2023-2024学年北京一六一中高一（上）期中数学试卷和答案

高中PAGE1高中2023北京一六一中高一（上）期中数学本试卷共2页，共150分.考试时长120分钟A卷本卷满分：100分一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.1.集合可化简为（）A. B. C. D.2.已知命题，则（）A.，且是真命题 B.，且是真命题C.，且是假命题 D.，且是假命题3.设，且，则（）A. B. C. D.4.已知集合，，.则的子集共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.已知正数、满足，则有（）A.最小值 B.最小值 C.最大值 D.最大值6.下列函数中，在函数定义域内，既是增函数又是奇函数的是（）A. B.C. D.7.函数的零点个数是（）A.0 B.1 C.2 D.38.已知，记，，则与的大小关系是（）A. B. C. D.不确定9.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共6道小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题纸中相应的横线上.11.方程组的解集为__________.12.函数的最大值为__________.13.已知函数，则__________.14.已知关于的方程的两个实数根的平方和为7,则__________15.某班共42人，其中20人喜爱篮球运动，25人喜爱乒乓球运动，12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________.16.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______.三、解答题，本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设全集，集合，，若，求实数的取值范围.18.欲修建一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，如果池底造价是120元平方米，池壁的造价是80元平方米（1）求水池的总造价y元与池底宽x米之间的函数关系式；（2）该水池池底宽多少米时，可使水池的总造价最低？最低造价是多少？19.函数（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；（2）用函数单调性的定义证明函数在内是增函数．B卷本卷满分：50分四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答纸中相应的横线上.20.不等式的解集为A，若，则实数的取值范围是__________.21.函数的值域是________________.22.已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则__________.23.写出一个同时满足下列条件①②③的函数__________．①为偶函数；②的最大值为；③不是二次函数．24.函数，给出下列四个结论①的值域是；②任意且，都有；③任意且，都有；④规定，其中，则．其中，所有正确结论的序号是______________．五、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25.若二次函数对任意实数都满足，最小值为，且.（1）求的解析式；（2）若在区间上，的图象恒在的上方，求实数的取值范围.26.已知函数．（1）的值；（2）记，画出函数的图象，写出其单调递减区间（无需证明）；（3）若实数满足，则称为的二阶不动点，求的二阶不动点的个数．27.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.（1）试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）（2）如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.

参考答案一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.1.【答案】C【分析】根据集合的概念直接求解.【详解】由，解得或，又因为，所以，所以集合可化简为.故选：C2.【答案】A【分析】根据含有一个量词的否定，求出，然后判断命题的真假即可.【详解】根据含有一个量词的否定，，则,因为当时，，所以是真命题，故选：A.3.【答案】C【分析】逐一判断，对A取，，可得结果；对B取，可得结果；对C利用不等式的性质判断即可；对D取可判断.【详解】解：A.取，，则不成立；B.取，，则不成立；C.∵，∴，正确；D.取，∵，∴，因此不成立.故选：C.4.【答案】D【分析】根据题意表示集合，然后写出其所有子集即可得到答案.【详解】因为集合，，所以，所以集合的子集为，共四个.故选：D5.【答案】C【分析】利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】∵正数、满足，∴，当且仅当时取等号，即有最大值，故选：C.【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题.6.【答案】B【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可.【详解】对于A，定义域为，关于原点对称，，所以为非奇非偶函数，故A错误；对于B，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，又因为在上为增函数，所以B正确；对于C，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，又因为在定义域内不单调，故以C错误；对于D，定义域，，所以所以为偶函数，故D错误，故选：B.7.【答案】B【分析】根据零点的定义求解.【详解】函数的定义域为，令，即，解得，所以函数的零点个数是1个，故选:B.8.【答案】A【分析】根据作差法比大小求解即可.【详解】因为，，所以，因为，所以，所以，即.故选：A9.【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可.【详解】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.故选：B.10.【答案】C【分析】根据分段函数的单调性求解.