数学教材梳理：正态分布

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、正态曲线与正态分布曲线1。正态曲线如果随机变量X的概率密度函数为φu，σ(x）=，x∈（-∞,+∞）其中实数u和σ（σ＞0）为参数.我们称φu，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。要点提示高尔顿板试验中,当试验次数越多，也就是放入小球的个数越多，实验就越接近正态曲线.2.正态分布一般地,如果对于任何实数a<b,随机变量X满足P（a〈X≤b）=，则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N（μ，σ2)。如果随机变量X服从正态分布，则记为X-N(μ，σ2)。参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.把μ=0，σ=1的正态分布叫做标准正态分布.方法归纳一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。热点聚焦正态分布是客观存在的规律，高尔顿板试验只不过是验证了这一规律而已.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条 件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等);某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等,一般都服从正态分布。所以，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中。3.正态曲线的特点(1)曲线位于ｘ轴上方，与ｘ轴不相交；(2）曲线是单峰的。它关于直线x=μ对称；（3）曲线在x=μ处达到峰值；(4）曲线与ｘ轴之间的面积为1;（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿ｘ轴平移；（6）当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。特点（1）：说明函数的值域为正实数集的子集，且以ｘ轴为渐近线；特点(2）：是曲线的对称性，关于直线x=μ对称；特点（3)：说明函数x=μ时取得最大值；特点(4）：说明正态变量在（-∞,＋∞）内取值的概率为1；特点（5)：说明当均值一定时,σ变化时总体分布的集中、离散程度。知识拓展若标准正态分布N（0,1）总体取值小于x0的概率用φ（x0）表示，即φ(x0)=P（x〈x0），则φ（x0）+φ（-x0)=1;对一般正态总体N（μ，σ2)来说，可通过线性代换y=转化为标准正态总体N（0,1）.二、3σ原则1.正态分布在区间(μ—a,μ+a］上的概率若X—N（μ，σ2），则对于任何实数ａ＞0，概率P（μ-a<X≤μ+a）=为直线x=μ—a,x=μ+a与正态曲线和ｘ轴所围成的图形的面积。对于固定的μ和a而言，该面积随着σ的减少而变大。这说明σ越小，X落在区间（μ-a,μ+a]的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大.上述规律是通过正态曲线的形象直观地得到的,也就是通过定性分析得到的，事实上我们也可以利用定量计算得到，即通过对定积分计算得到。深化升华几个特殊结论：P(μ-a〈X≤μ+a）=0.6826，P(μ-2a<X≤μ+2a)=0。9544，P（μ-3a〈X≤μ+3a)=0.9974。2。3σ原则由于正态总体几乎总取值于区间（μ—3a,μ+3a)之内，而在此区间以外的取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,σ2）的随机变量X只取(μ—3a,μ+3a)之间的值,并简称之为3σ原则.深化升华从理论上可以证明,正态变量在（μ-σ，μ+σ）,（μ—2σ，μ+2σ）,(μ—3σ,μ+3σ)内，取值的概率分别约是68。3％，95.4%,99.7%.由于正态变量在(—∞,+∞)内取值的概率是1，容易得出，它在（μ-3σ,μ+3σ）之外取值的概率是0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍的标准差之内，这就是正态分布的3σ原则。问题·探究问题1在高尔顿板试验中，小球第一次与高尔顿板的底部接触时的坐标X服从正态分布吗？思路:一个随机变量如果是众多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。在高尔顿板试验中,小球到达底部的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布.探究:判断一个变量是不是服从正态分布,就是看是否为随机变量，并且是否符合正态分布的定义及条件。尽管我们是利用高尔顿板试验近似地得到正态曲线，进而得到正态分布.但正态分布是客观存在的规律，这一试验只是验证了这一问题。而且当试验的次数越多,也就是放入的小于的个数越多,试验就越接近正态曲线。问题2某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.52),质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件,测得它的外直径为5.7ｃｍ，试求该厂生产的这批零件是否合格？思路：由X服从正态分布N(4，0。52），由正态分布性质可知，正态分布N（4,0.52）,在（4-3×0.5,4+3×0。5)之外的取值概率只有0。03，而5。7（2。