第24章圆（拔高卷）教师版

20232024学年人教版数学九年级上册章节真题汇编检测卷（拔高）第24章圆考试时间：120分钟试卷满分：100分难度系数：0.49一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•仓山区校级期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，B是弧AC的中点，则∠D的度数是（）A．30° B．35° C．45° D．70°解：连接OB，如图，∵B是弧AC的中点，即＝，∴∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝×140°＝70°，∵∠D和∠AOB都对，∴∠D＝∠AOB＝35°．故选：B．2．（2分）（2022秋•无锡期末）下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的外心是三条角平分线的交点解：A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故A不符合题意；B．任何三角形有且只有一个内切圆，故B符合题意；C．能够重合的弧是等弧，故C不符合题意；D．三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故D不符合题意；故选：B．3．（2分）（2022秋•路北区校级期末）如图，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C．若⊙O的半径为8cm，PO的长为17cm，则△PDE的周长为（）A．15cm B．16cm C．30cm D．34cm解：连接OA，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，PA＝PB；由勾股定理得：PA2＝PO2﹣OA2＝289﹣64＝225，∴PA＝PB＝15cm；∵EA、EC、DC、DB均为⊙O的切线，∴EA＝EC，DB＝DC，∴DE＝EA+DB，∴PE+PD+DE＝PA+PB＝30（cm），即△PDE的周长为30cm．故选：C．4．（2分）（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（）A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4解：连接ON，如图：∵是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，∴ON⊥AB，∴M，N，O共线，∵OA＝4，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，∴ON＝OA•sin60°＝2，∴MN＝OM﹣ON＝4﹣2，∴l＝AB+＝4+＝11﹣4；故选：B．5．（2分）（2023•原平市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E．若∠E＝40°，则∠ABC的度数为（）A．110° B．115° C．120° D．125°解：连接OC、DC，则OC＝OD，∵CE与⊙O相切于点C，∴CE⊥OC，∴∠OCE＝90°，∵∠E＝40°，∴∠COE＝90°﹣∠E＝90°﹣40°＝50°，∴∠ADC＝∠OCD＝×（180°﹣50°）＝65°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，故选：B．6．（2分）（2022秋•阜宁县期末）如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠DAC＝25°，AD＝CD，则∠BAC的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．50°解：连接BD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠DBC＝25°，∵DA＝DC，∴弧AD＝弧CD，∴∠DBC＝∠ABD＝25°，∴∠ABC＝50°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°．故选：C．7．（2分）（2022秋•蜀山区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC经过圆心O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E，AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（）A．30° B．35° C．40° D．50°解：连接OA，OD，如图，∵∠B＝60°，OA＝OB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝∠BAO＝60°，又∵AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∴∠DAO＝120°﹣60°＝60°，又∵OA＝OD，∴△ADO为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴∠DOC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，又∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°．故选：A．8．