【详解】要使函数在上单调递减，则有，解得，故选:C.二、填空题：本大题共6道小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题纸中相应的横线上.11.【答案】【分析】根据题意解方程组即可得到答案.【详解】将代入，得，得或，方程组的解为和，所以方程组的解集为.故答案为：12.【答案】【分析】由，可得，即可得出结论.【详解】解：，，，所以函数，的最大值为.故答案为：13.【答案】【分析】根据分段函数的解析式求函数值.【详解】由题可得，，故答案为:.14.【答案】-1【分析】本题考查的是韦达定理的用法，，再进行求解【详解】设原方程的两个根为对于方程有：，，，将m=-1代入原方程得：，经检验方程有解，将代入原方程得：，方程无解，舍去，所以【点睛】韦达定理求解方程时要注意方程可能无解情况，计算出的答案需进行验证15.【答案】5【分析】根据集合的韦恩图即可求解.【详解】设集合表示：喜爱篮球运动的学生，集合表示：喜爱乒乓球运动的学生，整个班级学生为集合,则由题可知，的元素个数为20，的元素个数为25，则的元素个数为12，所以的元素个数为，所以的元素个数为，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为人，故答案为:5.16.【答案】【分析】求出函数的最小值，求解即可.【详解】因为关于的不等式恒成立，所以，记，当时，，当时，有最小值为2；当时，，为常数函数2；当时，，当时，有最小值为2；综上所述：的最小值为2，所以.故答案为：.三、解答题，本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【答案】【分析】利用一元二次不等式的解法求得集合，再利用一元一次不等式解得，进而根据包含关系求解.【详解】由可得，，解得，所以,则因为所以由解得，所以，因为，所以，解得，所以实数的取值范围为.18.【答案】（1）（2）水池池底宽2米时，可使水池的总造价最低，最低造价为1760元，【分析】（1）由宽表示出池底长后得侧面积，从而得总造价的函数式；（2）由基本不等式得最小值．【小问1详解】解：由题意池底长为米，所以（元）；所以．【小问2详解】由（1），当且仅当即时等号成立，所以水池池底宽2米时，可使水池的总造价最低，最低造价为1760元，19.【答案】（1）是奇函数，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先确定函数的定义域，再根据奇偶性的定义作出判断；（2）直接用定义证明函数的单调性.【详解】（1）函数的定义域是，是奇函数．（2）设，，且,则，，，，，即故在内是增函数．考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶的判断.【点晴】本题主要考查了函数奇偶性的判断和单调性的证明，考查了奇偶性的定义和单调性的定义，属于基础题；证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．奇偶函数相同点是定义域都关于原点对称，不同点是奇函数图象关于原点对称，且满足；偶函数图象关于轴对称，且满足.B卷本卷满分：50分四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答纸中相应的横线上.20.【答案】【分析】根据，得到，求出答案.【详解】由题意得，解得，故实数的取值范围是.故答案为：21.【答案】【分析】由题意令，进而可得，由二次函数的性质即可得解.【详解】函数，令，则，则，所以当即时，取得最小值，最小值为，因而的值域为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数值域的求解，考查了换元法的应用及运算求解能力，属于基础题.22.【答案】【分析】根据奇函数定义，结合直接求解.【详解】因为为奇函数，所以，代入，得，所以.故答案为：23.【答案】（答案不唯一）【分析】根据奇偶性、最值和二次函数定义直接填写即可.【详解】由①知：，又，不是二次函数，满足条件①②③的一个函数为：.故答案为：（答案不唯一）.24.【答案】①②④【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可；【详解】①：当时，，当时，该函数单调递增，所以有，当时，因为，所以，因此当时，；当时，，此时函数单调递增，所以有，，所以有，所以的值域是，故①正确；②：不妨设，由，所以该函数是实数集上的增函数，由①可知：该函数在时，单调递增，且，当时，单调递增，且，所以该函数是实数集上的增函数，符合题意，故②正确；③：当任意且时，令，，，显然，因此不成立，故③不正确；④：当时，，，，，，于是有，因此，故④正确，故答案为：①②④【点睛】关键点睛：利用分式型函数的性质是解题的关键.五、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25.【答案】（1）（2）【分析】（1）据题意设二次函数的顶点式，用待定系数法求解析式；（2）将问题转化成恒成立问题，进而转化成求最值问题，即可求解.【小问1详解】因为函数满足，所以函数的对称轴为，又因为最小值为，故可设二次函数的解析式为，又因为，所以，解得，所以.【小问2详解】由题意可知：的图象在区间上恒在的上方，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，所以在上恒成立，又，所以在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.26.【答案】（1）（2）作图见解析，单调递减区间为，（3）函数有3个二阶不动点【分析】（1）根据分段函数求值问题即可；（2）根据分段函数的性质将函数转换再分段作图即可；（3）由二阶不动点定义结合分段函数的性质分析可得.【小问1详解】因为，所以，所以．【小问2详解】，函数的图象如图所示：所以函数的单调递减区间为，．【小问3详解】当时，，所以，由，解得或，所以函数在上有唯一的二阶不动点．当时，，所以，由，解得，所以函数在上有唯一的二阶不动点．当时，，所以，由，解得或，所以函数在上有唯一的二阶不动点．综上所述，函数有3个二阶不动点.27.【答案】（1）是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”（2）证明见解析【分析】（1）根据所给定义判断即可.（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；【小问1详解】因为，对于集合，令，解得，显然，，所以是集合的“期待子集”；对于集合，