第4章三角形单元测试（能力提升）（备作业）2021-2022学年七年级数学下册(北师大版)2

第4章三角形单元测试（能力提升）一、单选题1．中，中线AD，BE相交于点F，若的面积为2，则的面积为（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】A【解析】【分析】连接CF，过点F作，交AE于点H，得出，同理,，可得，所以可求结果．解：如图，连接CF，过点F作，交AE于点H，∵点E是AC中点，∴AE=CE，则，，∴，∴，同理，，由，∴，则，同理，∴S△ABC＝2S△ABE＝2×6＝12．故选：A．【点睛】本题考查了三角形中线的定义及性质，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积．2．三角形三条高的交点一定在A．三角形内部 B．三角形外部C．三角形内部或外部 D．以上说法都不完整【答案】D【解析】【分析】分别指出锐角三角形，直角三角形，和钝角三角形的三条高线交点的位置即可求解．解：锐角三角形三角形三条高的交点在三角形内部，直角三角形三角形三条高的交点在三角形直角顶点，钝角三角形三角形三条高所在直线的交点在三角形外部，综上所述，、、说法都不完整．故选：．【点睛】本题考查三角形的高的交点，掌握三角形中锐角三角形，直角三角形，钝角三角形高的画法与交点的位置是解题关键．3．如图，在中，，AE是的外角的平分线，BF平分与AE的反向延长线相交于点F，则为（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】C【解析】【分析】设∠ABF=x，根据BF平分得到∠ABC=2x，求出∠DAB=90°+2x，利用AE是的平分线，得到∠EAB=45°+x，结合三角形外角性质得到答案．解：设∠ABF=x，∵BF平分，∴∠ABC=2∠ABF=2x，∵，∴∠DAB=∠C+∠ABC=90°+2x，∵AE是的平分线，∴∠EAB=45°+x，∵∠EAB=∠ABF+∴=45°故选：C．【点睛】此题考查了角平分线计算，三角形的外角性质，综合考查了分析能力及推理论证能力，属于基础题型．4．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是（）A．AB=3，BC=4，AC=8 B．∠A=100°，∠B=45°，AB=5C．AB=3，BC=5，∠A=75° D．∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°【答案】B【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．解：A、3+4<8，不符合三角形三边关系定理，不能画出三角形，故本选项错误；B、根据∠A=100°，∠B=45°，AB=5能画出唯一△ABC，故此选项正确；C、AB=3，BC=5，∠A=75°，不能画出唯一三角形，故本选项错误D、∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，不能画出唯一三角形，故本选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．5．如图，已知，平分，若，，则的度数是（

）A．50° B．44° C．34° D．30°【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质求出∠BCD,再求出∠B,然后利用全等三角形的性质求∠E即可．解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝30°，∵∠CGF＝∠D+∠BCD，∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，∴∠BCA＝116°，∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝34°，故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．6．如图，，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠D＝25°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，则∠DGB的度数为（

）A．66° B．56° C．50° D．45°【答案】A【解析】【分析】先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得的度数，然后根据对顶角相等可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可得．，，，，，，解得，，在中，，，，解得，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．7．将一副直角三角尺如图放置，已知∠EAD=∠E=45°，∠C=30°，AE∥BC，求∠AFD的度数，以下是打乱的推理过程：①∵∠E=45°，②∴∠AFD=∠E＋∠EAC=45°＋30°=75°；③∵∠C=30°，AE∥BC，④∴∠EAC=∠C=30°．推理步骤正确的是（）A．①②③④ B．①④③② C．③④①② D．③②①④【答案】C【解析】【分析】本题考查的是平行线的性质以及三角形外角与内角的关系．因为∠AFD是△AFE的一个外角，已知∠E度数，利用平行线性质求出∠EAC即可求解．解：∵∠C＝30°，AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝30°，∵∠E＝45°．∴∠AFD＝∠E＋∠EAC＝45°＋30°＝75°．故选：C【点睛】解题关键是要熟练掌握平行线的性质以及三角形外角与内角的关系．8．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法，从①②③④中找出能够判定三角形全等的条件即可；解：∵∴，即，当①时；在和中，∴，故①符合条件；当②时在和中，不能判定全等，故②不符合条件；当③时；在和中，∴，故③符合条件；当④时在和中，∴，故④符合条件；故①③④都符合条件，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，添加一个条件能够使，关键是要熟练掌握三角形全等的判定定理：，，，，记住它们代表的意义．9．在数学课上，老师让每个同学拿一张三角形纸片，，设，要求同学们利用所学的三角形全等的判定方法，剪下两个全等的三角形．下面是四位同学的裁剪方法，如图，剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】C【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理一一排查即可．