2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题（江苏专用苏教版2019选择性必修第一册第1-3章）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（江苏专用）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第3章。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（

）A．-2 B．1 C．3 D．4【答案】B【解析】经过两点的直线的斜率为，又直线的倾斜角为，所以，解得.故选：B.2．求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，即，解得，可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为．故选：D．3．已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】椭圆焦点为，双曲线焦点为，且，将代入双曲线，得，又，解得，，故双曲线的方程为，故选：D.4．设，方程所表示的曲线是（

）A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C【解析】若，则，曲线,即，，表示焦点在轴上的椭圆．故选：5．设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点，过焦点作垂直于于点，由题意可知，根据抛物线的定义在中，，又，所以，解得.故选：C.6．已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：设，可得，，两式相减可得，点是弦的中点，且直线：，可得，，，即有，即，双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点.故选：B．7．已知函数，且点满足，，若记点P构成的图形为，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】将函数表达式代入条件可得，即.所以区域即为圆的内部位于轴上方的部分，即该圆的去掉一个底为，高为的三角形，故所求面积为.故选：A.8．已知椭圆的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点．则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由对称性和椭圆定义可知，其中，故，不妨设，，，则，故当时，取得最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，故，故当时，取得最小值，最小值为51，当时，取得最大值，最大值为，故的取值范围是.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线，下列说法正确的是（

）A．直线过定点B．当时，关于轴的对称直线为C．直线一定经过第四象限D．点到直线的最大距离为【答案】BD【解析】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误；对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确；对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误；对于D，如图所示：设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确；故选：BD10．已知抛物线的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF，NF，NB，NA，则下列说法正确的是（）A． B．C．Q是线段的一个三等分点 D．【答案】ABD【解析】如图，由抛物线的定义，

对于A，得，，又，则，A正确；对于B，由，，得，所以.而，所以，所以，可知，所以，B正确；对于D，在中，，可知，所以，D正确；对于C，由，可知，所以，即Q是的中点，C不正确.故选：ABD.11．直线y=kx与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（

）A．若，则B．若，则的面积为4C．D．的最小值为4【答案】AD【解析】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形，由双曲线可知：，对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确；对于B，据双曲线定义可知：，若，则四边形为矩形，则，所以，即所以，所以，所以，故B不正确；对于C，由双曲线的方程可知，在中，，又因为双曲线渐近线方程为：，所以，所以，即，故C错误；对于D，当且仅当时，取到最小值为4，故D正确．故选：AD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若与平行，则两直线之间的距离为.【答案】【解析】∵直线与平行，∴，解得，∴直线，直线，∴直线与之间的距离，故答案为：.13．已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】由题意可知：圆的圆心，半径，则，其中为坐标原点，可得，则，所以M的轨迹是以O为圆心，r=3的圆，由题意可知：圆与圆有公共点，则，即，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.14．已知抛物线的焦点为，圆，圆心是抛物线上一点，直线，圆与线段相交于点，与直线交于，两点，且，若，则抛物线方程为.【答案】【解析】

如图，过点作于点，则,由图知①，由可得，②，又点在抛物线上，可得，，即③，把①式代入②式，，解得，，回代入①可得，，代入③式整理得，，解得，或（舍去），故抛物线方程为：.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知直线：，：，其中为实数.(1)当时，求直线，之间的距离；(2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.【解析】（1）由得，解得， 2分此时直线：，：，不重合， 4分则直线，之间的距离为； 6分（2）当时，：，联立，解得， 9分又直线斜率为， 10分故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 12分即. 13分16．（15分）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上.(1)求圆C的方程；(2)过点作圆C的切线，求切线方程.【解析】（1）根据题意，因为圆过两点，，设的中点为，则，因为，所以的中垂线方程为，即又因为圆心在直线上，联立，解得， 3分所以圆心，半径，故圆的方程为； 5分（2）圆的圆心为，半径， 6分当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切； 8分当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为，即（*）， 9分由圆心C到切线的距离，即，可得， 12分将代入（*），得切线方程为，即， 14分综上，所求切线方程为或. 15分17．（15分）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与．(1)写出图中“果圆”的方程；(2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）．【解析】（1）因为椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与.可得，即，所以半个椭圆的方程为； 2分圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与，设圆弧方程为， 4分利用，解得，所以，得. 6分所以果圆方程为，. 7分（2）由，解得，得， 10分由，解得，得， 13分所以. 15分18．（17分）已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1.(1)求的方程；(2)过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意可设，则 1分所以则的最小值为，则，得. 4分所以的方程为. 6分（2）因为A，C不重合，所以直线，，的斜率必然存在.设，，.直线的斜率，得. 9分直线的斜率.得.由，可得. 12分直线的斜率.所以直线的方程. 15分故直线过定点. 17分19．（17分）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．(1)求双曲线的方程．(2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由．(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．【解析】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，