专题02二元一次方程组重难点题型-2021-2022学年七年级数学下册高频考点专题突破（人教版）

专题02二元一次方程组重难点题型题型1二元一次方程（组）的概念和判断解题技巧：二元一次方程的判断主要注意以下几点：=1\*GB3①含有2个未知数，即未知数前的系数不为0；=2\*GB3②未知数的次数为1二元一次方程组的判断需要注意以下几点：=1\*GB3①方程组中是否一共有两个未知数;=2\*GB3②含未知数的项的次数是否都是1;=3\*GB3③是否含有多个方程组成.1．（2021·陕西九年级专题练习）在下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是二元一次方程的有（）．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断，即可求解．【详解】解：是二元一次方程的是⑤和⑦。①，不是方程，不合题意；②，是二元二次方程，不合题意；③，是一元一次方程，不合题意；④，是分式方程，不合题意；⑤，是二元一次方程，符合题意；⑥，化简后只有一个未知数，是一元一次方程，不合题意；⑦，化简后是二元一次方程，符合题意，∴是二元一次方程的是⑤和⑦．故选：A【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合三个条件：方程组有两个未知数；未知项的最高次数是1次；方程为整式方程．2．（2021·江苏沭阳·期中）下列方程是二元一次方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二元一次方程的定义分析得出答案．【解析】解：A、是三元一次方程，不符合题意；B、是二元一次方程，符合题意；C、是分式方程，不符合题意；D、是二元二次方程，不符合题意；故选B．【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．3．（2021·浙江杭州市·七年级期末）下列是二元一次方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

B、是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

C、是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

D、是二元一次方程，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．4．（2021·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（

）①；②；③；④．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意；②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意；③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意；④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意．故选：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．5．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）下列方程中，是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二元一次方程组的定义解答．【详解】解：A中含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；B符合定义，故是二元一次方程组；C中含有分式，故不符合定义；D含有三个未知数，故不符合定义；故选：B．【点睛】此题考查了二元一次方程组定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程是二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．6．（2021·浙江瑞安·开学考试）下列方程组中是二元一次方程组的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可．【解析】A、不是整式方程，故此选项错误；B、符合二元一次方程组的定义，故此选项正确；C、含有三个未知数，故此选项错误；D、未知数的次数是2，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．题型2利用二元一次方程的概念求参数解题技巧：利用二元一次方程的特征（=1\*GB3①含有2个未知数，即未知数前的系数不为0；=2\*GB3②未知数的次数为1），建立方程（组）解得参数即可。1．（2020·珠海市九洲中学期中）若是关于x、y的二元一次方程，则m的值是（）A．1 B．任何数 C．2 D．1或2【答案】C【分析】根据二元一次方程的概念直接列式求解即可．【解析】解：由题意得：2m﹣3＝1，解得：m＝2，故选：C．【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键．2．（2020·江苏海州·初一期末）已知:5xm72y2n14是二元一次方程，则mn=_____．【答案】6【分析】如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程.【解析】∵5xm72y2n14是二元一次方程∴m+7=1；2n1=1解得m=6；n=1∴mn=6×1=6【点睛】本题考查二元一次方程的定义，解题关键是根据未知数系数为1可求出m，n.3．（2020·湖北荆州·月考）若是关于的二元一次方程，则的值分别是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二元一次方程的定义，列式求出m和n的值．【解析】解：根据二元一次方程的定义，列式，解得．故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义．数的项的次数是1的整式方程．4．（2020·长沙市中雅培粹学校月考）若是二元一次方程，则()A．m＝3，n＝4 B．m＝2，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝2【答案】A【分析】根据二元一次方程的定义可知3m2n=1，nm=1，可求得m、n的值【解析】根据二元一次方程的定义可得解得故选A【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程.注意：是一个数5．（2020·浙江杭州市·七年级期中）方程是关于、的二元一次方程，则（）A．； B．，C．， D．，【答案】D【分析】依据二元一次方程的定义得到m1009≠0，n+3≠0，|m|1008=1，|n|2=1，依此求解即可．【详解】解：∵（m1009）x|m|1008+（n+3）y|n|2=2018是关于x、y的二元一次方程，∴m1009≠0，n+3≠0，|m|1008=1，|n|2=1，解得：m=1009，n=3．故选：D．【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．依据二元一次方程的定义求解即可．6．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值是__________．【答案】0【分析】根据二元一次方程的定义含有两个未知数并且含未知数的项的次数为1的方程是二元一次方程，建立方程组计算即可．【详解】解：∵关于，的方程是二元一次方程，∴，解得，∴mn=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程组的解法，代数式的值，根据方程的定义构造方程组是解题的关键．题型3运用方程(组)的解的定义解题技巧：寻找二元一次方程，重点是观察并发现解中x，y之间的特征。1．（2021·全国·八年级专题练习）已知是方程的一个解，那么的值是（）．A．1 B．3 C．－3 D．－1【答案】A【分析】把x=1，y=1代入方程2xay=3中，解关于a的方程，即可求出a的值．【详解】解：把x=1，y=1代入方程2xay=3中，得：2×1a×（1）=3，2+a=3，a=1．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，对方程解的理解，直接代入方程求值即可．2．（2021·云南丽江·七年级期末）已知是二元一次方程的解，则的值为（