如图1中，∵AB=AC，∴∠B=∠C，，BE=FC=2，∠B=∠C，BF=CG=3，△EBF≌△FCG（SAS），剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有，，如图2，∵AB=AC，∴∠B=∠C，BE=CG=3，∠B=∠C，BF=CF=2.5，△BEF≌△CGF（SAS），剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片，，如图3，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠EFG=，∴∠BEF+∠EFB=180ºxº=∠EFB+∠GFC，∴∠BEF=∠GFC，BE的对应边是FC，相等情况不确定，△BEF与△CGF全等不确定，如图4，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠EFG=，∴∠BEF+∠EFB=180ºxº=∠EFB+∠GFC，∴∠BEF=∠GFC，EB=FC=2，∠B=∠C，△BEF≌△CFG（ASA），剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片．故选择：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，从图形中找到三角形全等的条件是否充足，够条件可以断定，条件不够或不确定就不断定．10．如图，在中，平分，过点作，交于点，交于点，作的平分线交于点，交于点，若，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】先根据两条角平分线和∠B的度数，得出∠APC的度数，随后即可得出∠PCD的度数，即可判断①正确；根据角的等量转换得出，然后根据已知可得出∠BAD+∠BCP的度数，即可得出∠AFC+∠DCG的和，即可判断②正确；由题目中的已知条件无法证明③；在上截取一点H，使AH=AF，然后根据已知条件，证明和，从而得到，即可得到所求，即④正确；作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q，根据角平分线的性质可得PM=PN=PQ，然后即可推出，则⑤正确．解析：①∵AD平分∠BAC，CF平分∠ACB，∠B=60°，∴，，∴，故①正确；②∵CF平分∠ACB，AD平分∠BAC，∴∵∴，故②正确；③由题目中的已知条件无法证明BG=AE，故③错误；④在上截取一点H，使AH=AF∵AD为∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∴由②知∴∴∴∴，∴，故④正确；⑤作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q，则PM=PN=PQ，∵S△APF=AF×PM，S△CPG=CG×PQ，S△APC=AC×PN，∴S△APF+S△CPG=S△APC，故⑤正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了学生的推理论证能力，解题关键是利用角平分线的性质和已知条件．二、填空题11．如果△ABC中，两边a＝7cm，b＝3cm，则c的取值范围是_________；第三边为奇数的所有可能值为_________；周长为偶数的所有可能值为_________．【答案】

4cm＜c＜10cm

5cm、7cm、9cm

16cm或18cm【解析】根据三角形的三边关系，得7cm−3cm<c<7cm+3cm，即4cm<c<10cm；当第三边是奇数时，则第三边所有可能值为5cm、7cm、9cm；若周长是偶数，其它两边之和是10，则第三边应取偶数，即6cm、8cm，则c=16cm或18cm.故答案为4cm<c<10cm；5cm、7cm、9cm；16cm或18cm.12．如图，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，CM平分AB，CE平分∠DCM，则∠ACE的度数是______．【答案】45°【解析】∵△ABC中,∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B，∵CM平分AB，∴AM=BM=CM，∴∠BCM=∠B，∴∠BCM=∠ACD，∵CE平分∠DCM，∴∠DCE=∠MCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCM+∠MCE=∠ACB=12×90°=45°，故答案为45°.点睛：本题考查了直角三角形的性质及角分线的定义.先根据直角三角形的性质得出∠ACD=∠B，AM=BM=CM，故可得出∠BCM=∠B，所以∠BCM=∠ACD，再由CE平分∠DCM可知∠DCE=∠MCE，故∠ACD+∠DCE=∠BCM+∠MCE=∠ACB，故可得出结论．13．已知：如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交、于点D、E，且．若，则的周长为______．【答案】【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线性质，可△OBD，△EOC为等腰三角形，由此把△ADE的周长转化为AC+AB.∵，∴，又∵是的角平分线，∴，∴，∴，同理，∴的周长．故答案为：14cm【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，正确证明△OBD，△EOC均为等腰三角形是关键.14．如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．【答案】180°.【解析】【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4=90°，∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．故答案为：180．【点睛】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．15．如图所示，，，，，，则的度数是______．【答案】58°【解析】【分析】根据角的和差可得∠1=∠EAC，然后利用SAS证明ΔBAD≌ΔCAE，得到∠ABD=∠2=30°，最后根据三角形外角的性质可得答案．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠1=∠EAC，在ΔBAD与ΔCAE中，，∴ΔBAD≌ΔCAE(SAS)，∴∠ABD=∠2=30°，∵，∴∠3=∠ABD+∠1=30°+28°=58°．故答案为：58°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．16．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则m+n_____b+c．（填>、≥、<、≤、=、≠）．【答案】＞【解析】【分析】在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE=PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c．解：在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n＞b+c．