高中数学必修二《第十章 概率》同步练习

高中数学必修二《第十章概率》同步练习

<10.1.1有限样本空间与随机事件》同步练习

[合格基础练]

一、选择题

1.下列现象中，不可能事件是（）

A.三角形的内角和为180。

B.a_L〃，bl.a,a//b

C.锐角三角形中两内角和小于90°

D.三角形中任意两边之和大于第三边

C[锐角三角形中两内角和大于90°.]

2.下列事件中的随机事件为（）

A.若a,b,。都是实数，则a（6c）=（数）。

B.没有水和空气，人也可以生存下去

C.抛掷一枚硬币，反面向上

D.在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾

C[A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数&b,。是恒成立的，故

A是必然事件.在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不

可能事件.抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反

面向上，故C是随机事件.在标准大气压的条件下，只有温度达到100°C,水

才会沸腾，当温度是60C时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件.]

3.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只

选报其中的2个，则试验的样本点共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

C[该生选报的所有可能情况是：｛数学和计算机｝,｛数学和航空模型｝,｛计

算机和航空模型｝,所以试验的样本点共有3个.]

4.下列事件中，随机事件的个数为（）

①三角形内角和为180°；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形

中两个内角和小于90°；④三角形中任意两边的和大于第三边

A.1个B.2个C.3个D.4个

A[若两内角的和小于90°,则第三个内角必大于90。，故不是锐角三角

形，，③是随机事件，而①②④均为必然事件.]

5.从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”

包含的样本点数为()

A.2个B.3个C.4个D.5个

C[从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为。=

{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.其中“这2个数的和大于4”

包含的样本点有：(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个.]

二、填空题

6.投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有个.

5[样本点为(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个.]

7.下列试验中是随机事件的有.

①某收费站在一天内通过的车辆数；②一个平行四边形的对边平行且相等;

③某运动员在下届奥运会上获得冠军；④某同学在回家的路上捡到100元钱；⑤

没有水和阳光的条件下，小麦的种子发芽.

①③④[①③④都是随机事件，②是必然事件，⑤是不可能事件.]

8.从1,2,3,…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为,

满足“它是偶数”样本点的个数为.

0={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}5[样本空间为。=

(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),其中满足“它是偶数”样本点有：2,4,6,8,10,共有

5个.]

三、解答题

9.己知集合材={-2,3},N={-4,5,6),从两个集合中各取一个元素作为

点的坐标.

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)求这个试验样本点的总数；

(3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点.

[解](1)。={(一2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),

(—4,—2),(5,—2),(6»—2),(—4,3),(5,3)»(6,3)}.

(2)试验样本点的总数是12.

(3)“第一象限内的点”所包含的样本点为：(3,5),(3,6),(5,3),(6,3).

10.现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况.

(1)写出该试验的样本空间；

(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些?

［解］以(/S,⑸表示三人中甲出剪刀、乙出石头、齿出布.

⑴。={(/J,J),(/J,S，(/S,力，(S,J,力，(/J,而，(/

B,力，(氏/力，(7,S,5),(S/S,(S,S,力,(/B,而，(8,J,

0,(B,B,J),(S,S,5),(5,S,0,(5,B,。，{B,S,5),(B,B,S,

(B,S,舟,(S,B,皮，(昆昆与，(/,£而，(7，B,S，(S,J,0，(S,

B，J)，(昆J,S,(其5,J)}.

(2)“三人出拳相同”包含的样本点有：(/J,力，(S,S,。，(B,B,机

［等级过关练］

1.“连续抛掷两枚质地沟匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点

共有()

A.6种B.12种

C.24种D.36种

D[试验的全部样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(2,5;,(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),

(3,6),(4,1),(4,2),(4,3;,(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36

种.]

2.在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事

件的是()

A.3件都是正品B.至少有1件次品

C.3件都是次品D.至少有1件正品

C［25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都

是次品”不是随机事件.］

3.一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个

摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值

为.

16[至少需摸完黑球和白球共15个.]

4.下列试验中，随机事件有__,必然事件有_____.

①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；②打开电视机，正好

在播新闻；③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任摸4个，全部都是黄球；④

下周六是晴天.

