《分类加法计数原理与分类乘法计数原理的应用》同步学案(教师版)

高中数学精编资源2/2《分类加法计数原理与分类乘法计数原理的应用》同步学案情境导入世界杯是全球的一大体育盛事,32支球队齐聚,绿茵场上,群雄逐鹿,是一场场难得的视觉盛宴.通过小组赛、十六强赛、八强赛、四强赛、季军赛、决赛,最终决出冠、亚、季军,大家知道总共进行了多少场比赛吗？自主学习自学导引用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点:(1)要完成的“一件事”是什么;(2)需要分类还是需要分步.分类要做到“_______”.分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.分步要做到“_______”,即完成了所有步骤,恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.答案：不重不漏步骤完整预习测评1.甲、乙两个班分别有29名、30名学生,从两个班中选1名学生,则()A.有29种不同的选法B.有30种不同的选法C.有59种不同的选法D.有种不同的选法2.4位同学各自在周六、周日两天中任选1天参加公益活动,则不同的选法种数为()A.2B.4C.8D.163.从集合中任取两个互不相等的数组成复数,其中虚数有()A.30个B.42个C.36个D.35个4.用这3个数字可以写出没有重复数字的整数_____个.答案：1.C解析:分两类:第1类,从甲班选,有29种方法;第2类,从乙班选,有30种方法.由分类加法计数原理得不同方法的种数为.2.D解析:4位同学各自在周六、周日两天中选择一天参加公益活动的情况有种.3.C解析:如果为虚数,那么.完成组成虚数这件事,分两步进行,第1步,确定,有6种不同的方法;第2步,确定,由于,但可以为0,故有6种不同的方法.所以虚数的个数为.4.15解析:分三类:第1类,一位整数,有3个;第2类,两位整数,有,共6个;第3类,三位整数,有,共6个.所以可写出没有重复数字的整数的个数为.新知探究探究点1组数问题知识详解1.对于组数问题,一般按特殊位置(一般指末位和首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成.如果分类较多,可采用间接法从反面求解.2.解决组数问题时,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘.典例探究例1从这6个数字中取4个数字组成四位数,问:(1)能组成多少个四位数?(2)能被5整除的四位数有多少个?解析:(1)要完成的一件事是组成四位数,所以首位数字不能是0;(2)要使所组成的四位数能被5整除,则末位数字必须是0和5中的1个.答案:(1)第1步,千位上的数不能取0,只能取1,2,中的一个,有5种选择;第2步,由于取了1个数放千位上,故可从剩下的5个数中选1个放百位上,所以有5种选择;第3步,由于分别取了1个数放千位、百位上,故可从剩下的4个数中选1个放十位上,所以有4种选择;第4步,由于分别取了1个数放千位、百位、十位上,故可从剩下的3个数中选1个放个位上,所以有3种选择.根据分步乘法计数原理,组成的四位数的个数为.(2)如果组成的四位数能被5整除,那么四位数个位上的数字只能是0或5.第1类,当个位上的数字为0时,依次取千位、百位、十位上的数字,分别有5种选择、4种选择、3种选择,所以满足要求的四位数的个数为;第2类,当个位上的数字为5时,依次取千位、百位、十位上的数字,分别有4种选择、4种选择、3种选择,所以满足要求的四位数的个数为.根据分类加法计数原理,能被5整除的四位数的个数为.方法归纳:组数问题实际就是分步问题,需要用分步乘法计数原理解决,在有附加条件时,可能需要进行分类讨论.即在解决相关的组数问题时,要注意两个计数原理的综合应用.变式训练1用这10个数字可组成不同的:(1)三位数______个;(2)无重复数字的三位数______个;(3)小于500、无重复数字且为奇数的三位数______个.答案：(1)900(2)648(3)144解析:(1)由于0不能在百位,所以百位上的数字有9种选法,十位与个位上的数字均有10种选法,所以不同三位数的个数为.(2)百位上的数字有9种选法,十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法,个位上的数字应从剩余8个数字中选取,所以无重复数字的三位数的个数为648.(3)小于500、无重复数字且为奇数的三位数,应满足的条件是:首位上的数只能从中选,个位上的数必须为奇数,按首位分两类:第1类,首位上的数为1或3时,个位上的数有4种选法,十位上的数有8种选法,所以不同选法种数为;第2类,首位上的数为2或4时,个位上的数有5种选法,十位上的数有8种选法,所以不同选法种数为.由分类加法计数原理知,不同选法的种数为144.探究点2涂色与种植问题知识详解求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解,常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理求解;(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理求解;(3)对于空间涂色问题,将空间问题平面化,转化为平面区域涂色问题.典例探究例2用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法？解析:因为要求相邻(有公共边)的区域不同色,所以可按“1号区域与4号区域同色”和“1号区域与4号区域不同色”两种情况分类,然后根据两个计数原理分别求解.答案:第1类:1号区域与4号区域同色,此时可分3步来完成.第1步,涂1号区域和4号区域,有5种涂法;第2步,涂2号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,有4种涂法;第3步,涂3号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,也有4种涂法.