故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m、n、b、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．17．如图，，分别是的边，上的点，连接，将沿DE折叠得到，交于点，过点作，交于点，已知，，那么______°．【答案】50【解析】【分析】由折叠可得，由可知，由为的外角，得出，故，得出，，即可求出的度数．解：∵，且∴∵为的外角∴由折叠可得∴∴解得：，故答案为：50．【点睛】本题考查图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角，解题的关键是找出题中的等量关系，利用方程思想来解决问题．18．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t=__________s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．【答案】1或或12【解析】【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论．解：当E在BC上，D在AC上，即0＜t≤时，CE=（83t）cm，CD=（6t）cm，∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．∴CD=CE，∴83t=6t，∴t=1s，当E在AC上，D在AC上，即＜t＜时，CE=（3t8）cm，CD=（6t）cm，∴3t8=6t，∴t=s，当E到达A，D在BC上，即≤t≤14时，CE=6cm，CD=（t6）cm，∴6=t6，∴t=12s，故答案为：1或或12．【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况下CD和CE的长．三、解答题19．已知的三边长均为整数，的周长为奇数．（1）若，，求AB的长．（2）若，求AB的最小值．【答案】（1）7或9；（2）6．【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，再由AB为奇数即可得出结论；（2）根据AC﹣BC=5可知AC、BC中一个奇数、一个偶数，再由△ABC的周长为奇数，可知AB为偶数，再根据AB＞AC﹣BC即可得出AB的最小值．（1）∵由三角形的三边关系知，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：8﹣2＜AB＜8+2，∴6＜AB＜10，又∵△ABC的周长为奇数，而AC、BC为偶数，∴AB为奇数，故AB=7或9；（2）∵AC﹣BC=5，∴AC、BC中一个奇数、一个偶数，又∵△ABC的周长为奇数，故AB为偶数，∴AB＞AC﹣BC=5，∴AB的最小值为6．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．20．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：(1)BD=DE+CE；(2)△ABD满足什么条件时,BD∥CE．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ADB=90°．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可．解：(1)∵△BAD≌△ACE，∴BD=AE，AD=CE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=DE+CE；(2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE，理由是：∵△BAD≌△ACE，∴∠E=∠ADB=90°，∴∠BDE=180°−90°=90°=∠E，∴BD∥CE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力．21．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝30°，求∠BED的度数；（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD的长度．【答案】（1）47°；（2）3【解析】【分析】（1）先求出∠ABE的度数，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而可求∠BED的度数；（2）由AD，BE是三角形的中线，可得到S△ABD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，再由S△BDF＝，可求得BD的长度，从而可求CD的长度．解：（1）∵∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∴∠ABE＝35°﹣18°＝17°，∴∠BED＝∠ABE＋∠BAD＝17°＋30°＝47°；（2）∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ABC．又∵S△ABC＝30，∴S△ABD＝×30＝15．又∵BE为△ABD的中线，∴S△BDE＝S△ABD＝×15＝．∵EF⊥BC，且EF＝5，∴S△BDE＝•BD•EF，∴•BD×5＝，∴BD＝3，∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝3．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，以及三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等是解答本题的关键．22．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．(1)请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；(2)如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离并简述理由．【答案】(1)图略(2)AB＝60m【解析】分析：（1）认真读题，根据题意画出示意图；（2）结合题意分别求出AC、DC、DE的长，易得：AC=DC，∠BAC=∠EDC，∠DCE=∠ACB，根据全等三角形的判定定理可得△ABC≌△DEC，进而得到AB=DE，据此，可得出结果.本题解析：（1）根据题意画出图形，如图所示.（2）A、B两根电线杆之间的距离大约为36m.理由如下.∵∠BAC=∠EDC=90°，60cm=0.6m，∴AC=20×0.6=12m，DC=20×0.6=12m，DE=100×0.6=60m.∵点E、C、B在一条直线上，∴∠DCE=∠ACB.∵∠BAC=∠EDC=90°，AC=DC，∠DCE=∠ACB，∴△ABC≌△DEC.∴AB=DE.∵AB=DE，DE=60m，∴AB=60m.故A、B两根电线杆之间的距离大约为60m.点睛：本题主要考查了全等三角形的应用，正确画出示意图，得到△ABC≌△DEC是解答此题的关键.23．