）A．3 B．3 C． D．【答案】A【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以求出m的值．【详解】解：把代入二元一次方程5x+my1=0，得103m1=0，解得m=3．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．3．（2021·河南商丘·七年级期末）已知二元一次方程组的解是方程的解，则k的值为________．【答案】4．【分析】根据解二元一次方程组的方法可以求得题目中的方程组的解，再根据二元一次方程组的解是方程kx﹣8y﹣2k+4＝0的解，从而可以求得k的值．【详解】解：解方程组，得，∵二元一次方程组的解是方程kx﹣8y﹣2k+4＝0的解，∴k×1﹣8×0﹣2k+4＝0，解得，k＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确解二元一次组的方法．4．（2021·浙江浙江·九年级期末）已知，都是关于，的方程的一个解，则下列对于：，的关系判断正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将两组解代入方程，得到，两式相减可得ab的值．【详解】解：由题意，将与代入得：，①②得：．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，加减消元法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5．（2021·山东济南·八年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则a+b的值为___．【答案】【分析】将代入中，求出的值，然后将的值代入求出的值，计算即可．【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，∴将代入中得：，解得：，即，将、代入中得：，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟知二元一次方程组的解是能使方程组成立的未知数的值．6．（2021·重庆一中八年级阶段练习）已知是关于、的二元一次方程组的解，则的值为__________．【答案】7【分析】把代入，求出m和n的值，然后可求m+2n的值．【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程组的解，∴，解得：，∴m+2n=4+11=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了对二元一次方程组的解的理解与应用，理解与掌握二元一次方程组的解的概念以及能熟练解二元一次方程组是解决此题的关键．题型4代入消元法和加减消元法比较解题技巧：代入消元法和加减消元法是2种基础的消元法，各有优劣：1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时（或易于转化为该形式时），用代入消元法。例：2）当方程组中，某一个未知数在两个方程中的系数相同或互为相反数时（或成倍数时），用加减消元法。例：3）无上述两种特征，依据个人喜好定方法。例：3x+2y=74x注意：当二元一次方程系数比较复杂时，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等）。通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再利用消元法解方程。1．（2022·山西晋中·八年级期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：解方程组：解：②×2

，得2x－4y=4

③…………………第一步①+③，得5x=9…………………第二步…………………第三步把代入②，得y=…………………第四步∴原方程组的解为…………………第五步任务一：①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是（填序号即可）；A.公式法

B.换元法

C.代入法

D.加减法②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变“一元”，在此过程中体现的数学思想是（填序号即可）；A.转化