②④①[①是必然事件，③是不可能事件，②④是随机事件.]

5.设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S,S,…，S。共

10站.若甲在&站买票，乙在&站买票.设试验的样本空间。表示火车所有可

能停靠的站，令力表示甲可能到达的站的集合，〃表示乙可能到达的站的集合.

(1)写出该试验的样本空间0

⑵写出43包含的样本点；

(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票?

［解］(1){S,£,S,W,S,S，W,So}.

(2)A=W，S,St,1，W，So}；B={57,S,W，So}.

(3)铁路局需要准备从S站发车的车票共计9种，

从S站发车的车票共计8种，……,从W站发车的车票1种，合计共9+8

+…+2+1=45(种).

《10.1.2事件的关系和运算》同步练习

[合格基础练]

一、选择题

1.从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两

个事件是互斥事件的为()

A.“都是红球”与“至少1个红球”

B.“恰有2个红球”与“至少1个白球”

C.“至少1个白球”与“至多1个红球”

D.“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”

D[A,B,C中两个事件是包含与被包含关系，只有D,两个事件不可能同

时发生，是互斥事件.]

2.抽查10件产品，记事件4为“至少有2件次品”，则力的对立事件为（）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

B[至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它

的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.]

3.给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件4”两次都出现

正面”，事件层“两次都出现反面”，则事件力与事件笈是对立事件；（2）在

命题（1）中，事件1与事件4是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从

中任取3件，记事件力：”所取3件中最多有2件是次品”，事件艮“所取3

件中至少有2件是次品”，则事件力与事件3是互斥事件.其中命题正确的个数

是（）

A.0B.1

C.2D.3

B[（1）还有可能出现一次出现正面，一次出现反面这种情况，所以事件A

和8是互斥事件，但不是对立事件，所以⑴错误；（2）正确；（3）中可能出现2

件次品，1件正品的情况，所以事件力与事件6不是互斥事件.故选B.]

4.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件4=｛两弹

都击中飞机｝,事件8=｛两弹都没击中飞机｝,事件仁｛恰有一弹击中飞机｝,事

件D=｛至少有一弹击中飞机｝,下列关系不正确的是（）

A.AQDB.BC\D=0

C.AUC=DD.AUC=BUD

D[“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚

击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都

击中，：.AUC^BUD,1

5.如果事件4B互斥,那么（）

A./UA是必然事件

B.，u/是必然事件

C.7与下一定互斥

D.力与8一定不互斥

B［用集合的表示法中的“Venn图”解决比较直观，如图所示，AUB=I

是必然事件，故选B.

--------------I］

二、填空题

6.事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4

个是黑球”的对立事件是.

某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球

［事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是

黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其

中至多3个是黑球”.］

7.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件

为.

①一个是5点，另一个是6点；

②一个是5点，另一个是4点；

③至少有一个是5点或6点；

④至多有一个是5点或6点.

③［同时掷甲、乙两枚段子，可能出现的结果共有36个，”都不是5点且

不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”.］

8.向上抛掷一枚骰子，设事件力=｛点数为2或4｝,事件，=｛点数为2或

6）,事件C=｛点数为偶数）,则事件。与4夕的运算关系是.

C=AUB［由题意可知层］

三、解答题

9.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件力为“只订甲报”，事件

8为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件〃为“不订甲报”，

事件£为“一种报也不订”.判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们

是否是对立事件.

⑴力与G⑵6与公（3）8与〃；⑷5与C；⑸。与£

［解］(1)由于事件。“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件力与事件。

有可能同时发生，故力与。不是互斥事件.

(2)事件5"至少订一种?艮”与事件£“一种报也不订”是不可能同时发生

的，故事件6与£是互斥事件,由于事件8和事件后必有一个发生，板B与E

也是对立事件.

(3)事件夕“至少订一种强”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就

是说事件6发生，事件〃也可能发生，故〃与〃不是互斥事件.

(4)事件6"至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订

甲、乙两种报”.事件。“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只

订甲报”“只订乙报”.即事件3与事件。可能同时发生，故3与。不是互斥事

件.

