限多个，这两个试验都不属于古典概型。只具有有限性的不是古典概型，只具有等可能性的也不是古典概型，生活中还有许多这样的例子.三、古典概型的概率公式如果一次试验的等可能基本事件共有n个，某个事件A包含了其中为m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为，即在古典概型中,P(A）=。这个公式只适应于计算古典概率，而古典概型中的“等可能性”的判断是很重要的，如先后抛掷两枚硬币,求“一枚出现正面，另一枚出现反面”的概率.因为先后抛掷两枚质地均匀的硬币，可出现“正，正”“正,反"“反，正”“反，反”这4种等可能的结果,而“一枚出现正面，另一枚出现反面”这一事件包括“正，反”“反，正”两种结果，因此“一枚出现正面，另一枚出现反面”的概率是P==，但答本题时，有时错误地认为先后抛掷2枚质地均匀的硬币，只会出现“2个正面”、“2个反面”、“1正1反”这3种情况，从而得到P=的结论，实际上上述3种情况不是等可能的。深化升华在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A.因此从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数〔记作：card（A)〕与集合I元素个数〔记作：card(I）〕的比值即P（A）=。方法归纳用这个式子计算概率时,关键是求出m、n,其中n为一次试验中等可能出现的结果数，m为某个事件所包含的结果数.求n时应注意这n种结果必须是等可能的，且要注意这m个结果一定是这n个结果的一部分。四、求等可能性事件的概率的步骤首先反复阅读题目，收集整理题目中各种信息；其次判断本试验是否是等可能的，利用列举法等知识计算本试验的基本事件有多少个；然后指出事件A是什么，它包含多少个基本事件；最后利用古典概型的计算公式计算事件A的概率。典题·热题知识点古典概型的概率计算例1两个完全相同的均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1,2,3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次。两个玩具的数字之和共有多少种不同的结果？其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况？分别计算这两种情况的概率。思路分析：掷骰子有36个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型.可利用图表法求解基本事件总数和事件A包含的基本事件数。解：两个玩具同时掷的结果可能出现的情况如下表：第一枚数字和123456723456783456789456789105678910116789101112第二枚123456其中共有36种不同情况，但数字之和却只有2,3,4，5，6,7,8,9,10,11,12共11种不同结果，从中可以看出，出现2的只有1种情况，而出现12的也只有1种情况，它们的概率均为,因为只有甲、乙均为1或均为6时才有结果。出现数字之和为6的共有(1,5），（2，4）,(3,3）,（4,2）,（5,1)5种情况，所以其概率为。误区警示数字之和实际上只有2,3，4,5，6，7，8,9,10，11，12共11种不同结果，但它们出现的可能性却不相等,会出现“两端小，中间大”的情况，所以并不能简单地认为n=11,直接利用古典概型的计算公式.例2在箱子中装有十张卡片,分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x,然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，试求x+y是10的倍数概率.思路分析：可用逐一列举的方法求古典概型基本事件个数.解：先后两次抽取卡片时，每次都有10种结果，故有序实数对（x，y)共有10×10=100个.x+y是10的倍数，它包含下列数对：(1，9)，（2,8),(3，7)，(4，6),(5,5),(6，4），(7，3），(8，2），（9,1),（10,10)共10个.故x+y是10的倍数概率P（A）=。误区警示利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m为事件A所包含的基本事件数,求m值时,要做到不重不漏。问题·探究思想方法探究问题运用古典概型来求解概率问题，可以构建不同的古典概型吗？探究过程：可以从不同的角度来构建古典概型，求解古典概型概率问题,关键是把什么看作是一个基本事件（即一个试验结果）,一般说来，在建概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，我们只要求：每次试验有一个且只有一个基本事件出现，例如：掷一粒均匀的骰子时，根据问题的需要，可以认为有6个结果（向上的点数是1，向上的点数是2,…，向上的点数是6),