B.公理化

C.演绎

D.数形结合③第步开始出现错误，这一步错误的原因是；任务二：请你直接写出原方程组的解．【答案】任务一：①D；②A；③一；方程②×2时漏乘了等号右边4这一项；任务二：原方程组的解为【分析】任务一：①根据题意可直接进行求解；②根据题意可直接进行求解；③根据二元一次方程的加减消元法可进行求解；任务二：根据加减消元法可直接进行求解方程组的解．【详解】解：任务一：①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是加减消元法；故选D；②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想；故选A；③由题意得：第一步开始出现错误，这一步错误的原因为方程②×2时漏乘了等号右边4这一项；任务二：②×2，得：2x－4y=8③①+③，得：5x=9，解得：，把代入②得：，解得：，∴原方程组的解为．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．2．（2021·山东济南·八年级期中）请用指定的方法解下列方程组：（1）；（代入法）（2）．（加减法）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）把②代入①得出3（y+3）+2y＝14，，求出y，把y＝1代入②求出x即可；（2）②×3①×4得：x＝3，，把x＝3代入①求出y即可．【详解】解：（1）（代入法），把②代入①得：3（y+3）+2y＝14，解得：y＝1，把y＝1代入②得：x＝1+3＝4，所以方程组的解是；（2）．（加减法）②×3①×4得：x＝3，把x＝3代入①得：6+3y＝12，解得：y＝2，所以方程组的解．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．3．（2021·山西运城·八年级期末）解方程组：【答案】【分析】运用加减消元法求解即可．【详解】解：②①得，即③将③代入①得，∴方程组的解为．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，其基本思想是消元，主要方法有代入消元法和加减消元法．4．（2021·北京市平谷区峪口中学七年级阶段练习）解方程组：．（任选方法）【答案】【分析】利用代入消元法解方程组即可求解．【详解】解：，由①得：2x=12，解得：x=6，把x=6代入②，得18+4y=2，解得：y=5，所以原方程组的解是．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，灵活运用加减消元或代入消元法解二元一次方程组是解决本题的关键．5．（2021·上海·华东政法大学附属中学期末）解方程组：．【答案】【分析】用代入消元法解方程组即可.【详解】解：，把(1)代入(2)，得，解得：x=2，把x=2代入(1)，得：y=4，故方程组的解为：【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解此题的关键是能把二元一次方程组转化成一元一次方程．6．（2022·重庆市荣昌中学校七年级阶段练习）解方程(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先把①带入②求出y的值，再把y的值带入①即可求出x的值（2）先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可（3）先化简所求方程组为，再消去x，求出y的值，从而可解方程组的解（4）先化简所求方程组为，再消去x，求出y的值，从而可解方程组的解(1)解，把①带入②得：4y3y=2，解得y=2，把y=2带入①得，x=4故原方程组的解为：.(2)解：，得，14x=14，解得x=1，把x=1代入①得，3+2y=3，解得y=3，故此方程组的解为：.(3)解：，化简可得：，③④，得y=7，将y=7代入③，得x=5故此方程组的解为：.(4)解：，化简可得：，得：y=1，把y=1代入③得x=1故此方程组的解为：【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题关键是代入消元法或加减消元法，将“二元”转化为“一元”7．（2022·全国·七年级课时练习）解下列三元一次方程组：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加减消元法转化为一元一次方程，从而可以解答本题；（2）先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加减消元法转化为一元一次方程，从而可以解答本题．【详解】解：（1），由②×2−③，得5x＋27z＝34④①×3＋④，得17x＝85，∴x＝5，将x＝5代入④得到z＝13，将x＝5，z＝13代入③可得y＝−2，∴原方程组的解为；（2），由①＋②×2，得8x＋13z＝31④，②×3−③，得4x＋8z＝20⑤，由④⑤得到将x＝−1，z＝3代入①可得，y＝，∴原方程组的解为．【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答．题型5整体构造法求代数式的值解题技巧：某些代数式无需把每个未知数都求出来，而是通过观察各方程的系数关系，利用整体构造法直接求出代数式的值。1．（2022·甘肃兰州·八年级期末）已知方程组，则的值为（

