3.5探索与表达规律（分层练习）

第三章整式及其加减3.5探索与表达规律精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2022·辽宁·阜新蒙古族自治县蒙古贞初级中学七年级期末）下列图形都是由相同大小的方块按照一定规律组成的．其中第①个图形中一共有4个方块，第②个图形中一共有7个方块，第③个图形中一共有10个方块，…，照此规律排列下去，第⑧个图形中方块的个数为（

）A．25 B．27 C．28 D．31【答案】A【分析】根据各图形中方块个数的变化可得出变化规律：第n个图形有（3n＋1）个方块，再利用规律计算即可．【详解】解：观察图形可得，第①个图形有3＋1＝4个方块，第②个图形有3×2＋1＝7个方块，第③个图形有3×3＋1＝10个方块，…，∴第n个图形有（3n＋1）个方块，…，∴第⑧个图形中方块的个数为3×8＋1＝25个，故选：A．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中方块个数的变化找出变化规律是解题的关键．2．（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）现有一列数，，，…，，，，其中，，，且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（

）A．1986 B．－1986 C．2020 D．－2020【答案】B【分析】根据任意相邻三个数的和为常数列出等式，求出，，，从而得到每三个数为一个循环组依次循环，再求出，然后分组相加即可得解．【详解】解：任意相邻三个数的和为同一常数，，，，，，，，，，，，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了规律型数字的变化类，求出每三个为一个循环组依次循环是解题的关键．3．（2021·湖南·常德市第二中学八年级期中）一列数，，，，其中，，，，，则（

）A． B．1 C．2020 D．【答案】B【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得所求式子的值．【详解】解：由题意可得，，，，，，即这列数依次以，，2循环出现，，，，故选：B．【点睛】本题考查数字的变化特点，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．4．（2022·湖南衡阳·八年级期末）公园内有一段矩形走道，其地面使用灰色与白色两种全等的等腰直角三角形地砖铺列，如图所示，若其中灰色等腰直角三角形地砖排列总共有80个，则步道上总共使用等腰直角三角形地砖（

）A．40个 B．80个 C．84个 D．164个【答案】D【分析】前面有3块白色等腰直角三角形，之后每增加两块灰色等腰直角三角形，则会增加两块白色等腰直角三角形，最后还会有一个白色等腰直角三角形，由此计算即可．【详解】解：3＋80×2＋1＝164．答：步道上总共使用164个三角形地砖．故选：D．【点睛】本题考查了图形类规律探索，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．5．（2022·新疆·和硕县第二中学七年级期末）若＝2，＝4，＝8，＝16，＝32…，则的末位数字是（）A．2 B．4 C．8 D．6【答案】B【分析】根据所给数据发现他们的个位数字以2、4、8、6为一个循环组，依次循环，然后计算即可．【详解】解：由＝2，＝4，＝8，＝16，＝32，…，可知他们的个位数字以2、4、8、6为一个循环组，依次循环，∵2022÷4＝505……2，∴的末位数字与的末位数字相同，∴的末位数字是4，故选：B．【点睛】本题考查了数字类规律探索，观察所给数据得出末位数字的变化规律是解题的关键．6．（2020·吉林·德惠市第三中学七年级阶段练习）按如图的方式摆放餐桌和椅子，n张餐桌可以摆放多少把椅子？（）A．4n+2 B．4n+1 C．5n+2 D．5n﹣2【答案】A【分析】从餐桌和椅子的摆放方式，可总结出每多放一张桌子，就多放4把椅子，由此得出n张餐桌拼放在一起可摆放的椅子数．【详解】解：由图可知，1张餐桌可摆6把椅子，6=2+4×1；2张餐桌拼放在一起可摆10把椅子，10=2+4×2；3张餐桌拼放在一起可摆14把椅子，14=2+4×3；即每多放一张桌子，就多摆放4把椅子，所以n张餐桌拼放在一起可摆放椅子数为：2+4n；故选：A．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到n张餐桌拼放在一起可摆放椅子的数量．二、填空题7．（2021·四川·荣县一中七年级阶段练习）观察这些数的规律，3，8，15，24，35，…则第10个数是______．【答案】【分析】不难发现每个数的绝对值都是从开始的自然数的平方减，且第奇数个数是正数，第偶数个数是负数，由此即可解答．【详解】解：；；；；；第个数是，故答案为：【点睛】此题考查了数字变化的规律，根据数字变化的正负性确定数字变化的规律是解题的关键．8．（2020·浙江·余姚市高风中学七年级期中）若a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，1的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，以此类推，则_______．【答案】【分析】根据题意，可以写出这列数的前几个数，然后即可发现数字的变化特点，得到变化规律，利用变化规律求解即可．【详解】解：由题意可得，，，，，…，由上可得，这列数依次以，，2依次出现，∴=(2)=1，∵2020÷3=673….1，∴=1=，故答案为：．【点睛】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，利用变化规律求值．9．（2022·海南·海口中学七年级期末）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折两次后，可以得到3条折痕，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折6次可以得到______条折痕，对折n次可以得到______条折痕．【答案】

