2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题（苏教版2019选择性必修第一册第1-3章）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（苏教版2019）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第3章。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设直线的的倾斜角为，且，直线的斜率，所以，故选：A2．方程所表示的圆的最大面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意整理可得：，则，解得，且圆的半径，当且仅当时，等号成立，即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为.故选：B.3．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】记为点，直线的斜率，直线的斜率，因为直线l过点，且与线段相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．故选：B．4．方程表示椭圆的充要条件是（

）A． B．C． D．或【答案】D【解析】若表示椭圆，则有，解得或.故选：D.5．直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．或【答案】D【解析】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，当直线与曲线相切时，则圆心到直线的距离为，可得（正根舍去），当直线过时，，如图，直线与曲线恰有1个交点，则或.故选：D.6．设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点，过焦点作垂直于于点，由题意可知，根据抛物线的定义在中，，又，所以，解得.故选：C.7．设双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点M，N.若以MN为直径的圆经过点且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若以MN为直径的圆经过右焦点F2，则，又|MF2|＝|NF2|，可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有，取H为MN的中点，在直角三角形HF1F2中可得，化为，即e．故选C．8．若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】可化为，故圆N的圆心为，半径为，由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，所以且，故，当的坐标为时，，在△NAB中，，又，在上单调递减，故为锐角，且当时，最大，又在上单调递增，所以当最大时，取得最大值，且最大值为，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的取值可能是A． B．13 C．15 D．18【答案】BC【解析】圆化为，则圆心，半径为，若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则圆心到直线的距离，如图，则故选：BC.10．已知直线，其中，则下列选项正确的是（

）A．直线过定点B．当时，直线与两坐标轴的截距相等C．直线与垂直时，D．若直线与直线平行，则两条平行直线之间的距离为【答案】AD【解析】当时，，所以直线过定点，故A正确；当时，，直线在轴上的截距为,在轴上的截距为2，故B错误；当直线与垂直时，，解得或，故C错误；若直线与直线平行时，，解得或,当或,时，直线到直线的距离为，故D正确.故选：AD.11．已知曲线的方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（

）A．曲线的焦点坐标为B．曲线过点C．若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为D．若曲线在的上方，则【答案】BCD【解析】对于A中，由曲线，抛物线的焦点坐标为，所以A错误；对于B中，圆的标准方程为：，点代入圆的方程得，所以圆过点，所以B正确；对于C中，设被所截得的线段为，中点为，联立方程组，整理得，可得，则，故，所以，代入，可得，解得，所以C正确；对于D中如图所示，曲线在的上方时，抛物线和圆无交点，联立方程组，整理得，由，解得，所以D正确.故选：BCD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为焦点在轴上，一条渐近线方程为，所以，所以，所以.故答案为：.13．设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为．【答案】【解析】，圆心，半径．设切点为，由题意可知，点到圆的切线长最小时，，圆心到直线的距离，切线长的最小值为：．故答案为：．14．如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为

【答案】【解析】连接，如图所示设则，由椭圆的定义得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直线的斜率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在平面直角坐标系中，设直线：．(1)求证：直线经过第一象限；(2)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程．【解析】（1）方程可化为，由解得所以直线过定点，因为在第一象限，所以直线经过第一象限．（6分）（2）由题意可得，当时，原点到直线的距离最大，因为，则，所以直线的方程为，即．（13分）16．（15分）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程.【解析】（1）抛物线的焦点为，由题意得，解得，，所以椭圆的方程为.（6分）（2）直线的斜率存在，设斜率为，直线的方程为，即，联立，消去得：，设，因为，即，所以，解得，此时满足题意所以所求直线的方程为.（15分）17．（15分）已知半径为的圆C的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．(1)求圆的标准方程；(2)若是圆C上任意一点，求的取值范围；(3)已知，为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）依题可设圆心坐标为，则圆的方程为，因为直线与圆相切，所以点到直线的距离，因为，所以，故圆的标准方程为.（4分）（2）若是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，所以的最大值为，的最小值为，所以的取值范围为：.（10分）（3）假设存在定点，设，，则，则，当，即，（舍去）时，为定值，

且定值为，故存在定点，且的坐标为.（15分）18．（17分）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.(1)直线与圆相切于点Q，求的值；(2)求曲线C的方程；(3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.【解析】（1）由直线与圆的位置关系可知，，所以点.（4分）（2）由题意可知，设动圆半径为，，，，即，所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则，所以曲线的方程为，；（8分）（3）当直线的斜率不存在时，，，直线，当，得，即，直线，此时直线过点，当直线的斜率存在时，设直线，，，直线，当时，，，联立，得，，，，（12分）下面证明直线经过点，即证，，把，代入整理得，即，所以直线经过点，综上可知，直线经过定点，定点坐标为.（17分）19．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，是椭圆上的一点，直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m.(1)求椭圆的标准方程；(2)设，直线l与椭圆交于不同的两点A，B，O为坐标原点，求面积的最大值；(3)设是直线l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义.用a、b、k、m表示，并利用与的大小关系，提出一个关于l与位置关系的真命题，给出命题的证明.【解析】（1）因为是上的一点，所以，化简可得，又因为长轴长，所以，，所以的方程为；（4分）（2）由题意可知，直线的方程为，设

则，，得，所以，所以，又到的距离，所以的面积为，当且仅当时，的面积取最大值，最大值为；（9分）（3）因为直线的斜率为，在轴上的截距为，所以直