第4章相似三角形重难点检测卷

第4章相似三角形重难点检测卷注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）若，则的值为（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据合比性质进行计算．【详解】解：，．故选：A．【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．2．（2023秋·浙江金华·九年级校考开学考试）已知两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，∴它们的面积比为：．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，与位似，位似中心为点O，位似比为，则的比值为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用位似变换的性质判断即可．【详解】解：∵与位似，位似中心为点O，位似比为，∴，故选：A．【点睛】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，属于中考常考题型．4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案．【详解】如图，分别连接、、，其所在直线交于点则点G为所求的位似中心，故选：C．【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键．5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，直线，直线a，b，c分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，若，，，则（

）

A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】由直线，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，，，即可求得的长即可．【详解】解：，，，，，，解得：，故选：A．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．6．（2023秋·浙江·九年级专题练习）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为，小孔O到物体和实像的水平距离分别为，则实像的高度为（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求得实像的高度．【详解】解：由题意得：，∴，∴，∴=（相似三角形对应边上的高之比等于相似比），∴，∴，∴实像的高度为，故选：C．【点睛】本题是相似三角形的应用，考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键．7．（2023春·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于两点，已知点横坐标为，，当时，的取值范围是（

）

A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】过点作轴，轴，则，证明，求出点的横坐标即可．【详解】解：过点作轴，轴，则，

，，，点横坐标为，即，，，即的取值范围是：或，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．8．（2023春·浙江宁波·八年级统考阶段练习）如图，在锐角三角形中，点D、E、F分别是边、、的中点，从每边中点分别作其余两边的垂线，这六条垂线围成六边形，设六边形的面积为，的面积为S，则（

）

A．3：5 B．2：3 C．1：2 D．1：3【答案】C【分析】过三个中点分别作六边形边的平行线，则此六边形被分割为3个平行四边形，从而得到六边形的面积等于三角形面积的2倍，从而问题可解．【详解】解：过三个中点分别作六边形边的平行线，交于点，六边形被分成平行四边形，平行四边形，平行四边形，、、分别是平行四边形的对角线，

，，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质，是中档题，有一定的难度．9．（2023春·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，点O为对角线上一点，过点O作交，于点E，F，作交，于点G，H，连结，要求出的面积，只需要知道（

）

A．矩形与矩形的面积之积 B．矩形与矩形的面积之商C．矩形与矩形的面积之和 D．矩形与矩形的面积之差【答案】A【分析】设，，，，即，证明，可得，即，从而求得，，即可求解．【详解】解：设，，，，即，∵四边形是矩形，，，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，即，∴，∵，，∴，故选：A【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2023春·浙江温州·九年级统考阶段练习）任意矩形经过恰当分割后就可以拼成正方形，如图，已知矩形，在延长线上取点，使，以为直径的半圆交延长线于点，在边上取点，使，过点作于，所得，，四边形就可以拼成正方形，若，则的值为（）

A．3：5 B．5：7 C．7：10 D．9：13【答案】D【分析】延长，利用已知条件则的延长线经过点，设，则，利用正方形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得，，则结论可求．【详解】解：延长，则的延长线经过点，如图，

，，四边形可以拼成正方形，，，，，．，设，则，．，．四边形为矩形，，，，，．，，，，，．故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，图形的拼接，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形，正方形的性质是解题的关键．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）11．（2023秋·浙江·九年级专题练习）两个相似图形的周长比为，则面积比为．【答案】【分析】由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】解：两个相似图形，其周长之比为，其相似比为，其面积比为．故答案为：．【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．12．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为．【答案】【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，∴，解方程得，，点是靠近点的黄金分割点，设，则，∴，解方程得，，∴之间的距离为，故答案为：．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．13．（2023·浙江杭州·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走30步到处有一树木，为西门中点，从点往正西方向走750步到D处正好看到处的树木，设正方形城池的边长为x步．根据题意整理成一元二次方程的一般形式．【答案】【分析】设正方形城池的边长为步，，根据比例性质列方程即可．【详解】解：设正方形城池的边长为步，则，，，，，即，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程和相似三角形的应用，构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长是解题的关键．14．（2023·浙江杭州·校考二模）如图将菱形的沿翻折，使点C落在边上，连结，，如果，设的面积为，的面积为，则，．

【答案】【分析】三个等腰三角形、、全等，可得，利用求；构造，求出，由求出面积比，利用等高求出，进而得到．【详解】解：在上取一点G，使，∵四边形是菱形，∴，，，∵，∴，∴，∴，由翻折得，，∴，∵，∴，∴，由翻折可得DC=DE∵△DAE≌△DFC∴DE=DF∴DC=DF，∴，∴，∴，由得；∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴（负值舍去），∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：，．