（2分）（2023•原平市模拟）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，以点A为圆心，AD长为半径画弧分别交AB，AC于点E，F，过点E作EG⊥AC于点G，交AD于点H，若AB＝6，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝6，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝3，∴AD＝3，∵AE＝AF＝AD＝3，∴△AEF是等边三角形，∵EG⊥AC于点G，∴EG是∠AEF的角平分线，EG＝AE＝，∴H是△AEF的重心，∴S△AEF＝＝＝，∴图中阴影部分的面积＝﹣×＝﹣．故选：A．9．（2分）（2023•婺城区校级模拟）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B． C．10 D．34解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，∵PG2+PF2＝2PN2+2FN2，∴当PN最小时，PF2+PG2的值最小，此时点P在MN上，∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，∴GF＝DE，MN＝EF，∴MP＝FN＝DE＝2，∴NP＝MN﹣MP＝EF﹣MP＝1，∴PF2+PG2＝2PN2+2FN2＝2×12+2×22＝10．故选：C．10．（2分）（2023•十堰）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为（）A．4 B．7 C．8 D．解：如图，连接CD，在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB＝EC，∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，如图，作BM⊥AC于点M，∵OF⊥AC，∴AF＝CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF＝60°，∴∠EGF＝30°，∵EG＝2，∴EF＝1，∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4，∴AC＝8，EC＝5，∴BC＝5，∵∠BCM＝60°，∴∠MBC＝30°，∴CM＝，BM＝CM＝，∴AM＝AC﹣CM＝，∴AB＝＝7．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•阿瓦提县模拟）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线AB＝5米，半径OB＝4米，则圆锥的侧面积是20π平方米（结果保留π）．解：∵OB＝4米，AB＝5米，∴圆锥的底面周长＝2×π×4＝8π米，∴S扇形＝lr＝×8π×5＝20π米2．故答案为：20π．12．（2分）（2023春•富锦市校级期中）将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为4cm．解：作半径OC⊥AB于D点，连接OA、AC，如图，∵点C与点O关于AB对称，即AB垂直平分OC，∴AO＝AC，AD＝BD，而OA＝OC，∴OA＝OC＝AC，∴△OAC为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴AD＝OD＝2cm，∴AB＝2AD＝4cm．故答案为4cm．13．（2分）（2023•通榆县模拟）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边AB上，连接CE，若∠ABC＝70°，则∠AEC＝110°．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝70°，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，∵点D关于AC的对称点E在边AB上，∴△ADC≌△AEC，∴∠D＝∠AEC＝110°，故答案为：110．14．（2分）（2023•长阳县一模）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，则图中阴影部分的面积为6π．解：连接OD，OC，OC交BD于点E，过点O作OF⊥CD于点F，则：OD＝OC＝OB；∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACD＝30°，AB＝12，∴，∵BC＝CD，为半圆，∴，∵OD＝OC＝OB，∴，△COD为等边三角形，∴OE⊥BD，BD＝2BE，，∴，，，∴，∴S阴影＝S扇形OCB+S△OCD﹣S△OBD＝＝6π．故答案为：6π．15．（2分）（2023•呼和浩特）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是120度，该圆锥的侧面积是3π（结果用含π的式子表示）．解：∵圆锥的高为，母线长为3，∴圆锥底面圆的半径为：，∴圆锥底面圆的周长为：2π．设展开图（扇形）的圆心角是n°，依题意得：，解得：n＝120°，圆锥的侧面积是：．．故答案为：120，3π．16．（2分）（2022秋•连云港期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠CEO度数为50°．解：连接OD．∵CD＝OE，OE＝OD，∴CD＝OD，∵∠C＝25°，∴∠DOC＝∠C＝25°，∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝50°．故答案为：50．17．（2分）（2023•淮阳区三模）如图，在扇形OBA中，∠AOB＝135°，AC∥OB，交于点C，过点C作AC的垂线，交OB于点D．若OA＝2，则图中阴影部分的面积之和为π﹣3．