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，CE交BA于点D，CE交BF于点M．求证：（1）EC＝BF；（2）EC⊥BF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）先利用SAS证明△ABF≌△AEC即可得到EC＝BF；（2）根据（1）中的全等推得∠AEC＝∠ABF，根据∠BAE＝90°，∠AEC+∠ADE＝90°，再根据对顶角相等，等量代换后，推得∠BMD＝90°．【解答】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF，在△ABF和△AEC中，，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF；（2）如图，由（1）得：△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝90°，∴EC⊥BF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，对顶角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．24．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在的内部，连接EB，EC，说明：（1）；（2）；（3）若，，，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】【分析】（1）在△ABO和△DCO中，根据两边之和大于第三边，列出不等式，相加即可得到结论；（2）延长BE交AC于点F．在△ABF和△CEF中根据两边之和大于第三边，列出不等式，相加即可得到结论；（3）由（2）可知，EB+EC＜13．在△EBC中，根据两边之和大于第三边，即可得到结论．（1）在△ABO中，AB＜AO+BO，①在△DCO中，CD＜CO+DO，②①+②得：AB+CD＜AO+BO+CO+DO，即AB+CD＜AC+BD．（2）如图所示，延长BE交AC于点F．∵在△ABF中，AB+AF＞BF=BE+FE，①在△CEF中，FE+FC＞EC，②由①+②得：AB+(AF+FC)+FE＞BE+EC+FE即AB+AC＞EB+EC．（3）由（2）可知，EB+EC＜13，在△EBC中，EB+EC＞BC，且BC=11，∴11＜EB+EC＜13．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．25．如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且．(1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由．(2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)不成立，，见解析【解析】【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF；（2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD．(1)EF＝BE+DF，理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；(2)（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，在BE上截取BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠EAF＝∠EAM，在△AME和△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键．26．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在边AB上，AB=4BD，连接CD，点E，F在线段CD上，连接BF，AE，∠BFC=∠AEC=180°∠ACB．（1）①∠FBC与∠ECA相等吗？说明你的理由；②△FBC与△ECA全等吗？说明你的理由；（2）若AE＝11，EF＝8，则请直接写出BF的长为；（3）若△ACE与△BDF的面积之和为12，则△ABC的面积为．【答案】（1）①见解析；②全等，理由见解析；（2）3；（3）48【解析】【分析】（1）①连接BC，由已知及∠AEC=180°∠AED，可得到∠ACB=∠AED．再证明∠CAE=∠BCF，由三角形内角和定理可得∠FBC=∠ECA；②利用“ASA”证明△FBC≌△ECA；（2）由（1）中全等三角形的结论及已知可得到BF的长；（3）由（1）中结论可得S△FBC=S△ECA，所以S△ECA+S△BDF=12=S△FBC+S△BDF=S△DBC，根据AB=4BD，可得到S△DBC=S△ABC=12，从而可得△ABC的面积．解：（1）①∠FBC=∠ECA，理由如下：∵∠BFC=∠AEC=180°∠ACB，且∠AEC=180°∠AED，∴∠ACB=∠AED．由外角定理可得∠AED=∠ACD+∠CAE，又∠ACB=∠ACD+∠BCF，∴∠CAE=∠BCF，由三角形内角和定理可得∠FBC=∠ECA；②△FBC与△ECA全等，理由如下：在△FBC和△ECA中，，∴△FBC≌△ECA（ASA）；（2）由（1）中②可知，FC=AE=11，BF=CE，又EF=8，∴CE=FCEF=118=3，∴BF=3，故答案为：3；（3）由（1）中结论可知S△FBC=S△ECA，∴S△ECA+S△BDF=12=S△FBC+S△BDF=S△DBC，又AB=4BD，∴S△DBC=S△ABC=12，∴S△ABC=48．故答案为：48．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算，三角形外角定理等知识，证明△FBC≌△ECA是解题关键．27．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，证明见解析；（3）EF＝2AD，证明见解析．【解析】【分析】（1）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，根据题意证明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根据AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可；（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，进而可知AC∥BM；（3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM≌△EAF，进而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD与EF的数量关系．（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．28．【问题】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