2.2基本不等式教学设计件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版

2.2基本不等式课时教学目标（核心素养）必备知识重要不等式；基本不等式；了解基本不等式的代数和几何背景。关键能力理解并掌握基本不等式及其变形；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。学科素养数学运算、逻辑推理教学重点与难点1.教学重点：从不同角度探索不等式的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；2.教学难点：基本不等式等号成立条件；教学过程教学内容师生活动设计意图情境导入情境1：展示第24届国际数学家大会的会标，介绍赵爽弦图历史渊源.情境2：介绍知名校友国际数学新秀韦东奕.师：展示部分北京数学家大会的图片，介绍发展史.生：欣赏和感受数学历史文化,榜样就在我们身边.渗透德育，激发学生的民族自豪感，调动学生数学学习积极性.基本不等式问题1：在上一节我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式，请同学回忆是什么不等式？追问：不等式中的取值范国是什么？特别地，如果，，我们用，分别代替上式中的，可以得到怎样的式子？师生活动：学生回忆、表述，对于任意实数，有，当且仅当时等号成立．师生活动：生独立计算后回答．教师总结：对于任意实数，，得到，变形为，当且仅当时等号成立．此不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算，通常我们称此不等式为基本不等式．其中叫做正数的算术平均数，叫做的几何平均数．基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．通过取上一节课得到的不等式的特殊形式，得到基本不等式的定义，同时在两个不等式之间建立联系．通过分析基本不等式的代数结构特点，得到基本不等式的代数解释，初步加深对基本不等式的认识．分析法证明问题2：上节课我们看到，证明不等关系，还可以运用不等式性质，你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？追问1：你能否寻找一下此不等式成立的充分条件？也就是要证，只需要明什么，从而形成证明思路．追问2：上述证明中，每一步推理的依据是什么？追问3：上述证明方法叫做“分析法”．你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？追问4：你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？追问5：基本不等式成立的条件是什么？如果或基本不等式是否成立？追问6：“当时等号成立”“仅当时等号成立”含义分别是什么？学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明上式．教师给予肯定并追问，是否还有其它证法？由于没有已知条件，学生不知从何入手．师生活动：教师给出教科书第44页用分析法证明的过程，同时指出，只要把上述过程倒过来，就能用不等式的性质直接推出基本不等式了．师生活动：学生分别回答教科书第44页证明过程中，由=2\*GB3②=1\*GB3①，由=3\*GB3③=2\*GB3②，由=4\*GB3④=3\*GB3③，由=4\*GB3④=5\*GB3⑤=4\*GB3④的依据．师生活动：学生讨论后回答．教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．师生活动：学生思考后回答．教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然成立”．师生活动：学生通过证明发现均为非负数，如果存在负数时，该不等式不成立．教师指出基本不等式的定义要求均为正数．师：结合第一章我们研究的常用逻辑用语，你能否发现，“”和“等号成立”之间的关系？生：“当时等号成立”是说“”是“等号成立”的充分条件;“仅当时等号成立”是说“”是“等号成立”的必要条件，也就是“”和“等号成立”互为充要条件.师：肯定学生能够前后知识融会贯通.根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略．强调基本不等式取等条件，加深学生对于等号是否成立的理性认识.加强学生前后知识间的联系和数学应用意识.几何解释问题3：如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b,过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD，你能利用这个图形得到基本不等式的几何解释吗？师：前后4人小组，4分钟时间讨论交流.生：小组讨论，选派小组代表上台为同学展示交流成果，其他同学做补充.师：肯定小组交流成果.师：几何画板动态演示，使学生直观感受变与不变.师：引导学生总结，半径即为，，圆中直径不小于任意一条弦，当且仅当弦过圆心时，二者相等.学生自己发现基本不等式的几何解释相对较困难，给出几何图形后，引导学生将和与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变化中表现的大小关系，从而得到基本不等式的几何解释，几何画板演示增强视觉直观，数形结合.典例练习题组一.对基本不等式的理解1.已知，则的最小值为（）A.1B.2C.4D.82.已知且，则的最大值为（）A.B.1C.2D.43.给出下列条件：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)；eq\o\ac(○,4)其中能使成立的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个师：最小值的含义是什么？学生思考后回答，教师总结，即求一个实数M，使所有值都大于等于M，并且能取到M.生：第一题可以利用基本不等式求得，首先满足应用条件代入公式，求得，当且仅当=1时等号成立.师：引导学生在该题的基础之上，对基本不等式进行变形，得到（板书），总结得到“两个正数积定和最小”生：第二题符合基本不等式应用条件，代入公式求得，当且仅当=1时等号成立.师：引导学生对基本不等式进行变形得（板书），总结得到“两个正数和定积最大”生：分析基本不等式的应用前提，即两个正数，将，看作两个整体，要求a,b同号.师：学生共同总结应用基本不等式的注意事项，教师补充，即“一正，二定，三相等”(板书).题组一是典型而较为简单能够用基本不等式求解的问题，通过本例的教学，可以帮助学生理解如何直接应用基本不等式解决问题，设置三个题目，逐渐强化基本不等式的应用条件，并由学生亲自发现和总结公式变形，形成求解最值问题的数学模型，进一步发展模型思想，整体思想.由题目出发，总结易错和注意事项,加深学生对于基本不等式理解，增加学生获得感，满足感.典例练习题组二基本不等式求最值1.已知，求的最小值2.已知，求的最大值师：引导学生观察求最小值的代数式结构特点，是否可以利用基本不式？如果可以，如何求？学生：思考后，介绍解题思路.师：板书详细解题过程师：第二题，你有哪些方法可以求最大值？生：基本不等式法和函数法可以求得最大值.练习本完成.师：投影讲解，强调步骤规范性.引导学生根据所求代数式的形式，判断能否利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范.课堂小结知识要点：

（1）基本不等式的条件及结构特征

（2）基本不等式在几何、代数两方面的意义思想方法：

（1）数形结合思想

（2）整体与局部（3）模型思想师：引导同学们相互总结本节课的收获和注意事项.生：踊跃发言，从知识层