63

【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数，据此求解即可．【详解】解：第一次对折后折痕的条数为，第二次对折后折痕的条数为，第三次对折后折痕的条数为，……第次对折后折痕的条数为，当n=6时，，故答案为：①63；②．【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．10．（2021·云南省元谋县第一中学七年级期中）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第10个图形有________个小圆．【答案】114【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4，依此列出方程即可求得答案．【详解】解：根据图形可知：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；···则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4；故第10个图形有小圆的个数为．故答案为：114．【点睛】本题主要考查了图形的规律以及数字的规律，仔细观察图形，通过归纳总结找出其中的规律，是解题的关键．三、解答题11．（2021·新疆·昌吉市第二中学七年级期中）用黑白两种颜色的正六边形地面砖中力所示的规律，拼成若干图案．(1)第1个图形中有白色地砖块；第2个图形中有白色地砖块；第3个图形中有白色地砖块；第4个图形中有白色地砖块；(2)求第n个图案中有白色地砖的块数，并求出n＝100时白色地砖的块数．【答案】(1)6；10；14；18；(2)402块．【分析】（1）观察前3个图形的变化即可得结论；（2）结合（1）得到规律，进而运用规律即可得结论．（1）解：第1个图形中有白色地砖6块，即4×1+2=6；第2个图形中有白色地砖10块，即4×2+2=10；第3个图形中有白色地砖14块，即4×3+2=14．第4个图形中有白色地砖4×4+2=18（块）；故答案为：6；10；14；18；（2）解：根据（1）可知：第n个图案中，白色地砖共（4n+2）块．所以n=100时，白色地砖共4×100+2=402（块）．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律．12．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）用火柴棒按如图的方式搭图形．(1)按图示规律完成下表：图形标号①②③④⑤……火柴棒根数59……(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？(3)搭第2022个图形需要多少根火柴棒？【答案】(1)13，17，21(2)(3)8089【分析】（1）根据后面的图形比前面的图形多4根火柴棒的规律填表即可；（2）根据（1）的规律列式即可；（3）将代入（2）中的代数式即可．（1）解：根据图示得，后面的图形比前一个的图形多4根火柴棒，故填表为：图形标号①②③④⑤……火柴棒根数59131721……故答案为：13，17，21；（2）解：分析表格中数据可知，搭第1个图形，需要火柴棒根数为：；搭第2个图形，需要火柴棒根数为：；搭第3个图形，需要火柴棒根数为：；搭第4个图形，需要火柴棒根数为：；搭第5个图形，需要火柴棒根数为：；……因此搭第n个图形需要火柴棒根数为：．（3）解：当时，，因此搭第2022个图形需要8089根火柴棒．【点睛】本题考查图形类规律探索，涉及到列代数式、代数式求值等，根据所给图形找出变化规律是解题的关键．提升篇提升篇一、填空题1．（2022·西藏·江达县第二初级中学校七年级期末）观察下列等式：第1个