解：连接OC，AD，过点D作DE⊥OA于E，∵AC∥OB，∴∠AOB+∠OAC＝180°，∵∠AOB＝135°，∴∠OAC＝180°﹣135°＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC＝2，∴AC＝2，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴∠OCD＝90°﹣45°＝45°，∵∠AOB＝135°，∠AOC＝90°，∴∠COD＝135°﹣90°＝45°，∠DOE＝45°，∴∠CDO＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴CD＝OD＝，∵DE⊥AO，∴∠DEO＝90°，∴△ODE是等腰直角三角形，∴DE＝OE＝1，∴图中阴影部分的面积之和＝S扇形﹣S△ACD﹣S△AOD＝﹣＝π﹣3．故答案为：π﹣3．18．（2分）（2023•武侯区校级模拟）如图，多边形ABCDE为⊙O内接正五边形，PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝36°．​解：连接OB，OA，∵多边形ABCDEF是正多边形，∠AOB＝＝72°，∴∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝54°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°．∴∠BAP＝90°﹣54°＝36°．故答案为：36°．19．（2分）（2023•碧江区校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，Q是矩形ABCD左侧一点，连接AQ、BQ，且∠AQB＝90°，连接DQ，E为DQ的中点，连接CE，则CE的最大值为6．解：延长DC到点F，使CF＝DC，取AB中点O，连接FO并延长交⊙O于点Q，取CD中点G，连接OG，则OG⊥CD，∵点E为DQ中点，点C为DF中点，∴EC为△DQF中位线，∵OG＝AD＝8，GF＝CG+CF＝2+4＝6，∴OF＝，∴QF＝QO+OF＝2+10＝12，∵Q为圆上一动点，∴此时FQ＝12为最大值，∴CE的最大值为．故答案为：6．20．（2分）（2023•金牛区模拟）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，点E是线段DC上一个动点，分别以DE、EC为边向线段DC的下方作正方形DEFG、正方形CEHI，连接GI，过点B作直线GI的垂线，垂足是J，连接AJ，求点E运动过程中，线段AJ的最大值是10+2．解：如图，取GI中点P，以PB为直径作⊙O，连接AO并延长交⊙O于点J，作OM⊥AC于M，作PQ⊥AB于Q，交OM、DC于点N、K，∴PK是梯形DGIC中位线，∵DC＝8，∴PK＝（CI+DG）＝4，∵P是GI中点，∴P到DG、CI的距离均为4，∴P一定是以DC为边的正方形的中心点，∴J一定在以BP为直径的圆上运动，∴当AJ过点圆心O时，AJ最大，∵AB＝8，∴QB＝4，∵AD＝12，∴PQ＝16，∵QB＝4，∴BP＝＝4，∴OJ＝2，∵PQ＝16，∴QN＝AM＝8，∵ON＝QB＝2，∴OM＝6，∴AO＝10，∴AJ＝10+2．故答案为：10+2．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•槐荫区期末）如图所示的拱桥，用表示桥拱．（1）若所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图痕迹）（2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径R．解：（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O即为所求作的圆心．（如图1）（2分）（2）连接OA．（如图2）由（1）中的作图可知：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH＝4，∴AH＝AB＝8．（3分）∵GH＝4，∴OH＝R﹣4．在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，∴R2＝82+（R﹣4）2．（4分）解得：R＝10．（5分）∴拱桥的半径R为10m．22．（6分）（2023•永寿县二模）如图，AB为⊙O的直径，DE切⊙O于点E，BD⊥DE于点D，交⊙O于点C，连接BE．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．解：（1）如图，∵DE切⊙O于点E，∴OE⊥ED，∵BD⊥DE，∴OE∥BD，∴∠OEB＝∠EBD，∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠EBD＝∠OBE，∴BE平分∠ABC；（2）连接AC，过点E作EM⊥AB于点M，∵BE平分∠ABD，∴ED＝EM，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACD＝∠D＝∠DEF＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴DE＝CF＝AC，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，则EM＝ED＝CF＝AF＝AC＝4．∴OF＝＝＝3，∴EF＝OE﹣OF＝2，∴CD＝EF＝2．23．（8分）（2022秋•信都区校级期末）如图，在Rt△ABC中，BC＝8，∠BAC＝30°，点E，F为边AB上的动点，点D是EF的中点，以点D为圆心，DE长为半径在△ABC内作半圆D．（1）若EF＝2，P为弧EF的中点，则在半圆D移动的过程中，求CP的最小值．