(5)由(4)的分析可知，事件£“一种报也不订”仅仅是事件。的一种可能，

事件C与事件后可能同时发生，故。与£不是互斥事件.

10.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集

合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系：

(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.

［解］设3名男生用数字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x,

0a£{1,2,3},yW{4,5})表示选出参加比赛的2名同学，则试验的样本空间为

♦={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),

(4,5)),

(1)设力=“恰有1名男生”，B="恰有2名男生”，

则力={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},4{(1,2),(1,3),

(2,3)},

因为408=。，所以事件力与事件夕互斥且不对立.

⑵设C="至少有1名男生”，。=“全是男生”，

则£{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},

>9={(1,2),(1,3),(2,3)),因为6n所以尾C即事件。与事件〃

不互斥

⑶设£=“至少有1名男生”，F=“全是女生"，则£={(1,2),(1,3),

(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)),

4{(4,5)},因为£AQ。，所以右和/互为对立事件.

⑷设G="至少有1名男生”，H="至少有1名女生”，则

6^{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},

"={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},

由于GDQ{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},所以G与〃

不互斥.

［等级过关练］

1.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分

得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()

A.对立事件B.互斥但不对立事件

C.不可能事件D.以上说法都不对

B［因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥

事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件.］

2,下列各组事件中，不是互斥事件的是()

A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6

B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分

C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒

D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70喘

B［对于B,设事件4为平均分不低于90分,事件12为平均分不高于90

分,则4n4为平均分等于90分，4,4可能同时发生，故它们不是互斥事件.］

3.抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件力={出现奇数点},事件8={出

现2点},事件C={出现奇数点或2点},则下列不成立的是()

A.AQCB.10夕=0

C.力U3=CD.BCC=0

D［易知力UQC,BCC=B,所以选项D不正确.］

4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到

语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件4B,C,D,E,则事件“取出的

是理科书”可记为_______.

BUDUE［由题意可知事件“取出的是理科书”可记为8U〃U£］

5.从学号为1,2,3,4,5,6的6名同学中选出一名同学担任班长，其中1,3,5

号同学为男生，2,4,6号同学为女生，记：G="选出1号同学”,C=“选出2

号同学”，G="选出3号同学“，&="选出4号同学”，Q="选出5号同

学”，G="选出6号同学”，〃=“选出的同学学号不大于1”,〃=“选出的

同学学号大于4"，4=“选出的同学学号小于6"，E="选出的同学学号小于

7”,F="选出的同学学号大于6"，G="选出的同学学号为为偶数”，〃="选

出的同学学号为奇数”，等等.据此回答下列问题：

(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？

(2)如果事件C发生，则一定有哪些事件发生？

(3)如果事件〃发生，则H能是哪些事件发生？在集合中，事件〃与这些事

件之间有何关系？

(4)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件8发生的情况？它们之间

的关系如何描述？

(5)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例

子吗？

［解］(1)必然事件有：艮

随机事件有：C，C,G,凡G戛,仄，d,d,G,H；

不可能事件有：F.

(2)如果事件G发生，则事件〃一定发生.

(3)可能是G,GG发生，4GUCUG.

(4)〃和〃同时发生时，即为G发生了.

(5)有，如：G和C；&和a等等.

《10.1.3古典概型》同步练习

［合格基础练］

一、选择题

1.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则第一册和第二册相邻

的概率为（）

1123

A.7B-C-D-

J乙J4

C［试验的样本空间Q=｛（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,

（3,2,1）｝,共6个样本点，事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点，故第

42

一册和第二册相邻的概率为/^-=-］

63

2.从｛1,2,3,4,5）中随机选取一个数为4从｛1,2,3）中随机选取一个数为b,

则力a的概率是（）

4321

A.-B.-C.-D.-

5555

D［设所取的数中力a为事件4如果把选出的数小6写成一数对（a,6）

的形式，则试验的样本空间。=｛（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1;,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）｝,共15

