第12课平行四边形及其性质（教师版）-2022-2023学年八年级数学下册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（浙教版）

第12课平行线四边形及其性质目标导航目标导航学习目标1.了解平行四边形的概念.会用符号表示平行四边形.2.理解“平行四边形的对角相等”“平行四边形的对边相等”的性质，并能应用这些性质.3.了解平行四边形的不稳定性及其实际应用.4.掌握平行线的“夹在两条平行线间的平行线段相等”“夹在两条平行线间的垂线段相等”的性质.5.了解两条平行线间的距离的意义，能度量两条平行线间的距离.能运用两条平行线间的距离的意义解决一些简单的实际问题.知识精讲知识精讲知识点01平行四边形及其性质1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等（2）平行四边形的对边平行且相等（3）平行四边形的对角线互相平分。3.夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。4.两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。能力拓展考点01平行四边形及其性质能力拓展【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠AOE＝70°，∠EAD＝3∠EAO，求∠BCA的度数．【思路点拨】（1）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论；（2）利用三角形内角和定理求出∠EAO，求出∠DAC的度数，再利用平行线的性质解决问题即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF；（2）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝70°，∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝20°，∵∠EAD＝3∠EAO，∴∠EAD＝3×20°＝60°，∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝60°﹣20°＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝40°．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△AEO≌△CFO．【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE、AC、ED，AC与ED交于点O，AE＝AB，求证：（1）AC＝DE．（2）OE＝OC．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质及邻补角定义推出AE＝CD，∠AEC＝∠BCD，EC＝CE，利用SAS证明△AEC≌△DCE，根据全等三角形的性质即可得解；（2）结合（1）根据全等三角形的性质即可得解．【解析】证明：（1）平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵AB＝AE，∴AE＝CD，∠B＝∠AEB，∵∠AEB+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝∠BCD，又∵EC＝CE，∴△AEC≌△DCE（SAS），∴AC＝DE；（2）由（1）得△AEC≌△DCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．分层提分分层提分题组A基础过关练1．在▱ABCD中，已知∠A+∠C＝160°，则∠A＝（）A．40° B．60° C．80° D．100°【思路点拨】根据平行四边形的对角相等和∠A+∠C＝160°，可以求得∠C的度数．【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝160°，∴∠A＝∠C＝80°，故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是明确平行四边形的对角相等．2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC＝8，则AO的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【思路点拨】根据平行四边形的性质求解即可．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝OC＝AC，∵AC＝8，∴AO＝4，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．3．如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB长为（）A．20 B．15 C．10 D．5【思路点拨】由于平行四边形的对角线互相平分，那么△AOB、△BOC的周长差，实际是AB、BC的差，联立平行四边形的周长，即可得解．【解析】解：∵，△BOC的周长比△AOB的周长多10，即BC﹣AB＝10，∵平行四边形ABCD的周长是40，即BC+AB＝20，∴AB＝5．故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质，比较简单，关键是利用平行四边形的性质解题：平行四边形的对角线互相平分．4．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（）cm．A．11 B．18 C．20 D．22【思路点拨】先求出平行四边形的一组邻边长，再求周长．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边和角平分线的定义是解题的关键．5．如图，在▱ABCD中，AD＝6，∠ADB＝30°．按以下步骤作图：①以点C为圆心，以CD长为半径作弧，交BD于点F；②分别以点D，F为圆心，以CD长为半径作弧，两弧相交于点G．作射线CG交BD于点E．则BE的长为（）A．3 B． C．4 D．3【思路点拨】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝6，由直角三角形的性质可求解．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝6，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，由题意可得CG⊥BD，∴CE＝BC＝3，BE＝EC＝3，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，基本作图，掌握平行四边形的性质是解题的关键．6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若S△AOB＝4，则平行四边形ABCD的面积＝16．【思路点拨】由平行四边形的性质可知，S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△DOC，进而可求平行四边形ABCD的面积．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，则△AOB与△BOC等底同高，∴S△AOB＝S△BOC，同理可得：S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△DOC＝4，∴平行四边形ABCD的面积为：4×4＝16，故答案为：16．【点睛】本题考查了平行四边形的性质的运用，得到S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△DOC是关键．7．在▱ABCD中，∠A＝150°，则∠C＝150°．【思路点拨】利用平行四边形的对角相等可得答案．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠A＝150°，∴∠C＝150°，故答案为：150．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．8．如图，在▱ABCD中，DB＝CD，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝20°．