专题12比例式等积式的常见证明方法-2021-2022学年九年级数学上册常考题专练（北师大版）

专题12比例式、等积式的常见证明方法题型一找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，中，、分别是、上的点，且，．（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1），，，，，，；（2），，，，．2．如图，已知在中，平分交于，点在延长线上，且．（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1）平分，，．即，；（2），，，，，，，，即．3．已知如图：在中，，在上，且交于，点在上，且．求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1）在中，，．，．．．（2）证明．，．．．．．4．如图，已知四边形的对角线、交于点，点是上一点，且，．（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1），，，，，；（2），，，，，即：．5．如图，在中，和是的高，连接．（1）求证：；（2）求证：．【解答】解：（1）证明：在中，和是的高，．又，；（2），．．又，．．．6．已知：如图，四边形的对角线和相交于点，，，求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1），，，，，，，，，，（2），，同法可得，，，，，，．7．中，点在的延长线上，点在边上，、交于点，，，，（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1），，，，，，；（2），，，．题型二利用等线段代换8．如图，在四边形中，，与相交于点，．求证：．【解答】证明：，，，，，，，即，，；9．如图，中，是中线，且．求证：．【解答】证明：是中线，，，，，，，，．10．如图，已知在中，，平分，，点在线段的延长线上，联结，交于点，且．（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1），，，，，，，，．（2），，，，，，，，，，，，．11．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，点在边上，，与相交于点．（1）求证：；（2）当点为中点时，求证：．【解答】证明：（1），，而，，，，，，；（2）作交的延长线于，如图，，，点为的中点，，，，，，即．12．在中，是的外角平分线，，求证：．【解答】证明：，，，是的外角平分线，，，，，，，．13．如图，中，平分，的垂直平分线交的延长线于，求证：．【解答】证明：连接，的垂直平分线交于，，，，，，，，，，即．14．如图，中，点、在边上，且是等边三角形，，求证：．【解答】证明：是等边三角形，，，，，，，，，，．题型三找中间比利用等积式代换15．如图，在中，为的中点，点在上，过点分别作交于点，交于点．（1）若，求的值；（2）求证：．【解答】解：（1）过点作交于，点为中点，点是中点，且，；（2）证明：延长至点，使，连、，则四边形是平行四边形．，，，，，，．16．如图，已知：过的底边的中点任作一条直线交于点，交的延长线于点，作交的延长线于点．求证：．【解答】证明：，，，，，为的中点，，，．17．如图，在中，，．求证：．【解答】解：，，，，，即．18．已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，点在边上，连接交线段于点，．（1）求证：；（2）连接，求证：．【解答】证明：（1），．又，．．，．．（2），，．．又，．．．19．如图，在中，点在边上，联结，，交边于点，交延长线于点，且．（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1），，，，，又，，即，；（2），，，，，，，，．20．已知，如图，在四边形中，，延长、相交于点．求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1），，；（2），，，，，，．21．如图，在中，点，分别是边上的点，平分，且．（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1），，是公共角，，，平分，，，（2），，，，，，．22．如图，在中，是上一点，是内一点，，过作的平行线交的延长线于，与交于，求证：．【解答】证明：，，，即，①，，，即，②由①②得：，．23．如图，在中，为的中点，交于，交的延长线于，求证：．【解答】证明：过作交于，，，，，为的中点，，，．24．如图，在中，，于，是上一点，于，求证：．【解答】证明：，，又，，，即，，，，，又，，即．2