个，事件力包含的样本点有（1,2）、（1,3）、（2,3）,共3个，因此所求的概率P（4）

=-3-=—1

155」

3.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当

选的概率为（）

A2n2八3、3

A-5B-10C-10D-5

C［从五个人中选取三人，则试验的样本空间。=｛（甲，乙，丙），（甲,

乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙,

丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊）｝，而甲、乙都当选的结

果有3种，故所求的概率为诬.］

4.同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反画的概率等于（）

131

---

48D.2

C［试验的样本空间。=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）,

（反，正，正），（正，反，反），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）｝,

3

共8种，出现一枚正面，二枚反面的样本点有3种，故概率为々事］

O

5.有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9,从中任取三根，能搭成三角形

的概率是()

3213

A—R—r—n—

205510

D［设取出的三根木棒能搭成三角形为事件A,试验的样本空间。=

{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),

(3,7,9),(5,7,9)},样本空间的总数为10,由于三角形两边之和大于第三边,

构成三角形的样本点只有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)三种情况，故所求概率为

产(力)=记］

二、填空题

6.从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的

2件中恰有1件是次品的概率为.

1［设3件正品为4B,C1件次品为〃，从中不放回地任取2件，

试验的样本空间。={孙AC,AD,BC,即，切，共6个.其中恰有1件

Q1

是次品的样本点有：AD,BD,CD,共3个，故

oz

7.在国庆阅兵中，某兵种力，B,C三个方阵按一定次序通过主席台，若先

后次序是随机排定的，则8先于4C通过的概率为.

1［用(4B,6)表示儿B,。通过主席台的次序，则试验的样本空间。=

{(AB,0,(A,C,助,(86),(B,C,J),(G4曲,(C,6,4)}，共

6个样本点，其中事件8先于小。通过的有(8C,0和(84。，共2个样

91

本点，故所求概率P=-^=~］

63

8.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是.

1［从5个数中任意取出两个不同的数，样本点的总数为10,若取出的两

□

数之和等于5,则有(1,4),(2,3),共有2种样本点，所以取出的两数之和等于

21

5的概率为行=三］

1U0

三、解答题

9.甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游

戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不

放回，各抽一张.

(1)设(九分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；

(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，贝IJ乙胜.你

认为此游戏是否公平？说明你的理由.

［解］(1)方片4用4,表示，试验的样本空间为{(2,3),(2,4),

(2,4'),(3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4‘，2),(4‘，

3),(41，4)},则样本点的总数为12.

(2)不公平.甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(4‘，2),

(4‘，3)5种，甲胜的概率为尸尸含6，乙胜的概率为己=何7，因为己5<?7?，所以

此游戏不公平.

10.某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层

随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.

(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；

(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分

析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率.

［解］(1)由分层随机抽详知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽

取的人数分别为3,2,1.

(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为4,4,4,2

名中级教师分别记为4,4,高级教师记为4,则从中抽取2名教师的样本空间

为0={(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),为,4),(4,4),

(4,4),(4，4)>(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),(4,4)>(4,4)},

即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件&的样本点为(4,

⑷，(4,4)，(4,4),共3种.

31

所以P(皮=—=-

155

［等级过关练］

1.（2019•全国卷III）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同

学相邻的概率是（）

1111

儿C--

B.3D.2

--

4

D［设两位男同学分别为4B,两位女同学分别为a6,则用“树形图”

表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.

8<^_yd-bJ

baA<b-Q\Z

A<-a<B-bB—VA—b

b—B/b-A，

b<B-aA-a

a——BJb<a—A7

-B—a

ACa~B

A-a

a—A

aVA—B^

B-AJ

由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果（画“J”的

121

情况）共有12种，故所求概率为五=5.故选D.］

2.（2019•全国卷U）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指

标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）

2n3c21

A.-B.-C.-D.-

uDDD

B［设5只兔子中测量过某项指标的3只为a”国,国，未测量过这项指标

的2只为力，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为（向，也,公，

（国，氏,仇），（句，氏,b）,（句，@3,"），（句，也，b），（t?i,b\fb）,（a，融，

A）,（&,a,&）,（a,b］,灰），（＜33,b\,㈤，共10种可能.其中恰有2只测

量过该指标的情况为（科，心，b\）,（句，&）,（国，&,b\）,（团，&，左），（及,

当,力），（的选,勿），共6种可能.