（2）当半圆D同时与Rt△ABC的两直角边相切时，求EF的长．解：（1）连接DP，CP，当C，P，D三点共线，且CD垂直AB时，CP的值最小，∵在Rt△ABC中，BC＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝16，，∴，∵，∴，∴CP的最小值是．（2）设半圆D分别与边BC、CA相切于点M、N，连接DM、DN，则DM⊥BC，DN⊥AC，DM＝DN＝DF，∵∠BCA＝90°，∴四边形CNDM是正方形，∴CM＝DM，DM∥CN，∴△BMD∽△BCA，∴，设DM＝x，则BM＝8﹣x，∵BC＝8，，∴，解得．∴．24．（8分）（2023•银川校级四模）如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．（1）求证：⊙D与AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．（1）证明：过D作DF⊥AC于F，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴BD＝DF，∴⊙D与AC相切；（2）解：设圆的半径为x，∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，∴AB＝＝4，∵AC，BC，是圆的切线，∴BC＝CF＝3，∴AF＝AB﹣CF＝2，∵AB＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，解得：x＝，∴AE＝4﹣3＝1．25．（8分）（2022秋•泰兴市期末）如图，点A在⊙O的直径CD的延长线上，点B在⊙O上，连接AB、BC．（1）给出下列信息：①AB＝BC；②∠A＝30°；③AB与⊙O相切．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明．你选择的条件是①②，结论是③（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形）．（2）在（1）的条件下，若AB＝6，求图中阴影部分的面积．解：（1）若AB＝BC，∠A＝30°，则AB与⊙O相切．理由如下：连接OB，如图，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A＝30°，∵∠AOB＝2∠C＝60°，∴∠OBA＝180°﹣∠A﹣∠AOBC＝90°，∴OB⊥AB，∴AB与⊙O相切；故答案为：①②，③（答案不唯一）；（2）过O点作OH⊥BC于H点，如图，则BH＝CH＝BC＝AB＝3，在Rt△AOB中，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，OB＝AB＝×6＝2，在Rt△OCH中，∵∠C＝30°，∴OH＝OC＝，∴图中阴影部分的面积＝S扇形BOD+S△BOC＝+×6×＝2π+3．26．（8分）（2023•大连）如图1，点A，B，C在O上，AC是⊙O的直径，AD平分∠BAC，与⊙O相交于点D．连接OD，与BC相交于点E．（1）求∠OEC的度数．（2）如图2，过点A作⊙O的切线，与CB的延长线相交于点F，过点D作DG∥FA，与AC相交于点G．若AD＝2，DE＝4，求DG的长．解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠OAD，∵OAD＝∠ODA，∴∠BAD＝∠ODA，∴AB∥OD，∴∠B＝∠OEC，∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∴∠OEC＝90°；（2）连接DC，如图：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，设半径为r，则OA＝OD＝OC＝r，OE＝r﹣4，AB＝2OE＝2r﹣8，AC＝2r，在Rt△ADC中，DC2＝AC2﹣AD2＝CE2+DE2＝OC2﹣OE2+DE2，∴（2r）2﹣（2）2＝r2﹣（r﹣4）2+42，解得r＝7或﹣5（舍去），∴AC＝14，DC＝，∵AF是切线，∴AF⊥AC，∵DG∥FA，∴DG⊥AC，∴S△ADC＝＝，∴＝，解得DG＝2．27．（8分）（2023•乌当区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DM＝DE，DE⊥AD交点E，AE为⊙O的直径，DF⊥AB．（1）求证：∠CAD＝∠DAB；（2）若DM平分∠ADC，求∠CAD的度数；（3）若AD＝BD＝6cm，求图中阴影部分的面积．（1）证明：∵DM＝DE，∴＝，∴∠CAD＝∠DAB；（2）解：连接OM，OD，作OH⊥MD于H，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠CAD＝∠DAB，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵∠C＝90，∴AC⊥BC，∴OD⊥BC，∴∠MDC+∠MDO＝90°，∵OM＝OD，OH⊥MD，∴∠DOH＝∠MOD，∵∠CAD＝∠MOD，∴∠CAD＝∠DOH，∵∠DOH+∠MDO＝90°，∴∠DOH＝∠CDM，∴∠CAD＝∠CDM，∵DM平分∠ADC，∴∠CDM＝∠ADM，∵∠CAD+∠ADM+∠CDM＝90°，∴∠CAD＝30°；（3）解：∵DA＝DB，∴∠DAB＝∠B，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠DOB＝∠DAB+∠ADO＝2∠B，∵∠DOB+∠B＝90°，∴∠B＝∠DAB＝30°，∴∠BOD＝60°，∵AD＝6cm，∴DF＝AD＝3cm，∴OF＝FD＝cm，∴OD＝2OF＝2cm，∴扇形ODE的面积