）A．1 B．0 C．2 D．3【答案】A【分析】根据两个方程中同一未知数系数的特点，把第一个方程减第二个方程即可得结果．【详解】①−②得：故选：A【点睛】本题考查了加减法在求代数式的值中的应用，观察方程组中同一未知数系数的特点是解题的关键．当然本题也直接解方程组求得x与y的值，即可求得结果的值，相比较而言前者方法更简单．2．（2022·广东深圳·八年级期末）已知方程组的解满足，则的值为（

）A．7 B． C．1 D．【答案】D【分析】①+②得出x+y的值，代入x＋y＝1中即可求出k的值．【详解】解：①+②得：3x+3y＝4+k，∴，∵，∴，∴，解得：，故选：D【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．3．（2021·天津·九年级专题练习）关于的二元一次方程组的解满足，则k的值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】解方程组，用含的式子表示，然后将方程组的解代入即可．【详解】解：，①－②得：，∵，∴，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组解，和二元一次方程组的解的应用，运用整体法得出，可以是本题变得简便．4．（2022·广东佛山·八年级期末）已知，满足方程组，则的值为______．【答案】20【分析】通过观察已知方程组中x，y的系数，根据加减法，即可得答案．【详解】由，两式相加，可得，故答案为：20．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用等式的性质把两式相加是解题的关键．5．（2022·广东佛山·八年级期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y=1，则m的值为__________．【答案】﹣1【解析】【分析】由①+②，得：，从而得到，再由x+y=1，可得到，即可求解．【详解】解：，由①+②，得：，∴，∵x+y=1，∴，解得：．故答案为：1【点睛】本题主要考查了解二元一次方程和二元一次方程的解，由①+②得到是解题的关键．6．（2021·北京·101中学七年级期末）已知二元一次方程组为，则2x﹣2y的值为_____．【答案】2【分析】利用整体思想，两式相减得到xy=1，整体代入到代数式中求值即可．【详解】解：①②得：x﹣y＝﹣1，∴2x﹣2y＝2（x﹣y）＝2×（﹣1）＝﹣2，答案：﹣2．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，利用整体思想，两式相减得到xy=1是解题的关键．题型6整体消元法解方程组整体消元法1)整体代入消元法解题技巧：代入消元法常规作法是当未知数系数为±1时，进行代入从而起到消元的目的。我们可以从整体入手，当两个方程中都存在相同的部分时，可以把它们视作一个整体。这样的话，就符合代入消元法的特征，从而实现消元。具体见下列实例：1．（2021·河南洛阳·七年级期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，∴方程组的解为．请你根据以上方法解决下列问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组，求xy的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）模仿小军的解法求出方程组的解即可；（2）利用“整体代换”的思想求出xy的值即可．【详解】解：（1），由②得：3(3x﹣2y)+2y＝19③，把①代入③得：15+2y＝19，解得：y＝2，把y＝2代入①得：3x﹣4＝5，解得：x＝3，则方程组的解为；（2），由①得：2(2x2+xy)﹣4xy＝7③，把②代入③得：12﹣4xy＝7，解得：xy＝．【点睛】本题考查了解二元一次方程组．利用了整体思想及消元思想，消元方法有：代入消元法和加减消元法．2．（2022·颍上县教育局七年级课时练习）阅读材料，善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下，解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组；（2）已知x、y、z，满足试求z的值．【答案】（1）；（2）z=2【分析】（1）将②变形后，把①代入解答即可；（2）将原方程变形后利用加减消元解答即可．【详解】解：（1），将②变形得3(2x3y)+4y=11④，将①代入④得3×7+4y=11，∴y=−，把y=−代入①得x＝−，∴方程组的解为；（2），由①得3(x+4y)2z=47③，由②得2(x+4y)+z=36④，③×2④×3得7z14，∴z=2．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．3．（2022·全国·七年级课时练习）材料：解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解方程组【答案】【分析】观察方程组的特点，把看作一个整体，得到，将之代入②，进行消元，得到，解得，进一步解得，从而得解．【详解】解：由①得③，把③代入②得，解得，把代入③，得，解得，故原方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法：整体代入法.解方程（组）要根据方程组的特点灵活运用选择合适的解法．4．