第02讲 二次函数y=ax²的图像和性质（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）-A4

第1页第02讲二次函数的图像和性质会用描点法画出二次函数（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念。；掌握二次函数（a≠0）的图像和性质，并解决简单的应用；知识点1y=ax²的图像画法：应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。【问题1】在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象并简单描述其性质。【解答】解：（1）列表：x…﹣2﹣1012…y…41014…（2）描点、连线：．二次函数y＝x2的性质：（1）y＝-x2图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.【问题2】在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2函数的图象．【解答】解：列表得：﹣2﹣1012y＝﹣x2﹣4﹣10﹣1﹣4描点、连线可得图象为：．二次函数y＝-x2的性质：（1）y＝-x2图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.总结：y=ax²的图像的性质小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线y=ax²来说，越大，抛物线的开口越小知识点2：二次函数y=ax²的图像及性质的应用二次函数y=ax²的图像关于y轴对称，因此图像左右两部分折叠可以重合，在比较二次函数大小时，我们可以根据图中点具有的对称性转变到同一变化区域；根据图像中函数值高低去比较；对于不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解。【题型1二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】【典例1】抛物线y=3x2A．直线x=3B．直线x=-3C．直线x=0【变式1-1】（2022九上·定南期中）抛物线y=2x2的图象的对称轴是【变式1-2】抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是；对称轴是【题型2二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】【典例2】抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．有最低点D．对称轴是x轴【变式2-1】（2022九上·青秀月考）二次函数y=-A．向下 B．向上 C．向左 D．向右【变式2-2】（2022九上·瑞安期中）已知抛物线y=axA．-2 B．14 C．1 D．.【典例3】（2021秋•武冈市期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）【变式3-1】（2022九上·上思月考）在同一个平面直角坐标系中，二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=【变式3-2】（秋•建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【变式3-3】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为．【题型3二次函数y=ax²图像性质】【典例4】关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标为（0，3）C．对称轴为y轴D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大【变式4-1】（2021九上·肥东期末）二次函数y=x2的图象经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限【变式4-2】（2022九上·河西期中）在抛物线y=A．（1，0） B．（2，2） C．（-1，1） D．（0，1）【变式4-3】（2022九上·萧山期中）对于y=-A．开口向下 B．对称轴为直线xC．顶点为(0，0) D．y随【题型4二次函数y=ax²平移规律】【典例5】（2022秋•津南区期末）抛物线y＝（x﹣2）2是由抛物线y＝x2平移得到的，下列平移正确的是（）A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度【变式5-1】（2022九上·密云期末）将抛物线y=A．y=(x+1)2B．y=(【变式5-2】（2022九上·门头沟期末）如果将抛物线y=x2A．y=(x+3)2 B．y=(x【变式5-3】（2023九上·南宁期末）抛物线y=A．y=(x+1)2 B．y=(【题型5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】【典例6】（2022九上·普陀期中）已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y=-x2上，如果x1<【变式6】若点A(-1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=2x2上，则y1，y【题型6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】【典例7】（榆社县期末）在同一坐标系中，函数y＝ax2与y＝ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（）A． B． C． D．【变式7-1】（2022九上·桐庐月考）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）A． B．C． D．【变式7-2】（2021九上·鄂尔多斯期中）二次函数y＝ax2与一次函数A． B．C． D．【题型7二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】【典例8】（2020•兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？【变式8-1】（2022九上·中山期中）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=13x2与y【变式8-2】（2020九上·临江期末）如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点，且AB//x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB＝22，则图中阴影部分的面积为1．（2023•宾阳县一模）抛物线y＝x2向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）22．（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）3．（2023•延安一模）如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（）A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a4．（2023•增城区一模）已知A（0，y1），B（3，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定1．若二次函数y＝ax2的图象经过点(1，－2)，则它也经过（）A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1)2．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（－1，－2）B．它的图象的对称轴是直线x＝2C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．当－1≤x≤2时，y有最大值为83．二次函数y=x2，当-1≤xA．1≤y≤9 B．0≤y≤9 C．0≤4．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜15．若抛物线y=axA．(4,-7)B．(7,4)6．二次函数y＝ax2与一次函数A． B．C． D．7.（秋•龙岩期末）将抛物线y＝x2通过一次平移可得到抛物线y＝（x+5）2，对这一平移过程描述正确的是（）A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度8．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝12gt2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（）A． B．C． D．9．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=2，与二次函数y=x2，y=ax2分别交于A、B和C、DA．4 B．14 C．2 D．10.（2021秋•金安区校级月考）二次函数y＝