【思路点拨】由DB＝CD，得∠DBC＝∠C＝70°，则∠ADE＝∠DBC＝70°，而∠AED＝90°，所以∠DAE＝90°﹣∠ADE＝20°．【解析】解：∵DB＝CD，∴∠DBC＝∠C＝70°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC＝70°，∵AE⊥BD于E，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20°．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，由平行四边形的性质求得∠DBC＝∠C＝70°是解题的关键．9．在平行四边形ABCD中，，则AD的长为．【思路点拨】直接利用平行四边形的性质结合勾股定理以及逆定理分析得出答案．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝2，BD＝4，∴AO＝CO＝1，BO＝DO＝2，∵AB＝，∴12+（）2＝22，∴AO2+AB2＝BO2，∴△ABO是直角三角形，∴AD＝＝．故答案为：．【点睛】此题主要考查了平行四边的性质以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．10．如图，▱ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝57°，则∠ADE＝19°．【思路点拨】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出DE＝AF＝AE＝EF，∠DAE＝∠ADE＝x，则DE＝CD，推出∠DCE＝∠DEC＝2x，再由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝57°﹣x，得出方程，解方程即可．【解析】解：设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴DE＝AF＝AE＝EF，∴∠DAE＝∠ADE＝x，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝57°﹣x，∴2x＝57°﹣x，解得：x＝19°，即∠ADE＝19°，故答案为：19°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．12．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AD＝4，DO＝3．求△COD的周长．【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，可求得BD的长，然后由AD⊥BD，AD＝4，OD＝3，利用勾股定理即可求得AB与OA的长，继而求得△COD的周长．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OB＝OD，OC＝OA，∴BD＝2OD＝2×3＝6，∵AD⊥BD，AD＝4，∴AB＝＝＝2，OA＝＝＝5，∴CD＝AB＝2，OC＝OA＝5，∴△COD的周长为：OD+OC+CD＝8+2．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．13．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别在BC，AD上，且∠EAF＝∠ECF．求证：AE＝CF．【思路点拨】由平行四边形ABCD，则可得AD∥BC，且AD＝BC，又有BE＝DF，则可得AF∥EC，且AF＝EC，即可得四边形AECF是平行四边形，进而可得出AE＝CF．【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，又BE＝DF，∴AF∥EC，且AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．14．如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，连接AE交BD于点F，且∠EAD＝∠CDA，∠C＝110°．（1）∠EAD的度数；（2）当AF⊥BD时，求∠ABD的度数．【思路点拨】（1）由平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质求出∠ADC的度数，即可得到∠EAD＝∠CDA＝70°；（2）由平行四边形的性质得到∠BAD＝∠C＝110°，即可求出∠BAF的度数，由直角三角形的性质即可求出∠ABF的度数．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠C+∠ADC＝180°，∵∠C＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠C＝70°，∴∠EAD＝∠CDA＝70°（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C＝110°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝110°﹣70°＝40°，∵AF⊥BD，∴∠AFB＝90°，∴∠ABF＝90°﹣∠BAF＝50°．【点睛】本题考查平行四边性质的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，关键是掌握平行四边形的性质．15．如图，点E，F分别在▱ABCD的边BA、DC的延长线上，连结EF，交对角线BD于点O，已知OE＝OF．试猜想线段BE与DF的数量关系，并加以证明．【思路点拨】BE＝DF，欲证明该结论，只需通过证明△BOE≌△DOF得到BE＝DF．【解析】解：BE＝DF．理由如下：在▱ABCD中，BE∥FD，则∠EBO＝∠FDO．在△BOE与△DOF中，∵．∴△BOE≌△DOF（AAS）．∴BE＝DF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．题组B能力提升练16．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（）A． B．6 C．8 D．【思路点拨】连接CE，由线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再由勾股定理的逆定理证明△EDC是直角三角形，∠CED＝90°，然后由勾股定理即可求解．【解析】解：如图，连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝5，OA＝OC，∵OE⊥AC∴CE＝AE＝4，∵DE＝3，∴CE2+DE2＝42+32＝25，CD2＝25，∴CE2+DE2＝CD2，∴△EDC是直角三角形，∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC＝＝＝4，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明△EDC为直角三角形是解题的关键．17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，若AC＝6，BD＝10，则边AB的长的取值范围是（）A．6＜AB＜10 B．4＜AB＜16 C．2＜AB＜8 D．3＜AB＜5【思路点拨】直接利用平行四边形形对角线互相平分得出AO，BO的长，再利用三角形三边关系得出答案．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，BO＝BD，∵AC＝6，BD＝10，∴AO＝3，BO＝5，在△ABO中，AB的取值范围是：5﹣3＜AB＜5+3，即2＜AB＜8．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，得出AO，BO的长是解题关键．18．如图，点O为▱ABCD内一点，连接BD，OA，OB，OC，OD，已知△BCO的面积为3，△ABO的面积为5，则阴影部分的面积为（）A．2 B．3 C．3 D．3.5【思路点拨】设△COD的面积为x，根据S平行四边形ABCD＝2（S△ABO+S△COD）＝2S△BCD，列式整理即可得解．