（2021·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）阅读材料：在解方程组时，萌萌采用了一种“整体代换”的解法．解：将方程②变形：，即③把方程①代入③得，∴，把代入①，得，∴原方程组的解为．请模仿萌萌的“整体代换”法解方程组【答案】．【分析】将方程②变形为2（4x3y）y=18，再将4x3y=6整体代入即可求方程组．【详解】解：中，将②变形，得：8x6yy=18即2（4x3y）y=18③，将①代入③得，2×6y=18，∴y=6，将y=6代入①得，x=3，∴方程组的解为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键．2)整体加减消元法解题技巧：当两个方程之间有的字母系数有一定的规律，可以尝试用整体加减消元法，会得到一个比较特殊的式子，将这个式子和原来的式子在进行加减消元会比较容易。该方法技巧性比较强，读者需注意平时多积累尝试。1．（2021·福建三明·八年级阶段练习）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．解方程组解：由①②得即③，③×16得④②④得，把代入③得解得：原方程组的解是请你仿照上面的解法解方程组．【答案】．【分析】模仿材料发现第一个方程中各项系数都比第二个方程的各项系数都大3，可采用材料方法①﹣②得：x+y＝1③，①﹣③×2021得：x＝4，再求y即可．【详解】解：①﹣②得：3x+3y＝3，即x+y＝1③①﹣③×2021得：x＝4把x＝4代入③得：y＝3所以原方程组的解为．【点睛】本题考查解二元一次方程组．掌握抓住方程组的特征，用加减法解方程组是解题关键．2．（2021·湖南湘西·七年级期末）在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单：①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．③×35﹣①得3x＝﹣3．解得x＝﹣1，从而y＝2．所以原方程组的解是．请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：．【答案】【分析】结合探究内容，仿照例子，用加减消元法解二元一次方程组．【详解】解：②﹣①得3x+3y＝3，即x+y＝1③，③×2018，得：2018x+2018y＝2018④，④﹣①得2x＝﹣2，解得x＝﹣1，将x＝﹣1代入③，得：﹣1+y＝1，解得y＝2，∴原方程组的解为．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解法，解二元一次方程组有代入法和消元法，灵活应用这两种方法是解题关键．3．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：②①得：，即．③得：．④①④得：，代入③得．所以这个方程组的解是．(1)请你运用小明的方法解方程组．(2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是______．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据题意，利用例题方法求解即可；（2）根据题意，利用例题方法求解即可得．【解析】(1)解：，得：，即，得：，得：，即，将代入得，所以这个方程组得解是；(2)解：，得：，即，得：，得：，解得，将代入得：，所以这个方程组得解是，故答案为：．【点睛】题目主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键．4．（2020·湖北期末）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题．解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法），那将非常麻烦！若用下面的方法非常规的解法，则轻而易举，得，即，得，得把代入（3）得，即所以原方组的解是以上的解法的技巧是根据方程的特点构造了方程（3）．我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组【答案】【分析】②−①得出6x＋6y＝6，求出x＋y＝1③，①−③×7求出y＝2，把y＝2代入③求出x即可．【解析】解：②−①得：6x＋6y＝6，即：x＋y＝1③，①−③×7得：4y＝8，解得：y＝2，把y＝2代入③得：x＝−1，所以原方程组的解为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，能根据方程组的特点选择简单的方法解方程组是解此题的关键．5．（2020·浙江省义乌市望道中学七年级月考）阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题．解方程组我们如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举．①②，得，即③③，得④②④得，从而所以原方程组的解是请你用上述方法解方程组【答案】【分析】②①得出6x+6y=6，求出x+y=1③，①③×7求出y=2，把y=2代入③求出x即可．【详解】解：②①得：，③，①③得：，，把代入③得：，所以原方程组的解为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，能根据方程组的特点选择简单的方法解方程组是解此题的关键．