第01讲 锐角三角函数和特殊角的三角函数（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-A4

第页第01讲锐角三角函数和特殊角的三角函数理解锐角正弦、余弦和正切概念的意义，并会求锐角的正弦值、余弦值和正切值；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；

3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.知识点1锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．

注意：正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0知识点2锐角三角函数的增减性（1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大；（2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小；（3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大.知识点2特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°注意：

(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．

(2)仔细研究表中数值的规律会发现：

、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：

①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；

②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．

知识点3锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余关系：，；

(2)平方关系：；

(3)倒数关系：或；

(4)商数关系：．

注意：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【题型1锐角三角函数的概念】【典例1】（2022秋•西岗区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tanA＝＝，故选：D．【变式1-1】（2022秋•金山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，∴AC＝＝＝2，∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝＝，cotA＝＝2．故选：A．【变式1-2】（2022秋•晋江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AC＝（）A．10 B．8 C．5 D．4【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，∴sinA＝＝＝，∴AB＝10，∴AC＝＝＝8．故选：B．【变式1-3】（2022秋•贵池区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函数正确的是（）A．sinB＝ B．cosA＝ C．tanB＝ D．cosB＝【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，由勾股定理得，AC＝＝＝5，所以sinB＝＝，cosA＝＝，tanB＝＝，cosB＝＝，故选：C．【题型2锐角三角函数的增减性】【典例2】（2022秋•兴隆县期中）如果∠α为锐角，且sinα＝0.6，那么α的取值范围是（）A．0°＜α≤30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α≤90°【答案】B【解答】解：∵sin30°＝＝0.5，sin45°＝≈0.707，sinα＝0.6，且sinα随α的增大而增大，∴30°＜α＜45°．故选：B．【变式2-1】（2021秋•周村区期末）已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°【答案】B【解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，∵＜＜，∴30°＜α＜45°，故选：B．【变式2-2】（2022•五通桥区模拟）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【答案】B【解答】解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．【变式2-3】（2022春•洪泽区校级月考）比较大小：sin80°＞sin50°（填“＞”或“＜”）．【答案】＞．【解答】解：由于“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”可知，∵80°＞50°，∴sin80°＞sin50°，故答案为：＞．【题型3特殊角三角函数值】【典例3】（2023•红桥区二模）tan30°的值等于（）A． B． C．1 D．【答案】A【解答】解：tan30°＝．故选：A．【变式3-1】（2022秋•云州区期末）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝60°，故选：C．【变式3-2】（2023秋•莘县校级月考）在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解答】解：在△ABC中，∵cosA＝，tanB＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，故△ABC为直角三角形．故选：B．【变式3-3】（2023•江都区模拟）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（）A．45° B．75° C．105° D．120°【答案】C【解答】解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，＝cosB，解得，∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，故选：C．【题型4同角三角函数的关系】【典例4】（2023秋•沙坪坝区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA的值为（）A． B． C． D．8【答案】A【解答】解：由题意，得cosA＝，sinA＝＝＝，tanA＝＝＝2．故选：A．【变式4-1】（2023•泉州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵sinA＝sinA＝，∴可设a＝3，c＝5，由勾股定理可求得b＝4，∴cosA＝＝，故选：B．【变式4-2】（2022秋•渌口区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinA的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如图，∵∠C＝90°，cosA＝，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝＝12k，所以，sinA＝＝＝．故选：D．【变式4-3】（2022秋•石景山区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，，则sinA的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，＝，设BC＝3a，则AC＝4a，∴AB＝＝5a，∴sinA＝＝，故选：C．【题型5互余两角三角函数的关系】【典例5】（2023秋•南岗区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanB等于（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴cosA＝，tanB＝，a2+b2＝c2，∵cosA＝，设b＝2x，则c＝3x，a＝x．∴tanB＝＝．故选：C．【变式5-1】（2022秋•磴口县校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，，∴．故选：C．【变式5-2】（2023春•普陀区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵sinA＝，∴cosB＝sinA＝，故选：A．【变式5-3】（2022秋•太康县期末）在三角形ABC中，∠C为直角，sinA＝，则tanB的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，则∠A+∠B＝90°，cosB＝sinA＝．sinB＝＝，tanB＝＝＝，故选：A．【变式5-4】（2022秋•池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：设Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，由于tanA＝＝2，可设a＝2k，b＝k，由勾股定理得，c＝＝5k，∴sinB＝＝，故选：A．【题型6三角函数的计算】【典例6】（2023秋•聊城月考）计算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．【答案】（1）；（2）2+．【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×＝﹣+＝；（2）原式＝﹣1+2×﹣++（）2＝﹣1++3＝2+．【变式6-1】（2022秋•浦东新区期末）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝4×﹣2××+＝2﹣1+2＝2+1．【变式6-2】（2022秋•济南期末）计算：sin30°﹣tan30°•tan60°+cos245°．【答案】0．【解答】解：原式＝﹣×+（）2＝﹣1+＝0．【变式6-3】（2023•虹口区一模）计算：cos245°﹣+cot230°．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（）2﹣+（）2＝﹣+3＝．1．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（）A． B． C．60 D．80【答案】D【解答】解：在直角三角ABC中，∵AC＝100，sinA＝，∴BC＝60，∴AB＝＝80，故选：D．2．（2021•天津）tan30°的值等于（）A． B． C．1 D．2【答案】A【解答】解：tan30°＝．故选：A．3．（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．4．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sinA＝．故答案为：．5．（2022•广东）sin30°＝．【答案】．【解答】解：sin30°＝．故答案为：．6．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．7．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．一．选择题（共8小题）1．已知，则∠A＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：由题意，得∠A＝60°，故选：C．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么cosA的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，∴∠A＝30°，∴，故选B．3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴sinA＝＝，故选：D．4．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解答】解：如图在Rt△ACD中，tanC＝，故选：B．5．已知△ABC中，sinA＝，tanB＝1，则△ABC的形状（）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定【答案】C【解答】解：由sinA＝，得∠A＝30°，tanB＝1，得∠B＝45°，∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故是钝角三角形，故选：C．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosB＝【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sinA＝sin∠BCD＝，故选：A．7．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（）A．70° B．60° C．50° D．30°【答案】A【解答】解：∵sin（α﹣10°）＝，∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．故选：A．8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，则sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝，故选：C．二．填空题（共2小题）9．c