故恰有2只测量过该指标的概率为义=（故选B.］

1U0

3.在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的

概率为

2

7［如图，在正六边形四的的6个顶点中随机选择4个顶点，试验空间

□

共有15个样本点，其中构成的四边形是梯形的有ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,

ADEF,共6个样本点，故构成的四边形是梯形的概率

155

4.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3

个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为.

2

7［设袋中红球用a表示，2个白球分别用6,&表示，3个黑球分别用

□

⑶6表示，则试验的样本空间。={(&6)，(a,th),(a,。)，(a,G),(a,

Q)，(b、,bz)f(bi，C\),(AfQ)f("，a)>(力,Q),(b,G),(8,cj，(Q,

Q)，(G，G)，(Q，G)}，则样本空间的总数有15个.两球颜色为一白一黑的

样本空间有(b,Ci),(A,c2),(6,。3),(力，G),(&,a),(&,6),共6

个.，其概率为*=率］

100

5.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，

标号为1的小球1个，标号为2的小球〃个.已知从袋子中随机抽取1个小球,

取到标号是2的小球的概率是)

(1)求〃的值；

(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a,

第二次取出的小球标号为6.记事件/表示“a+6=2”，求事件力的概率.

［解］(1)由题意可知：7,解得〃=2.

1ILIII乙

(2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间0={(0,1),(0,2.),(0,2)，

(1,0),(1,20,(1,22),(2..0),(2J),⑵2?),⑵。,(2“),。21)},共

12个，事件力包含的样本点为：(0,2),((W，⑵,0),(22.0),共4个.・・・尸(冷

_±_i

=12=3，

《10.1.4概率的基本性质》同步练习

［合格基础练］

一、选择题

1.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出

红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是（）

A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7

C「・•摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，，摸出黑球的概率是1

-0.42-0.28=0.3,故选C.］

2.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙

两人下和棋的概率是（）

A.60%B.30%C.10%D,50%

D［“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜

或甲、乙下成和棋”，故P（甲不输）=/（甲胜）+尸（甲、乙和棋），，/（甲、乙和

棋）=P（甲不输）一夕（甲胜）=90%-40%=50%.］

3.从分别写有4B,C,D,£的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字

母按字母顺序恰好是相邻的概率为（）

A1c2c3n7

A，5B，5C,TOD，TO

B［试验的样本空间AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,D琰,

共有10个样本点，其中事件“这2张卡片上的字母按字母J顺序恰好是相邻的”

42

包含4个样本点，故所求的概率为正=《］

105

4.某射手的一次射击中，射中10环,9环,8环的概率分别为0.20,0.30,0.10.

则此射手在一次射击中不够8环的概率为（）

A.0.40B.0.30C.0.60D.0.90

A［不够8环的概率为1-0.20-0.30-0.10=0.40.］

5.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克

木，木克土，土克水，水克火，火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两

种，则抽取的两种物质不相克的概率为（）

32J3

A，WB,5C，2D,5

C［试验的样本空间金木，金水,金火，金土，木水，木火，木土,

水火，水土，火土},共10个样本点，事件“抽取的两种物质不相克”包含5

51

个样本点，故其概率为高=江］

1乙

二、填空题

6.甲、乙两人打乒乓球，两人打平的概率是乙获胜的概率是:，则乙

不输的概率是.

T［乙不输表示为和棋或获胜,故其概率为-鼻+5=*］

6326

7.盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若

从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为.

3

7［设3个红色球为4,4,4,2个黄色球为5,打，从5个球中，随机取

o

出2个球的事件有：44,44,45,4民，44,4%4B,4B，BA,共

10种.其中2个球的颜色不同的有力山，A瓜,4儿4%4B，4合共6种，所

以所求概率为义=*］

1U□

8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数

1,2,3,4,5,6）,骰子朝上的面的点数分别为%人则1寒2力=1的概率为.

5［易知试验样本点的总数为36,由log2xy=1,得2x=yt其中x,

x=L

ye{1,2,3,4,5,6},所以彳°或或共3个样本点,

5=2［尸45=6

31

所以占去=石・］

三、解答题

9.一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿

球.从中随机取出1球，求:

(1)取出1球是红球或黑球的概率；

(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.

