2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题01（新高考地区专用空间向量与立体几何 直线与圆 圆锥曲线）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得：，设其倾斜角为，，所以斜率，故倾斜角为，故选：C2．设，向量，，，且，，则等于（

）A． B． C．3 D．4【答案】C【详解】，，，，，，，．，．故选：C.3．直线与圆交于两点，则的面积为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【详解】如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为，过点作于，由到直线的距离为,则,故的面积为.故选：B.4．设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由椭圆，可得，所以，所以椭圆的离心率，又，所以双曲线的离心率为，又双曲线，所以，所以，解得.故选：B.5．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设，则，解得或（舍去），则．故选：B．6．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，所以，故，设直线与平面所成角为，则，所以.故选：D7．设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【详解】由双曲线C：,可得，∴.∵,∴.假设在双曲线右支上，则两边平方得，∴，又∵的面积为3，∴，即a=2.故选：A.8．已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为椭圆的离心率，可得，所以，即，可得，则点，右焦点，所以，由题意可得直线的斜率，所以，即，由题意设直线的方程为，直线的方程为，设直线与直线的交点为，联立，可得，，则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线，即，，的周长为，可得，所以，，所以椭圆的方程为：.故选：C．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．以下命题正确的是（

）A．平面，的法向量分别为，，则B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则【答案】BD【详解】对于A，向量与不共线，平面与不平行，A错误；对于B，由，，得，与垂直，B正确；对于C，，，则或，C错误；对于D，，由是平面的法向量，得，解得，D正确.故选：BD10．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为5B．的最大值为C．直线与圆相切时，D．圆心到直线的距离最大值为4【答案】BC【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.，Px0所以的最大值为，A选项错误.如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，此时，且，B选项正确.直线，即，过定点，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，即，解得，所以C选项正确.圆心到直线的距离，当时，，当时，，所以D选项错误.故选：BC11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（

）A．点在曲线上B．点在上，则C．点在椭圆上，若，则D．过作轴的垂线交于两点，则【答案】ACD【详解】对选项A，因为，由定义知，故A正确；对选项B，点在上，则，化简得，所以，，B错误；对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，则，又，所以，故，所以，C正确；对选项D，设，则，因为，则，又，所以，化简得，故，所以，故1，所以，故D正确，故选：ACD第二部分（非选择题共92分）填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则．【答案】【详解】双曲线的渐近线方程为，又为双曲线的一条渐近线，所以，设双曲线的半焦距为，因为为其一个焦点，所以，又，所以，所以.故答案为：.13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是．【答案】/【详解】由题知，又平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，故答案为：.14．已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为，直线的方程为.【答案】1,0【详解】的标准方程为，其圆心为，半径为2.如图，

由题意可知，则，所以当最小时，最小，此时与直线垂直，所以直线的方程为，即.联立，解得，所以点的坐标为1,0，.在Rt中，，同理.以为圆心，为半径作圆，如图，则线段为与的公共弦，

的方程为，即，两圆方程相减得，即直线的方程为.故答案为：1,0；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率，则线段的垂直平分线所在直线的方程为，.............................................................3分联立方程，解得，.....................................................................................5分即圆心，，所以，圆的方程为..............................................................................................7分（2）因为直线被曲线截得弦长为，则圆心到直线的距离，...............................................................................................10分由点到直线的距离公式可得，解得...........................................................13分16．（15分）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为(1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程.(2)斜率为1且纵截距为−2的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为.所以，解得，从而，即，...................................3分所以右焦点为2,0，从而，解得，抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，..........................6分（2）

由题意直线，它过抛物线的焦点2,0，联立抛物线方程得，化简并整理得，显然，，所以，.................................................................................10分点到直线的距离为，.....................................................................12分所以，即的面积为.............................................15分17．（15分）在四棱锥中，，，平面平面，，且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：过作于，因为，所以与相交，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，...........................................................................................................2分因为平面，所以，因为，与相交，平面，所以平面；.......................................................................................................4分（2）取的中点，连接，因为，，所以，因为，所以为等边三角形，，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以，所以两两垂直，.....................................................................................................6分所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，所以，...............................................................................8分因为，，，平面所以平面，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则.......................................................................................................11分（3）因为，所以，设平面的法向量为，则，令，则，...........................................13分设平面的法向量为，则，令，则，.................................................15分所以，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为...............................................................................17分18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．(1)求的方程；(2)若的面积为，求的方程；(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，的周长为，所以，所以，故的方程为．..........................................................................................4分（2）易知的斜率不为0，设，联立，得，所以．........................................................................6分所以，由，解得，所以的方程为或．.................................................................10分（3）由（2）可知，...................12分因为的斜率是的斜率的2倍，所以，得．.....................................................................................................14分所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．.............................................................................................17分

19．（17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．(1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(2)若点，，求的最大值；(3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．【详解】（1），.............................1分，；.........................................................4分（2）设，由题意得：，即，而表示的图形是正方形，其中、、、．................................................................6分即点在正方形的边上运动，，，可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值．因此，点有如下两