第02讲 反比例的实际应用（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）-A4

第页第02讲反比例的实际应用能灵活利用反比例函数的知识分析、解决实际问题利用反比例函数求出问题中的值渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力知识点1行程与工程应用知识点2物理学中的应用知识点3经济学的应用知识点4生活中其他的应用知识点5反比例函数的综合【题型1行程与工程应用】【典例1】（2023•西乡塘区二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．​（1）设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运选任务所需的时间为x（单位：天）．①请直接写出y与x的函数关系式；②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？（2）由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米．【变式1-1】（2022秋•顺平县期末）一辆汽车行驶在从甲地到乙地的高速公路上，行驶全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．（1）请写出这个反比例函数的解析式．（2）甲乙两地间的距离是km．（3）根据高速公路管理规定，车速最高不能超过120km/h，若汽车行驶全程不进入服务区休息，且要求在4.5h以内从甲地到达乙地，求汽车行驶速度应控制在什么范围之内．【变式1-2】（2023•松原模拟）在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数y（单位：天）与每天完成的工程量x（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．（1）请根据题意，求y关于x的函数解析式；（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？【变式1-3】（2022•滨江区一模）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．（1）设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．①求y关于t的函数表达式．②当0＜t≤80时，求y的取值范围．（2）若1辆卡车每天可运送土石方102立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？【题型2物理学中的应用】【典例2】（2023春•宛城区期中）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．（1）P关于S的函数关系式为．（2）求当S＝0.25m2时，物体所受的压强是Pa．（3）当1000＜P＜4000时，求受力面积S的变化范围．【变式2-1】（2023•南海区校级模拟）小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为3V且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻Rx，依据五次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与Rx成反比例函数关系．以下说法不正确的是（）A．本实验中电压表的读数为2.5V B．当定值电阻Rx＝10Ω时，电流表的示数为0.25A C．当电流表的示数为0.1A时，定值电阻Rx＝20Ω D．电流I与电阻Rx之间的函数关系式为【变式2-2】（2023•平城区模拟）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（）A．6克 B．4克 C．3.5克 D．3克【变式2-3】（2023•大连模拟）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当I＝1A时，R＝3Ω．（1）求电流I关于电阻R的函数关系式；（2）若1.5A≤I≤7.5A，求电阻R的变化范围．【题型3经济学的应用】【典例3】（2023•前郭县二模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件．（1）写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式；（2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？【变式3-1】（2022秋•顺德区期末）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表：组装的时间x（天）304560每天组装的数量y（台/天）300200150（1）求y关于x的关系式；（2）某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？【变式3-2】（2022春•邗江区期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？（说明：天数可以为小数，如3.14天等）【变式3-3】（2022•抚顺模拟）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：（1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？【题型4生活中其他的应用】【典例4】（2023春•原阳县期中）根据传染病防控制度的要求，学校必须对教室定期用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧完毕后，y（毫克）与时间x（分钟）成反比例，如图所示．请根据图中所提供的信息，解答下列问题：（1）求当药物燃烧时，y关于x的函数关系式；求药物燃烧后，y关于x的函数关系式．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进入教室，则从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？【变式4-1】（2022秋•渭南期末）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：（1）求一次函数和反比例函数表达式；（2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？【变式4-2】（2022•冷水滩区校级开学）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）与和通电时间x（min）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程，设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）的关系如图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8≤x≤a时，y与x之间的函数表达式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他要在什么时间段内接水？【变式4-3】（2023春•靖江市期末）实验数据显示，一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完0.25kg低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．【题型5反比例函数综合】【典例5】（2023春•井研县期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OB，在x轴上取点C，使BC＝BO，求△OBC的面积；（3）P是y轴上一点，且△OBP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有P点坐标．​【变式5-1】（2023春•民乐县校级月考）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．（1）求k的值；（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标及菱形的面积．【变式5-2】（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．（1）求反比例函数的表达式；（2）当时，直接写出x的取值范围；（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-3】（2023春•通许县校级月考）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B坐标为（3，6），反比例函数的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，顺次连接O，D，E．（1）求m的值及点E的坐标；（2）点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；（3）平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O，D，E，N四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由．1．（2023•大连）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝5时，I＝8，则当R＝10时，I的值是（）A．4 B．5 C．10 D．02．（2023•荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．3．（2023•随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（）A．3A B．4A C．6A D．8A4．（2023•丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（）A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m25．（2023•常州）若矩形的面积是10，相邻两边的长分别为x、y，则y与x的函数表达式为．6．（2023•广东）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为．当R＝12Ω时，I的值为A．7．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了mL．8．（2023•南充）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省N的力．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）9．（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．10．（2023•镇江）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B（1，m）两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．（1）m＝，k＝，点C的坐标为；（2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．11．（2023•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．（1）求反比例函数的解析式．（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．12．（2023•台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．（1）求h关于ρ的函数解析式；（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．13．（2023•宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V＝πr3，π取3）；（2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．1．（2022秋•新化县期末）某长方体的体积为100cm3，长方体的高h（单位：cm）与底面积S的函数关系式为（）A．h＝ B．h＝ C．h＝100S D．h＝1002．（2022秋•历下区期末）随着私家车的增加，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上车辆的行驶速度y（千米/时）与路上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥8时，y与x成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（）A．x＜32 B．x≤32 C．x＞32 D．x≥323．（2023春•浦东新区校级期末）菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y与x的图象大致为（）A． B． C． D．4．（台州）已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为I＝，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（）A． B． C． D．5．（2022秋•昌乐县期末）某变阻器两端的电压为220伏，则通过变阻器的电流I（A）与它的电阻R（Ω）之间的函数关系的图象大致为（）A．B． C．D．6．（台州）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数关系式ρ＝（k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（）A．9 B．﹣9 C．4 D．﹣47．（2023•保定一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积v（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积v是反比例函数关系，它的图象如图所示．则正确的是（）A．函数解析式为 B．容器内气体的质量是5v C．当ρ≤8kg/m3时，v≥1.25m3 D．当ρ＝4kg/m3时，v＝3m38．（2023•恩施市模拟）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于9．（2023春•荣县校级月考）古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（）A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝10．（2023•南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为N．11．（2023春•市南区校级月考）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为小时12．（阳谷县校级模拟）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范围为；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，员工才能回到办公室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？13．（富顺县一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？14．（2023秋•肇源县月考）如图正比例函数y＝k1x与反比例函数交于点A，从A向x轴、y轴分别作垂线，所构成的正方形的面积为4．①分别求出正比例函数与反比例函数的解析式；②求出正、反比例函数图象的另外一个交点坐标；③求△ODC的面积．15．（云南）将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S＝（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后