5，5.5)。这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批零件不合格。探究:解决此类问题可以用假设检验的思想方法来解决，其基本步骤可分为三步。一是提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ,σ2）；二是确定一次试验中的取值σ是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ);三是作出判断，如果a∈(μ—3σ，μ+3σ）,则接受统计假设,如果a（μ—3σ,μ+3σ)则拒绝统计假设。要注意小概率事件原理是假设检验的基础。运用小概率事件原理时须注意：这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的；运用“小概率事件原理”进行推断时,我们也有5％的犯错误的可能.典题·热题例1设ξ服从标准正态分布，则（1）P（ξ<1。8）=___________；（2)P(—1<ξ〈1.5）=___________;（3）P（ξ〉—1.5）=___________；（4）P（｜ξ｜<2）=___________。思路分析：由标准正态分布的性质直接代入求解:（1）P(ξ〈1。8）=φ（1。8)=0。9641；（2）P(—1〈ξ<1。5)=φ（1。5)-φ（—1）=0.9932-1+φ（1）=0.9932—1+0.8413=0。7745；（3)P（ξ〉-1。5）=1-P(ξ≤—1.5)=1—φ（—1。5)=φ（1.5）=0。9932；（4)P(|ξ|〈2）=φ(2）-φ(—2)=2φ(2）-1=2×0.9772—1=0。9544.答案：（1）0。9641（2)0.7745(3）0。9932(4）0.9544。方法归纳利用公式φ(x）=1—φ（—x）及标准正态分布的几何意义（即其概率为相应的曲边多边形的面积)，是将求服从正态分布的随机变量的概率转化为求φ(x0）的值的关键，进而通过查标准正态分布表即可求出相关的概率。同样，利用公式P（X<x）=φ（）可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题，应熟练掌握。例2假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002)。现有考生25000名,计划招生10000名，试估计录取分数线。思路分析：这是一个实际问题，通过数学建模可知，其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题.解:设分数线为μ，那么分数超过μ的概率应为录取率,即P（ξ≥μ）==0。4,因为ξ-N(500，1002）,所以P（ξ≥μ）=P(=1-p（）=1—φ(）。于是有φ()=1-P（ξ≥μ）=1—0。4=0。6.从标准正态分布表中查得φ（0。25)=0。5987≈0。6，故φ（）≈0.6，即μ≈525。由此可以估计录取分数线为525分。方法归纳本题关键是由录取人数（计划招生人数）与考生总数之比求得录取率（即超过录取分数线的概率），从而成功地建立数学模型。例3正态总体N（0，1）的概率密度函数是f(x)=,x∈R。（1）求证:ｆ(ｘ）是偶函数；（2）求ｆ(ｘ）的最大值；（3）利用指数函数的性质说明ｆ（ｘ）的增减性.思路分析：对给出的标准正态分布的概率密度函数，可以利用函数的相关知识来研究它的相关性质。解：（1)对于任意的x∈R，f（—x)==f（x).所以ｆ(ｘ）是偶函数；（2）令z=,当ｘ=0时，z=0,ex=1,∵ex是关于ｚ的增函数，当ｘ≠0时，z>0,ex〉1，∴当ｘ=0,即ｚ=0时，=ex取得最小值，当ｘ=0时，f(x）=取得最大值(3)任取x1<0，x2〈0,且x1<x2,有x12>x22,∴所以,即f（x1）〈f（x2）.这表明当ｘ＜0时,ｆ(ｘ）是递增的。同理可得，对于任取的x1>0，x2>0,且x1〈x2，有f(x1）>f(x2）,即当ｘ＞0时，ｆ(ｘ）是递减的。拓展延伸已知正态总体的数据落在区间（—3，—1）里的概率和落在区间（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为______________.思路分析：正态总体的数据落在这两个区间的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线正方的面积相等，另外，因为区间(-3，-1)和区间(3,5）的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直线x=μ对称，μ的概率意义是期望，我们也就找到了正态分布的数学期望了.因为区间（-3,—1）和区间（3,5）关于ｘ=1对称,所以正态分布的数学期望是1。答案：1深化升华通过例题的解决总结标准正态分步的概率密度函数的一些性质并注意应用。例4已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布N(27。45,0。052),质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到他们的尺寸如下：27。327。4927。5527。2327.4027.4627。3827。5827.5427。68,请你根据正态分布的3σ原则，帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的。思路分析：正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍标准之内，所以对落在区间(27。45-3×0.05