2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题（沪教版2020测试范围：必修第三册第十章-十一章）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。5．难度系数：0.72。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是，则该球的体积为.【答案】【解析】设球的半径为r，则表面积，解得，所以体积，故答案为：3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，

若角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且方向相同，则∠A与∠B相等此时；②当角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A与∠B互补，此时.故答案为70或110.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线与底面所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】如图,因为平面,平面,所以,所以为直线与底面所成的角，所以,所以，故答案为：.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则；③若直线与平面内的任意一条直线垂直，则；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面时，有无数个平面垂直于平面，故①错误；②若三点在平面同侧，则；若三点在平面两侧，则与相交，故②错误；③直线与平面内的任意一条直线垂直，则垂直于平面内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值为.【答案】【解析】如下图：连接AC交BD于O点，连接OE，则OEPA，所以就是异面直线BE与PA所成的角，连接，因为面ABCD，所以，又因为，，所以面，所以，所以直在角三角形EOB中，设，则，.故答案为：.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是.【答案】【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是，则，解得：可知圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：，，所以在圆锥侧面展开图中：故答案为：8．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且，，所以，而上下底面周长分别为、，故该圆台的侧面积为.故答案为：9．如图，已知三棱柱的体积为3，P，Q，R分别为侧棱，，上的点，且，则.【答案】1【解析】在三棱柱中，易知侧面为平行四边形，设其面积为，上的高为，在平行四边形中，易知四边形为梯形或平行四边形，设其面积为，且其高为，则，在三棱柱中，易知平面，点到平面的距离与点到平面的距离，设该距离为，连接，作图如下：则，设三棱柱的体积，由图可知，，即，故答案为：.10．已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．【答案】3【解析】如图，设二面角为，点，且，过点A作平面，垂足为，连接，∵平面，，∴，又∵，平面ABC，∴平面ABC，平面ABC，则，故二面角的平面角为，在Rt△ABC中，，故点A到平面的距离为3.故答案为：3.11．正方形中，，分别为线段，的中点，连接，，，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球半径与内切球半径的比值为．

【答案】【解析】在正方形中，，折起后两两互相垂直，故该三棱锥的外接球，即以为棱的长方体外接球，不妨设正方形边长为2，则，故，则，因为，而该三棱锥的表面积与正方形的面积相同，即，则，即，故，所以.故答案为：.12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（

）．A．、都垂直于一个平面γB．平面内有无数条直线与平面平行C．l、m是内两条直线，且∥，∥D．l、m是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥【答案】D【解析】对于A，如在正方体中，平面和平面都与平面ABCD垂直，但这两个平面不平行，所以A错误，对于B，如在正方体中，平面和平面，平面中所有平行于交线的直线都与平面平行，但这两个平面不平行，所以B错误，对于C，如在正方体中，平面和平面，分别为的中点，则在平面内，且都与平面平行，但这两个平面不平行，所以C错误.对于D，因为l、m是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面时，一定在内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（

）

A． B．864 C．576 D．【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为，故

故选：16．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（

）A．的最小值为的最小值为B．的最小值为的最大值为C．的最小值大于的最小值大于D．的最大值小于的最大值小于【答案】A【解析】如图，取的中点，连接；设正方体的棱长为，因为，且平面，平面，平面；同理平面，且；∴平面平面，∴;∵面，所以与平面所成的角为；又，所以与所成的角为（或其补角）；；当为中点时，此时最小，则最大，最大值为，此时的最大值为；当与或重合时，此时最大，则最小，最小值为2，此时的最小值为；，；对于，当为中点时，；当与或重合时，最小，又，，，，，故A正确，BC错误，又，，所以D选项错误.故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体中，，，点为的中点.(1)求证：直线平面PAC；(2)求异面直线与AP所成角的大小.【解析】（1）设和交于点，则为的中点，连接，（1分)∵是的中点，∴，(3分)又∵平面，平面，∴直线平面；(6分)（2）由(1)知，，∴即为异面直线与所成的角，(8分)∵，，且，∴．又，∴故异面直线与所成角的大小为．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足．(1)求证：；(2)若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，平面，因为平面，所以，又因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以，因为且平面，所以平面，(2分)又因为平面，所以，因为，且，且平面，所以平面，又因为平面，所以．(6分)（2）解：过点作，是垂足，连接，根据圆柱性质，平面平面，且平面平面,且平面，所以平面，因为平面，所以是在平面上的射影，从而是与平面所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为，则，所以圆柱的体积为，且，由，可得，可知是圆柱底面的圆心，且，且，在直角中，可得，所以．(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.

(1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点；(2)求点C到平面BED的距离.【解析】（1）取的中点，连接、，如图，

依题意，在中，，则，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，且，因为平面，且，则有，且，从而得四边形为平行四边形，，(4分)又平面，平面，则平面，所以直线EC与平面ABD没有公共点；(6分)（2）因为平面，平面，所以，因为，，平面所以平面因为，于是得平面，因为平面，平面，所以，(8分)因为，所以，则等腰底边上的高，，而，设点C到平面BED的距离为d，由得，即，解得，所以点C到平面BED的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面是边长为2的等边三角形，PB=PD=，AP=4AF（1）求证：PO⊥底面ABCD（2）求直线与OF所成角的大小.（3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面是菱形，且，所以O为AC，BD中点，在中，PB=PD，可得PO⊥BD，因为在中，PA=PC，O为AC，BD中点，所以PO⊥AC，(3分)又因为ACBD=O，所以PO⊥底面ABCD.(4分)（2）连接OF，取AP中点为E，连接OE，因为底面ABCD是菱形，ACBD=O，由O为AC中点，且E为AP中点，AP=4AF，所以F为AE中点，所以CPOE.，故∠EOF为直线与OF所成的角，(8分)又由为等边三角形，且E为中点，所以∠EOF=.(10分)（3）存在，，连接CE，ME，因为AP=4AF，E为AP中点，所以，又因为，所以在中，，即EMBF，(12分)因为EM平面BDF，BF平面BDF，所以EM平面BDF，由（2）知ECOF，因为EC平面BDF，OF平面BDF，所以EC平面BDF，因为ECEM=E，所以平面EMC平面BDF，因为CM平面EMC，所以CM平面BDF.(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．

(1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围．【解析】（1）在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面，则有平面平面，，即A，G，P三点共线．(2分)因为E为的中点，F为的中点，所以，所以，又因为，所以，所以，即点G为棱上靠近点的三等分点．(4分)（2）在平面内延长，相交于点Q，连接，则平面平面，在平面内作于点M，则平面ABC，又平面，所以，