1＝12第2个

2+3+4＝32第3个

3+4+5+6+7＝52第4个

4+5+6+7+8+9+10＝72

…探究其中的规律，写出第n个等式（n为正整数）：__________________________．【答案】【分析】根据前4个等式，找到规律，左边为序数开始，连续自然数的和，个数为序数的2倍减1个，等式的右边为左边数字个数的平方，据此即可求解．【详解】解：第1个：1＝12第2个：2+3+4＝32第3个：3+4+5+6+7＝52第4个：4+5+6+7+8+9+10＝72…第个：即故答案为：【点睛】本题考查了数字类规律题，找到规律是解题的关键．2．（2022·广西南宁·七年级期末）如图，将一个正方形，第1次向右平移一下，平移的距离等于对角线长的一半，即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合，并把重叠部分涂上颜色；第2次向右平移连续平移两次，每次平移的距离与第一次平移的距离相同，并且每平移一次把重叠部分涂上颜色，……，则第2022次平移后所得到的图案中所有正方形的个数是______．【答案】8087【分析】根据平移的性质和图示总结出规律，得出第n次平移后所得的图案中正方形的个数，再将次数代入即可求出答案．【详解】第一次平移形成3个正方形，；第二次平移形成7个正方形，；第三次平移形成11个正方形，；即第n次平移后可得到的正方形个数为，；将代入可得，，故答案为8087．【点睛】本题考查了平移的性质和规律的推算，根据前三次平移情况总结出规律，得出第n次平移后所得的图案中正方形的个数为本题的关键．3．（2022·山东威海·期末）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆周上4等分点处分别标上数字0、1、2、3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示数的点对应圆周上的数字是__________．【答案】3【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合．【详解】解：∵1（2022）=2021，2021÷4=505…1，∴数轴上表示数2022的点与圆周上的数字3重合，故答案为：3．【点睛】本题找到表示数2022的点与圆周上起点处表示的数字重合，是解题的关键．4．（2022·全国·七年级专题练习）用同样大小的黑色棋子按图1～图4所示的规律摆放下去，那么，第5个图形中黑色（不棋子个数为_____个；第n个图形中黑色棋子的个数S与n的关系式为__________（不用写出自变量n的取值范围）．【答案】

64

【分析】第1个图形中黑色棋子的个数为：，第2个图形中黑色棋子的个数为：，第3个图形中黑色棋子的个数为：，由此得到规律进行求解即可．【详解】解：第1个图形中黑色棋子的个数为：，第2个图形中黑色棋子的个数为：，第3个图形中黑色棋子的个数为：，∴第5个图形中黑色棋子的个数为：；∴第n个图形中黑色棋子的个数为：，故答案为：64；．【点睛】本题主要考查了与图形有关的规律题，正确理解题意找到对应的规律是解题的关键．5．（2022·山东日照·八年级期末）观察下列各式：，，，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为___________．【答案】【分析】直接根据已知数据变化规律，进而将原式变形为，进行计算即可解答．【详解】由题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的运算，规律性：数字的变化类，正确将原式变形是解题的关键．二、解答题6．（2022·河南·郑州市第五十七中学七年级期末）下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题图形标号第一个第二个第三个第四个涂有阴影的小正方形的个数5a13b(1)a＝_____，

b＝_____；(2)按照这种规律继续下去，则第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为___________；（用含n的代数式来表示）(3)按照这种规律继续下去，用（2）中的代数式求第2022个图形中涂有阴影的小正方形的个数．【答案】(1)9；17(2)4n+1(3)8089根【分析】（1）观察图形规律，可知第1个小正方形阴影有5个，第2个小正方形阴影有5+4=9个，第3个小正方形阴影有5+4×2=13个，以此类推，可知第4个为5+4×3=17个；（2）第n个为5+4（n1）=；（3）将代入即可．（1）第2个小正方形阴影有5+4=9个；第4个小正方形阴影有5+4×3=17个故答案为：9，17；（2）观察图形规律，可知：第1个小正方形阴影有5个，第2个小正方形阴影有5+4=9个，第3个小正方形阴影有5+4×2=13个，以此类推，第n个为5+4