【点睛】本题在菱形下考查了顶角为，底角为的等腰三角形的判断与性质，涉及了三角形全等，三角形相似的判定与性质，方程思想，关键是求出，构造，求出相似比．15．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼晴离地面高度为米，同时量得小艺与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆的高度为米．

【答案】【分析】根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：如图：

∵，，∴，∵，∴，∴即∴，经检验，是原方程的解，故答案为：8【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．16．（2023秋·浙江金华·九年级校考开学考试）如图，在矩形中，，，点在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为．【答案】【分析】作交于点E，交于点F，首先证明出，进而得到，，设，则，根据题意表示出，，然后在中利用勾股定理表示出，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】如图所示，作交于点E，交于点F，∵四边形是矩形∴∴∵∴∴又∵∴∴∵∴，∴设，则∴∵∴四边形是矩形∴，，∴，∵∴∵∴开口向下∴当时，有最小值∴此时的最小值为．故答案为：．【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．三、解答题（8小题，共66分）17．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在和中，于A，于D，相交于点O，，求证：．

【答案】见解析【分析】先根据直角三角形的性质，得，再根据相似三角形的判定即可．【详解】证明：∵于A，于D，∴，又∵，∴，又∵，∴，,∴，∴．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是本题的关键．18．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为．

(1)以O为位似中心在第二象限作位似比为变换，得到对应的，画出，并写出的坐标；(2)以原点O为旋转中心，画出把顺时针旋转的图形，并写出的坐标．【答案】(1)见解析；的坐标为(2)见解析；的坐标为【分析】（1）根据位似变换的性质求解即可；（2）根据旋转的性质求解即可．【详解】（1）如图所示：，即为所求，C1的坐标为；（2）如图所示：，即为所求，C2的坐标为．

【点睛】此题考查位似变换与旋转变换作图．解题关键在于掌握找关键点的对应点．19．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）如图，中，D、E分别是、上的点，且，．

(1)求证：；(2)若，求的长度【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）由，，得出，，即可证明；（2）由，得出，，进而得出，得出，，证明，再利用相似三角形的性质，即可求出的长度．【详解】（1）证明：∵，，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．20．（2023秋·浙江·九年级专题练习）西安大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，它是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面距离为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离为86米，小明眼睛到地面距离为1.5米，已知，，点A、B、C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔的高度．（平面镜的大小忽略不计）

【答案】64.5米【分析】根据题意可得，，因此，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】解：由题意得：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴米，∴长安塔的高度为64.5米．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21．（2023·浙江·九年级专题练习）在边长为1的正方形中，点E在边上（不与点A，D重合），射线与射线交于点F．

(1)若，求的长．(2)求证：．(3)以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点G．若，求的长．【答案】(1)1(2)见解析(3)【分析】（1）由正方形得到，从而，由相似三角形的性质可求解；（2）由正方形得到，，进而，因此，可得，变形即可得到结论；（3）设，则，，在中利用勾股定理构造方程即可求解．【详解】（1）解：∵四边形是边长为1的正方形，∴，，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵在正方形中，，，∴，∴，∴，∴；（3）解：由题意的作图可得，设，则，，∵，∴在中，，即，解得，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．22．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（，k为常数，）的图象经过正方形的顶点B，点A的坐标是．点D在线段上，点E在射线上，以，为边的平行四边形的顶点F恰好在该反比例函数的图象上．

(1)求k的值；(2)若点D的坐标是，求点E的坐标；(3)如图2，当点E在的延长线上时，连接，若，，求点D的坐标．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）根据正方形的性质求出即可解答；（2）过点F作轴于点G，先证明，即可求得的长度，代入反比例函数中即可解答；（3）过点F作轴于点G，证明，，三个三角形全等，即可求出点F的坐标，代入反比例函数中即可解答．【详解】（1）解：∵四边形是正方形，点A的坐标是，∴，即点B的坐标是，代入反比例函数得；（2）解：过点F作轴于点G，∵四边形是正方形，∴，，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，当时，，解得，∴，∴，即点E的坐标；

（3）解：过点F作轴于点G，在和中，，∴，同理可得，则，，设，则，代入反比例函数得，解得或（舍去），∴，即．

【点睛】本题考查了求反比例函数解析式及反比例函数与正方形的综合，解题的关键是熟练掌握反比例函数与正方形在图形上的联系．23．（2023春·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E在线段上，点E为的中点．(1)求证：；(2)若F，G分别是的中点；①求证：是等腰三角形；②当时，求线段的长度．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）由平行四边形的性质及已知条件可得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；（2）①根据等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线的性质得出，再由平行四边形的性质进行求解进；②先证明四边形是平行四边形，是等腰三角形，设，则，在中，由勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴．（2）①证明：∵是等腰三角形，E是中点，∴，∴，∵G为中点，∴，∵E、F分别是的中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴是等腰三角形．②解：由题意知，，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵是等腰三角形，∴是等腰三角形，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，，即，解得或（不合题意，舍去），∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，