3)整体换元法解题技巧：把某一部分看作一个整体进行消元，达到转化为一元一次方程的方法1．（2021·四川南充·七年级期末）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过观察所给方程组的关系可得，求出、即可．【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是，∴，又∵，∴，解得，方程组的解为，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间的关系．2．（2021·福建·厦门七年级期中）若方程组的解是，那么的解为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将转换为，即可得出，，求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵的解是，∴，，∴，∴的解为，故选：B．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．3．（2022·全国·七年级课时练习）关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．【详解】解：由题意知：①+②，得：2x=7解得：x=3.5，①﹣②，得：2y=﹣1解得：y=﹣0.5所以方程组的解为故选C．【点睛】本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x、y的方程组．4．（2021·浙江绍兴·七年级期末）若方程组的解是，则方程组的解为__________________【答案】x=5.3，y=0.3【分析】通过观察两个方程组之间的关系，可得到，即可求解．【详解】方程组的解是，中，，解得，方程组的解为，故答案为：x=5.3，y=0.3．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，要比较两个方程组的结构相似处，得出是解题关键．5．（2021·浙江杭州·七年级期中）已知的解是，求的解为_____．【答案】【分析】首先将代入，方程同时×5，与方程相比较，即可得出方程组的解．【详解】把代入方程组得：，方程同时×5，得：，∴方程组的解为．故答案为：．【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及特殊解法，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的含义．6．（2022·全国·八年级课时练习）阅读理解：解方程组时，如果设则原方程组可变形为关于、的方程组，解这个方程组得到它的解为由求的原方程组的解为，利用上述方法解方程组：【答案】【分析】仿照例题，设＝m，＝n，则原方程组可变形为关于m、n的方程组，求出m，n的值，进而求出方程组的解．【详解】设＝m，＝n，则原方程组可变形为关于m、n的方程组，①＋②得：8m＝24，解得：m＝3，将m＝3代入①得：n＝−2，则方程组的解为：，由＝3，＝−2，故方程组的解为：．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m，n的方程组是解此题的关键．题型7二元一次方程组同解问题解题技巧：两种方法。方法一：将不含参数的方程组组成新的方程组，求解方程的解；在将方程解代入含有参数方程中，组成另一组方程。若2组方程组中，都存在无参数的方程，则该方法比较简单。方法二：将参数看做常数，直接求解出方程组的解。因为两个方程组同解，所以所得含参数的解相同。利用这个条件，再来求解参数。方法二相对比较麻烦，若2组方程组中的方程都含有参数，则只能用该方法。1．（2021·福建省漳州第一中学八年级期中）关于x、y的方程组的解也是方程的解，则m的值为____．【答案】5【分析】将方程组中的两个方程相加即可得出答案．【详解】解：，由①②得：，即，关于的方程组的解也是方程的解，，故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．2．（2021·浙江·台州市书生中学八年级开学考试）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=6中计算即可得出答案．【详解】解：方程组，由①+②得：2x+3y=4k+9，∵2x+3y=6，∴4k+9=6，∴k=；故选：A．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，先用含k的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=6中可得．其实质是解三元一次方程组．3．（2021·全国·八年级专题练习）已知方程，，有公共解，则的值为（）．A．3 B．4 C．0 D．1【答案】B【分析】联立，，可得：，，将其代入，得值．【详解】，解得，把代入中得：，解得：．故选：B．【点睛】本题考查二元一次方程组，掌握公共解是三个方程都满足的解是解题的关键．4．（2021·重庆八中八年级期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，求实数，，m的值．【答案】，，．【分析】根据二元一次方程组的解的概念将变形为，利用代入消元法分别求得，，再将其代入方程②即可求出m的值．【详解】解：，∵关于的二元一次方程组的解满足，

