6.2.4　向量的数量积

6.2.4

向量的数量积一二三四

一、向量数量积的定义1.思考(1)如图所示,一物体在力F的作用下产生位移s.①力F所做的功W=

.

②请同学们分析这个公式的特点:W(功)是

量,F(力)是

量,s(位移)是

量,θ是

的夹角.

提示①力F所做的功W=|F||s|cosθ;②W(功)是标量,F(力)是矢量,s(位移)是矢量,θ是F与s的夹角.(2)F与s的夹角θ的取值范围对功W有什么影响?提示当0°≤θ<90°时,W>0,即力F做正功;当θ=90°时,即力F的方向与位移s的方向垂直时,W=0,力F不做功;当90°<θ≤180°时,W<0,即力F做负功.(3)两个向量的数量积结果是向量还是数量?提示是数量.一二三四2.填空(1)向量a与向量b的夹角①夹角的定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.②显然,当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.③如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b.(2)向量的数量积①定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.

②零向量与任一向量的数量积为0.③向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定:当θ是0或锐角时,数量积为正;当θ是钝角或π时,数量积为负;当θ是直角时,数量积等于零.一二三四3.做一做答案:(1)-2

(2)8一二三四二、向量a在向量b上的投影向量1.思考(1)如何作出一个向量a在向量b上的投影向量?(2)数量积公式中|a|cosθ或|b|cosθ有什么意义?提示|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图所示,OB1=|b|cosθ.一二三四(3)向量a在向量b上的投影向量和向量b在向量a上的投影向量一样吗?提示不一样.前者是与b共线的向量,后者是与a共线的向量.2.填空(2)向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.

(3)数量积的几何意义.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.

一二三四3.做一做(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,则向量a在向量b方向上的投影等于

.

(2)若a·b=-6,|a|=8,则向量b在向量a方向上的投影等于

.

一二三四三、平面向量数量积的性质1.思考已知两个非零向量a与b,根据它们的数量积公式,回答以下问题:(1)a与b垂直时,数量积有什么特点?反之呢?(2)当a与b共线时,数量积可如何化简?(3)一个向量a与它自身的数量积结果如何?(4)|a·b|与|a||b|有什么大小关系?(5)在上述(4)的关系中,等号成立的条件是什么?一二三四提示(1)非零向量a⊥b时,a·b=0;反之也成立.(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.(4)|a·b|≤|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|中,当且仅当a∥b时,等号成立.一二三四2.填空设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cosθ.

(2)a⊥b⇔a·b=0.(4)|a·b|≤|a||b|.一二三四3.做一做向量a,b满足|a|=|b|=4,它们的夹角为,则|a-b|=(

)A.4 B.8 C.37 D.13答案:A一二三四四、平面向量数量积的运算律1.思考(1)对于实数a,b,c有(a·b)c=a(b·c);那么对于不共线向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)是否成立?提示不成立.因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,因为c与a不共线,所以式子不成立.(2)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.对于向量a,b,c,若b≠0,则a·b=b·c⇒a=c,这个推理正确吗?为什么?提示该推理不正确.即a·b=b·c不能推出a=c.如图,由投影的定义及数量积公式,易知a·b=b·c,但显然a≠c.一二三四2.填空向量数量积的运算律3.做一做答案:A探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求平面向量的数量积角度1

数量积的简单计算例1已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).分析依据数量积、模、夹角的定义→逐一进行计算即可(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos

120°-3|b|2=8-15-27=-34.反思感悟

求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度2

几何图形中向量数量积的计算答案:-1探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解析:∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°.∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求向量的投影向量例3如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求:探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:如图,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.又D是BC边的中点,所以AD⊥BC,∠ABD=45°,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

求投影向量要搞清是哪一个向量在哪一个向量上的投影向量,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:A探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练向量模的相关问题角度1

利用数量积求向量的模例4(1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则|2a+b|=

.

解析:(1)∵|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4|a|2+4|a||b|cos60°+|b|2=4×25+4×5×5×(2)∵|a+b|=,∴a2+2a·b+b2=5,∴|a|2+2|a|·|b|cos135°+|b|2=5.∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3或|b|=-1(舍去).探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

根据数量积的定义a·a=|a||a|cos0°=|a|2,得

这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练3已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.解:因为|a+b|=4,所以|a+b|2=42,所以a2+2a·b+b2=16.①因为|a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度2

与模有关的最值问题例5(1)若平面向量a,b,c满足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,则|b-c|的取值范围是(

)(2)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,则|a+b-c|的最小值为(

)答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

涉及向量模的最值问题,一般是把模平方,利用平面向量的数量积运算,把问题转化为关于某个量的函数,进而求出最值.需要掌握向量模的一些简单几何意义:①|a|为正值,则说明当表示向量的有向线段的起点确定后,其终点在以起点为圆心,以|a|为半径的圆上运动;②若|a+b|=|a-b|,则向量a⊥b;③若(a+b)·(a-b)=0,则|a|=|b|.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练4若两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则|a-kb|的最小值为(

)答案:B探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练利用数量积解决向量的夹角与垂直问题例6(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为(

)A.30° B.60° C.120° D.150°(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解;(2)可采用数形结合的方法构造平面图形求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练(1)答案:C解析:因为(2a+b)⊥b,所以2(a+b)·b=0,所以2a·b+|b|2=0.设a,b的夹角为θ,则2|a||b|cosθ+|b|2=0.又|a|=|b|,所以2|b|2cosθ+|b|2=0,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

求平面向量夹角的方法(1)求向量的夹角,主要是利用公式cos

θ=求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究

本例(1)中,若非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值.解:因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练利用向量的数量积判断几何图形的形状A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.以上都不对探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:(1)B

(2)A

探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

能够将

,并熟练地运用向量的减法,是本题获解的关键.此外,对于典例(1)我们得出下列结论:已知非零向量a,b,若|a+b|=|a-b|,则a⊥b.该结论的几何背景为:以a,b为邻边的平行四边形为矩形,也就有a⊥b成立.事实上,由于a+b,a-b分别为以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线对应的向量,而两对角线相等的平行四边形为矩形.依据向量的数量积的有关知识判断平面图形的形