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴S平行四边形ABCD＝2（S△ABO+S△COD）＝2S△BCD，设△COD的面积为x，∴S平行四边形ABCD＝2（5+x）＝2（S阴影△BOD+x+3），∴S阴影△BOD＝5+x﹣x﹣3＝2，即阴影部分的面积为2，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质，弄清平行四边形的面积与三角形的面积关系是解题的关键．19．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，3），C（0，4），点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标（4，7）或（0，﹣1）或（﹣4，1）．【思路点拨】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【解析】解：分三种情况：①BC为对角线时，CD平行且等于AB，可知点D的坐标为（4，7）②AB为对角线时，AC平行且等于BD，可知点D的坐标为（0，﹣1），③AC为对角线时，AB平行且等于CD，可知点D的坐标为（﹣4，1），综上所述，点D的坐标可能是（4，7）或（0，﹣1）或（﹣4，1），故答案为：（4，7）或（0，﹣1）或（﹣4，1）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．20．如图，▱ABCD中，DE平分∠CDA，且点E是线段BC的中点，BC＝10，AE＝6，则DE的长为8．【思路点拨】根据平行四边形的性质和平行线的性质解答即可．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，BC＝AD＝10，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠CDA，∴∠ADE＝∠EDC，∴∠EDC＝∠DEC，∴EC＝CD，∵点E是线段BC的中点，BC＝10，∴EC＝CD＝5，BE＝EC＝5，∴AB＝CD＝5，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴△AED是Rt△，∵AE＝6，AD＝10，∴DE＝．故答案为：8．【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．21．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若AB＝，AC＝2，BD＝4．（1）猜想∠BAO＝90°，并证明你的猜想．（2）求平行四边形ABCD的周长．（3）求点A到BC边的距离．【思路点拨】（1）先根据平行四边形的性质可得，再利用勾股定理的逆定理即可得出结论；（2）先利用勾股定理可得，再根据平行四边形的周长公式即可得；（3）过点A作AE⊥BC于点E，根据S平行四边形ABCD＝BC⋅AE＝AB⋅AC即可得．【解析】解：（1）猜想∠BAO＝90°，证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝2，BD＝4，∴，∵，∴OA2+AB2＝4＝OB2，∴△AOB是直角三角形，且∠BAO＝90°，故答案为：90°；（2）∵，∴，则平行四边形ABCD的周长为；（3）如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵，∴S平行四边形ABCD＝BC⋅AE＝AB⋅AC，即，解得，即点A到BC边的距离为．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，求BD的长．【思路点拨】（1）由平行四边形性质得AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得∠ABE＝∠CDF，再由垂线性质得∠AEB＝∠CFD＝90°，然后由AAS即可证得△ABE≌△CDF；（2）由平行四边形的性质得AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD，再由勾股定理得BO＝2，即可得出结果．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC＝×2＝，BO＝DO＝BD，∵∠BAC＝90°，∴△BAO是直角三角形，在Rt△BAO中，由勾股定理得：BO＝＝＝2，∴BD＝2BO＝2×2＝4．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．23．如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，由钝角顶点D向AB、BC引两条高DE、DF，且DE＝4cm，DF＝5cm．（1）猜想：∠1与∠B的大小关系，并说明理由；（2）求这个平行四边形的面积．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质进行判断即可；（2）根据等积法和平行四边形的周长，求出平行四边形的边长，然后再求出平行四边形的面积即可．【解析】解：（1）∠1＜∠B；理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADC＝∠B，∵D为平行四边形ABCD的钝角顶点，∴∠1＜∠ADC，∴∠1＜∠B；（2）∵DE、DF为平行四边形的两条高线，∴S平行四边形ABCD＝AB•DE＝BC•DF，∴，∴设AB＝5xcm，则BC＝4xcm，∵平行四边形ABCD的周长为36cm，∴2（4x+5x）＝36，解得：x＝2，∴AB＝5×2＝10（cm），∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．题组C培优拔尖练24．如图，P为平行四边形ABCD内一点，且△PAB和△PAD的面积分别为5和2，则△PAC的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【思路点拨】过P作MN⊥BC，分别交AD、BC于M、N，易证，其中S平行四边形ABCD＝a，则，由S△PAC＝S△PAB+S△PCB﹣S△ABC即可求解．【解析】解：过P作MN⊥BC，分别交AD、BC于M、N，则＝＝＝，设S平行四边形ABCD＝a，即，∴，∴S△PAC＝S△PAB+S△PCB﹣S△ABC＝＝＝3．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及等积法求不规则图形的面积；解题的关键是利用平行四边形的性质求得．25．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四边形ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OA＝OB．其中成立的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由BC＝AD＝2AB，可判断①，证明∠BAC＝90°，可判断②；由平行四边形的面积公式可判断③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④，由平行四边形的对角线性质即可判断⑤，即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵BC＝AD＝2AB，∴EC＝AE＝BE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②错误；∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中点，∴S△BEO：S△BCD＝1：4，∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．∵平行四边形的对角线互相平分，AC≠BD，∴OA≠OB，故⑤错误，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．26．如图，在▱ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，AE平分∠FAD，交CD于中点E，连接EF，若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，则EF＝4．【思路点拨】延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．【解析】解：如图，延长AE，BC交于点G，∵点E是CD的中点，∴D