∴③，将③代入①，得，解得：，∴．将，代入②，得，∴．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解的概念及代入消元法和加减消元法求二元一次方程组解的方法是解题的关键．5．（2021·河南安阳·七年级期末）已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式2a+b的平方根．【答案】代数式2a+b的平方根是．【分析】由已知解方程组，解得，将代入中，得，即可求解．【详解】解：方程组的解和的解相同，与的解相同，，①得，③，②得，④，③④得，，将代入①得，，方程组的解为，将代入中，得，的平方根为．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解同解二元一次方程组的含义，将所给方程组重新组合新的方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法求方程组的解是解题的关键，也考查了平方根的性质．6．（2021·全国·七年级课时练习）已知：关于x，y的方程组与的解相同．求a，b的值．【答案】【分析】首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到一个关于a，b的方程组求解即可．【详解】解：关于x，y的方程组与的解相同．∴解方程组，解得，则有，解得，∴a的值为2，b的值为3．【点睛】本题考查方程组同解性质，掌握方程组同解重新组合方程为新方程组，新方程组与原方程组解不变是解题关键．题型8运用错解求正解（将错就错）解题技巧：将方程中没错的部分挑选出来，得到参数的值；再把参数代入得到正确解。1．（2021·河南汝阳·七年级期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得，试求的值．【答案】0【分析】将代入第二个方程得b的值，将代入第一个方程得a的值，即可求出所求式子的值．【详解】解：将代入得：，解得将代入方程组中的得：，即．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．2．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校八年级期末）如图，小红和小明两人共同解方程组根据以上他们的对话内容，请你求出，的正确值，并计算的值．【答案】，，0【分析】根据题意将代入方程②求出b，把代入①求出a，最后代入代数式求值.【详解】解：因为小明看错了方程①中的，所以满足方程②，即，解得，因为小红看错了方程②中的，所以满足方程①，即，解得，所以．【点睛】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进行求解.3．（2021·湖南天元·七年级期中）已知方程组甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为若按正确的a，b计算，求原方程组的解．【答案】【分析】由于甲看错了方程①中的，故可将代入②，求出的值；由于乙看错了方程组②中的，故可将代入①，求出的值，然后得到方程组，解方程组即可．【详解】解：将代入②得，，；将代入①得，，．故原方程组为，解得．【点睛】本题考查了方程组解的理解，解题的关键是方程组的解符合方程组中的每个方程，将解代入方程即可求出未知系数．4．（2021·山西·七年级期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得，求原方程组的正确解．【答案】【分析】将小鑫解得的代入，将小童解得的代入中，建立方程组求解出的值，再代入原方程组中进行求解．【详解】解：根据题意，可得，解得，将a，b代入原方程组，得，由②可得③，将③代入①，可得，解得，把代入③，解得．故原方程组的正确解是．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的基本方法．5．（2021·山东莱州·七年级期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试求出方程组正确的解．【答案】【分析】由于甲看错了a，将甲计算得到的解代入等式②，可求得b的值；同理，由于乙看错了b，将乙计算得到的解代入等式①，可计算得a的值．【详解】解：将，代入②，得，．将，代入①，得，．∴原方程组为①，得．③②＋③，得，．将代入①，得．∴原方程组的解是．【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案．6．（2021·山东乳山·七年级期中）在解方程组时，甲看错了方程组中a的值，得到的解为，乙看错了方程组中b的值，得到的解为．求原方程组的解．【答案】【分析】甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为，那么他的解对②还是正确的，所以把他的解代入②中得一方程．乙看错了②中的b得到方程组的解为，那么他的解对①也是正解的，所以把他的解代入①中，也得一方程．