［解］法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取

法，得红球或黑球共有5+4=9种不同取法，任取1球有12种取法.

Q3

工任取1球得红球或黑球的概率为

［乙A

(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有

R-1-4+21I

2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为

J二L乙=!J?L乙•

法二：(利用互斥事件求概率)记事件4=｛任取1球为红球｝,4=｛任取1

球为黑球｝,4=｛任取1球为白球｝,4=｛任取1球为绿球｝,

贝|J户(4)=得，尸(42)=得，尸(4)=得，尸(4)=春.

根据题意知，事件4,A,4,4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得

543

(1)取出1球为红球或黑球的概率为uA)+?U2)=-^+-^=2

(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为

54211

户(4U4UA)=尸(4)+尸区)+尸(4)=7？+7^+7?=再.

法三：(利用对立事件求概率)

(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，

即4U4的对立事件为4U4,所以取得1球为红球或黑球的概率为

9193

P(4u4)=1一尸(4U4)=1一0(4)一户(4)=1一行一石=高=7

，乙11乙，乙A

(2)4u4U4的对立事件为4,所以尸(4u4U4)=1一2⑷=1--=^-.

10.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为制将球放回袋中，然后再从袋

中随机取一个球，该球的编号为力，求+2的概率.

［解］(D从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和

2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.从袋中取出的两个球的编号之和

21

不大于4的事件有：1和2,1和3,共2个，因此所求事件的概率为可.

0J

(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为勿，放回后，再从袋中随机取一个

球，记下编号为〃，试验的样本空间。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),

(4,4)},共16个样本点.

又满足条件〃2勿+2的样本点有：(1,3),(1,4),(2,4),共3个.

3

所以，满足条件〃2/什2的事件的概率为尸产左，

16

故满足条件〃V/〃+2的事件的概率为1一尸产1一竟=卷

［等级过关练］

1.掷一个骰子的试验，事件力表示“小于5的偶数点出现”，事件夕表示

“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件4+后发生的概率为()

1125

A,3B,2C，3D，6

2149

C［掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意尸(力)=7=^P⑦=S=.，

0O00

—21——

所以KB)=1—=\--=-因为B表示”出现5点或6点”的事件,

oJf

———112

因此事件力与B互斥，从而尸(4+B)=P(A)+P(B)=-+-=-1

JJJ

2.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3

O

次，则d是下列哪个事件的概率()

y

A.颜色全同B.颜色不全同

C.颜色全不同D.无红球

B［试验的样本空间0={黄黄黄，红红红，白白白，纥黄黄，黄红黄，黄

黄红，白黄黄，黄白黄，黄黄白，黄红红，红黄红，红红黄，白红红，红白红,

红红白，黄白白，白黄白，白白黄，红白白，白红白，白白红，黄红白，黄白红，

红黄白，红白黄，白红黄，白黄红}，其中包含27个样本点，事件“颜色全相同”

01OO

包含3个样本点，则其概率为赤=3=1—G，所以w是事件“颜色不全同”的概

率.]

3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1

、.4

名女生的概率为‘那么所选3人中都是男生的概率为

：[设力={3人中至少有1名女生},6={3人都为男生}，则力，8为对立

0

事件，

.,•尸(而=1一月(月)=[.]

4.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方

体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率为.

7[将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1),

b

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…，(6,6),共36种情

况.设事件4="出现向上的点数之和小于10”，其对立事件不="出现向上的

点数之和大于或等于10”,了包含的可能结果有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),

(6,5),(6,6),共6种情况.所以由古典概型的概率公式,得尸⑺44

15

所以心)=1飞=/

5.(2019•天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉

及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六

项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽

样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?

(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为力,

B,C,D,E,£享受情况如表，其中表示享受，“X”表示不享受.现从

这6人中随机抽取2人接受采访.

ABD

子女教育OOXOXO

继续教育XXOXOO

大病医疗XXXOXX

住房贷款利息OOXXOO

住房租金XXOXXX

赡养老人OOXXXO

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设"为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件

朗发生的概率.

［解］（D由己知，老、中、青员工人数之比为6：9：10,由于采用分层抽

样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别