由分步乘法计数原理知,不同涂法种数为.第2类:1号区域与4号区域不同色,此时可分四步来完成.第1步,涂1号区域,有5种涂法;第2步,涂4号区域,只要不与1号区域同色即可,有4种涂法;第3步,涂2号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,有3种涂法;第4步,涂3号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,也有3种涂法.由分步乘法计数原理知,不同涂法的种数为.依据分类加法计数原理知,不同的涂色方法种数为.方法归纳:这是一个有限制条件的计数问题,解决方法是:特殊位置、特殊元素优先安排.本题是先分类再分步,而分类的标准是两个特殊位置同色或不同色,这样,在分类时才能做到“不重不漏”.变式训练2将3种作物全部种植在如下图所示的5块试验田里,每块种植1种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有______种(以数字作答).答案:42解析:只满足相邻试验田种植不同作物,则从左往右5块试验田分别有种种植方法,不同种植方法数为,而5块试验田只种植了2种作物的种植方法数为,所以不同的种植方法数为.探究点3抽取、分配问题知识详解1.当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法求解.2.当涉及对象数目很大时,一般有两种求解方法:(1)直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.(2)间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数.典例探究例3在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋.现在从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法?解析:本题应先分类,再分步.确定分类标准确定类数逐类分步计算下结论答案:方法一:分四类.第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,不同选法种数为.第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,不同选法种数为.第3类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,不同选法种数为.第4类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛,选法种数为.故不同的选法种数为.方法二:分两类.第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,这时7名学生中还有4名学生会下围棋,从中选1名参加围棋比赛,不同选法种数为.第2类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,这时7名学生中还有3名学生会下围棋,从中选1名参加围棋比赛,不同选法种数为.故不同的选法种数为.方法归纳:涉及分类与分步的综合性问题,首先要确定是先分类还是先分步.分类要确定分类的标准,分类标准不同,需要分的类数一般不同,但要保证“不重不漏”.分步要确定需要分几步,分步要确保“步骤完整”.变式式练33个不同的小球放练5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种放法?答案:方法一:(以小球为研究对象)分三步来完成.第1步,放第1个小球有5种选择;第2步,放第2个小球有4种选择;第3步,放第3个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理,共有放法种数为.方法二:(以盒子为研究对象)将盒子标上序号,4,5,分成10类.第1类,空盒子标号为,不同放法种数为;第2类,空盒子标号为,不同放法种数为;第3类,空盒子标号为,不同放法种数为.分类还有以下几种情况:空盒子标号分别为,,共10类,每一类都有6种放法.根据分类加法计数原理,不同放法种数为.易错易混解读例某学校将一块长方形空地分成如图所示的8块,计划在这8块空地上种花,已知空地1,8上已经种了a花,其余空地需从A,B,C,D,E这5种花中选择若干种进行种植,要求每块空地只种一种花,且有公共顶点的两块空地种的花不能相同,则不同的种植方案有______种.错解:按的顺序种植,不同的种植方案种数为.错因分析:没有考虑当空地2和4上种植相同的花时第7块空地上有2种种植方法.正解:先考虑中间“田”字格的种植方案,不同的种植方法数有,再考虑两边剩余的每块空地的种植方案,不同的种植方法数均为3,所以不同的种植方案种数为.纠错心得:在利用分步乘法计数原理求解计数问题时,分步要确保步骤完整.课堂检测1.已知函数,其中,则不同的二次函数的个数为()A.125 B.15 C.100 D.10 2.体育老师把9个相同的足球放人编号为的三个箱子中,要求每个箱子放球的个数不小于其编号,则不同的放球方法有()A.8种 B.10种 C.12种 D.16种 3.完全展开后的项数为()A.9 B.12 C.18 D.24 4.从中任选两个不同的数字组成两位数,其中偶数的个数是()A.6 B.8 C.10 D.12 5.现有5种不同的颜色,要对图形中的4个部分进行着色,要求有公共边的两块不能用同一种颜色,不同的涂色方法有_____种.答案:1.C解析:由题意可得,可分以下几类:第1类,,此时有4种选择,也有4种选择,不同函数的个数为;第2类,,此时有4种选择,也有4种选择,不同函数的个数为;第3类,,此时都各有4种选择,不同函数的个数为;第4类,,此时有4种选择,共有4个不同的函数.由分类加法计数原理,可确定不同的二次函数的个数为.2.B解析:首先在3个箱子中放入个数与编号相同的球,这样剩下3个足球,这3个足球可以随意放置,有以下几类.第1类,可以在每一个箱子中放1个,有1种结果;第2类,可以把球分成两份,1个和两个,这两份在3个位置,有