定积分在物理上的应用

第三节定积分在物理上的应用一、变力沿直线所作的功二、水压力三、引力四、小结用元素法建立坐标轴如上图所示,提示：根据物理学,在电量为+q的点电荷所产生的电场中,距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为：问题：物体在变力F(x)的作用下，从x轴上a点移动到b点，求变力所做的功。用元素法1）在[a,b]上考虑小区间[x,x+x]，在此小区间上

W

dW=F(x)dx2）将dW从a到b求定积分，就得到所求的功F(x)F(x)F提示：由物理学知道,一定量的气体在等温条件下,压强p与体积V的乘积是常数k

,即解建立坐标系如图这一薄层水的重力为功元素为(kN

m)kJ把这一薄层水抽出水池所作的功等于克服这一薄层重量所作的功例4修建一座大桥墩时，先要下围囹，并且抽尽其中的水以便施工，已知围囹的直径为20m，水深27m，围囹高出水面3m,求抽尽水所作的功。xxdx273200分析（如下图）建立坐标系：

因这一薄层水抽出围囹所作的功近似于克服这一薄层重量所作的功，所以功元素为：解建立坐标系如图这一薄层水的重力为于是在[3,30]上，抽尽水所作的功为：xxdx273200xxdx273200问题：水的压力是如何产生的？水有重量，所以水也会对与其接触的物体产生压力，水的压力来自水中的四面八方。水压的强度和水的深度有关，愈深則水的压强愈大。问题：水库的堤坝为什么上边窄，下边宽？如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为：P

p·A如果这个平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同的点处压强p不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算．yy例6解如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向．如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力的方程向也是变化的，就不能用上述公式来计算．这是引力dF的方向不随小区间[x,x+dx]的改变而变化的情形。由对称性知,引力在铅直方向分力这是引力dF的方向随小区间[x,x+dx]的改变而变化的情形,应将引力dF分解为dFx和dFy后再分别用定积分计算尤其是如何在具体问题中取“微元”——微功、微压力、微引力等。这对于从形式到内容真正地把握公式是非常必要的，相反如果仅满足于套用公式解决一些简单问题而不求甚解，那么遇到一些稍有灵活性的问题，便可能束手无策，不知如何下手。关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记各个公式的结果外，还须了解其推导过程。解设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为作业，5题：用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？设

次击入的总深度为厘米次锤击所作的总功为依题意知，每次锤击所作的功相等．次击入的总深度为第次击入的深度为

自地面垂直向上发射火箭，火箭质量为m，试计算将火箭发射到超出地球的引力范围时克服引力所作的功，并由此计算初速度至少为多少才可使火箭超出地球的引力范围？Ex

分析：取坐标系如图，设地球半径为R，质量为M，火箭质量为m,与地心的距离为x,根据万有引力定律，火箭所受地球引力为：Rxx火箭所受地球引力为：Rxdxxx+dxdW当x=R时，引力=重力推动火箭，推力=引力功元素微元素全部功Rxdxxx+dx

自地面垂直向上发射火箭，火箭质量为m，试计算将火箭发射到超出地球的引力范围时克服引力所作的功，并由此计算初速度至少为多少才可使火箭超出地球的引力范围？Ex

利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题．（注意熟悉相关的物理知识）四、小结思考题一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？思考题解答