即可求出a、b的值；将a、b的值代入原方程中得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：将代入，可得，将代入，可得，将，代入，得，解得．【点睛】本题主要考查了学生方程组的解的定义，解二元一次方程组的应用．方程组的解是能使方程两边相等的数，所以把它们的解代入正确的那个式子即可．题型9二元一次不定方程的整数解问题【解题技巧】解决此类问题，通常用一个未知数来表示另外一个未知数，再将其符合条件的特殊值逐个代入，即可求解特殊解的个数.1．（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）二元一次方程的自然数解有______．（写出所有符合条件的解）【答案】，，【解析】【分析】先将方程整理成，再写出所有符合条件的解．【详解】解：，，当时，，当时，，当时，，当时，（舍去），故答案为：，，．【点睛】本题考查二元一次方程组的自然数解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．2．（2021·全国·七年级课时练习）对于二元一次方程，下列说法不正确的是（）A．它有无数多个解 B．它有无数多个整数解C．它只有一个非负整数解 D．它没有正整数解【答案】C【分析】根据二元一次方程的解的含义，整数解，非负整数解，正整数解的含义逐一判断即可.【详解】解：二元一次方程，它有无数多个解，说法正确，故不符合题意；它有无数多个整数解，说法正确，故不符合题意；它只有一个非负整数解，说法错误，它的非负整数解为：有两个，故符合题意；它没有正整数解，说法正确，故不符合题意；故选：【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的个数，整数解，非负整数解，正整数解的含义是解题的关键.3．（2021·全国·七年级课时练习）一方程的正整数解是_____．【答案】或【分析】先把方程变形：结合为正整数，可得为的倍数，从而写出方程的正整数解即可.【详解】解：，为正整数，则为的倍数，方程的正整数解为：或故答案为：或【点睛】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，掌握利用适当的变形得出的值的特殊性是解题的关键.4．（2020·河北昌黎·期末）方程在自然数范围内的解有（）A．只有1组 B．只有4组 C．无数组 D．以上都不对【答案】B【分析】用y表示出x，令y为自然数求出x的值，即可确定出方程的自然数解．【解析】方程变形得：x＝7－2y，当y＝0时，x＝7；y＝1时，x＝5；y＝2时，x＝3；y＝3时，x＝1，则方程在自然数范围内的解为，，，．故选B．【点睛】此题考查了解二元一次方程，将y看做已知数求出x是解本题的关键．5．（2021•武汉模拟）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解得组数是（）A．34 B．35 C．36 D．37【分析】先把x+y看作整体t，得到t+z＝10的正整数解有7组；再分析x+y分别等于2、3、4、……9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．【答案】解：令x+y＝t（t≥2），则t+z＝10的正整数解有8组（t＝2，t＝3，t＝4，……t＝9）其中t＝x+y＝2的正整数解有1组，t＝x+y＝3的正整数解有2组，t＝x+y＝4的正整数解有3组，……t＝x+y＝9的正整数解有8组，∴总的正整数解组数为：1+2+3+……+8＝36故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，可三元方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．6．（2020·长沙湘一立信实验学校月考）要使方程组有正整数解，则整数a的值是_______．【答案】3或9【分析】根据题意用a表示出y的值，进而得出符合题意的值．【解析】解：，由②得：x＝2y，故4y＋ay＝13，则y＝，∵方程组有正整数解，∴当a＝−3时，y＝13，此时x＝26，当a＝9时，y＝1，此时x＝2，都符合题意，故答案为：3或9．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，正确表示出y的值是解题关键．题型10二元一次方程的新定义问题1．（2021·全国·七年级课时练习）我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，，则关于和的二元一次方程组的解为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据的意义可得，和均为整数，两方程相减可求出，，将代入第二个方程可求出x.【详解】解：，∵表示不超过的最大整数，∴，和均为整数，∴x为整数，即，∴①－②得：，∴，，将代入②得：，∴，故选：A.【点睛】本题考查了新定义以及解二元一次方程组，正确理解的意义是解题的关键.2．（2022·全国·七年级