2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题（北京专用范围：空间向量与立体几何 直线与圆 椭圆）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。5．难度系数：0.75。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.故选:D.2．若方程表示圆，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得故，解得，故选：A3．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，且空间向量满足，∴可设，又，∴，得．∴，故A正确.故选：A.4．已知直线，若，则（

）A．或 B． C．或 D．【答案】B【详解】因为，，所以，所以，解得或，当时，，，直线重合，不满足要求，当时，，，直线平行，满足要求，故选：B.5．直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．或【答案】D【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，当直线与曲线相切时，则圆心到直线的距离为，可得（正根舍去），当直线过时，，如图，直线与曲线恰有1个交点，则或.故选：D.6．若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】圆，即，所以圆心为，半径为，圆，即，所以圆心为，半径为，所以两圆圆心距为，所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为，又圆的圆心到的距离为，所以公共弦的长为.故选：B7．一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故，且，故，所以椭圆的标准方程为.故选：B8．在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，所以设平面的法向量为，则，令，则，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A.9．已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为，由题知，圆的圆心为2,3，半径为，圆的圆心为，半径为，则，由图可知，当且仅当共线时取等号，因为，所以的最小值为.故选：B

10．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】连接，由题意知：；令，则，，四点共面，（当且仅当时取等号），；设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，又，，，即的最小值为.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．方程表示的图形是.【答案】直线或单位圆【详解】由方程即可求解.由方程可得：或，所以方程表示的曲线是直线或单位圆，故答案为：直线或单位圆.12．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则椭圆离心率为，的周长为.【答案】；【详解】由已知可得，的周长为.故答案为：；.13．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，，动点在线段MN上运动，若，则.

【答案】【解析】如图，取的中点，连接AE交于点．

因为M，N分别是的中点，所以．因为平面，所以平面．因为平面EMN，所以平面平面，点在平面EMN内，所以由等和面定理可知，．故答案为：.14．已知点，点在圆上，则的取值范围是；若与圆相切，则.【答案】【详解】圆标准化为，圆心，半径，，则，所以的取值范围是，当与圆相切时，可知.故答案为：；15．已知曲线，给出下列四个命题：①曲线关于轴、轴和原点对称；②当时，曲线共有四个交点；③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是；④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．其中所有真命题的序号是．【答案】①②③【详解】①设点在上，对于点，代入方程，也在上；对于点，代入方程，也在上；对于点，代入方程，也在上；所以曲线关于x轴、y轴和原点对称，正确；②联立可得，即或，当时，都有，即存在交点；当时，都有，即存在交点；综上，共有四个交点，正确；③当时，则，故，可得，曲线上任意一点到原点距离，当时，结合对称性知：曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3，正确.④当时，对于曲线是圆心为原点，半径为的圆，设曲线围成的区域为，曲线围成的区域为，设，则，故，故，故，故Px,y在的内部，故的面积不大于的面积，故④错误.故答案为：①②③三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。16．（13分）求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点且与圆相切的直线方程；(2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程.【详解】（1）据点可设直线方程为.圆的方程可化为，故点到所求直线的距离为，从而.（4分）所以，得.这就说明或，所以所求直线的方程为或.（7分）（2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，故该圆的半径为，所以该圆的方程是，即.（11分）而该圆被直线截得的弦长为，故该圆圆心到直线的距离为.所以，解得.故所求的圆的方程为或.（13分）17．（14分）已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点．(1)求圆的标准方程；(2)当时，求直线的方程．【详解】（1）设圆A的半径为r，由题意知，圆心到直线l的距离为，即，所以圆A的方程为；（5分）（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，点A到直线的距离为1，此时，符合题意；当直线与x轴不垂直时，设，即，取的中点Q，连接，则，（9分）因为，所以，（10分）又点A到直线的距离为，（12分）所以，解得，所以直线方程为．综上，直线的方程为或．（14分）18．（13分）如图，在三棱柱中，平面，，，.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求点到平面的距离.【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，A0,0,0,,,,,,（5分）设平面的法向量为得，取，（9分）设直线与平面所成角为，所以.（11分）（2）因为,，设点到平面的距离为，所以.（13分）19．（15分）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点.(1)求椭圆的离心率；(2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围.【详解】（1）由题意得，且，即，解得，所以椭圆的离心率.（5分）（2）由题意，得.设，则.（8分）所以，（12分）因为，所以当时，；当时，.所以的取值范围为.（15分）20．（15分）如图，三棱柱中，平面平面，，过的平面交于点E，交BC于点F.

(1)求证：平面；(2)求证：四边形为平行四边形；(3)若，求二面角的大小.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面ABC，所以平面，所以，因为三棱柱中，，所以四边形为菱形，所以,平面，平面,，所以平面；（4分）（2）因为平面，平面，所以平面，因为平面平面，平面，所以，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以四边形为平行四边形；（8分）（3）在平面内，过A作.因为平面，如图建立空间直角坐标系，

由题意得，，.因为，所以，所以.（10分）由（1）得平面的法向量为.设平面的法向量为n=x,y,z则，即，令，则，所以，（14分）所以，由图知二面角的平面角是锐角，所以二面角的大小为45°.（15分）21．（15分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题：(1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由；(2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程；(3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由．【详解】（1）若时，沿向量的方向击打母球A，则，而，所以，即两向量同向共线，所以沿向量的方向击打母球A，能使目标球B向球的球心方向运动；（3分）（2）若，过点B4,0