特训12一次函数压轴题（十大母题型归纳）

特训12一次函数压轴题（十大母题型归纳）目录：题型1：存在性问题题型2：取值范围问题题型3：最值问题题型4：动点问题题型5：新定义题型题型6：旋转问题题型7：定值问题题型8：分段函数题型9：两点间的距离与一次函数题型10：一次函数的实际应用题型1：存在性问题1．如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴、轴分别交于点、，连接、．

(1)求直线的函数表达式；(2)求四边形的面积；(3)在直线上是否存在点，使得的面积是四边形面积的倍若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)的解析式为；(2)四边形的面积为；(3)存在或．【分析】（）利用待定系数法求出的解析式，根据平移得到点的坐标及的值相等，再利用待定系数法即可求出的解析式；（）由图可得，，即可求解；（）设，由勾股定理求出，过点作于点，由得到，根据两点间距离公式可得，再根据的面积是四边形面积的倍即可求得点的坐标．【解析】（1）设的解析式为，把，代入，得，解得，∴由平移知，，设的解析式是，∵点向左平移个单位长度得到点，∴，解得，∴的解析式为；（2）由()知，，∴，中，当时，，∴，∴，∵，∴，∴，，，，∴四边形的面积为；（3）存在或，理由：设，∵，，，∴，，∴，过点作于点，

∵，∴，∴，∵，，∴，∵的面积是四边形面积的倍，∴，即，∴，∴或，∴或，∴或．【点睛】本题考查了一次函数，平移，一次函数与一元一次方程，一次函数与三角形，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式，直线平移的性质，点平移的坐标性质，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与三角形面积的关系．2．如图，直线与轴交于点，，与轴交于点，．(1)求直线的解析式；(2)如图，已知直线，无论取何值，它都经过第一象限内的一个定点，其中交轴于点．①求的面积；②连接，在直线上是否存在着点，使得，请直接写出点的坐标不写求解过程；若不存在【答案】(1)一次函数解析式为：．(2)①；②点坐标为，或，．【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）①当时，，即可知道直线过定点，，求出直线解析式得到点的坐标，可求面积；②先求出的面积和直线的解析式，根据点是线段的三等分点，求出过点的平行于的解析式，联立方程组得到点坐标，依据对称性可求出另一个点坐标．【解析】（1）解：设直线的解析式为，将点，坐标代入得．，解得，∴一次函数解析式为：．（2）解：①当时，，∴直线过定点，设直线AC的解析式为：，∵，在函数图象上，∴，解得，直线的解析式为：，∴，；②∵，∴，∵，∴，∵，∴点到直线的距离，直线的解析式为，从点和点横坐标看，点刚好是线段的三等分点，∴过点且平行于的直线解析式为：，∴，解得，点的坐标为，点关于点的对称点为，∵直线解析式为：．∴过点且平行于的直线解析式为：，，解得，∴点的坐标为，综上分析，满足条件的点坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，找到点是的三等分点是解答本题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且．

(1)________，________．(2)点是线段CD上一点，作交AB于点N，连接MN，求点N的坐标；(3)若为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4，2(2)；(3)直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或．【分析】（1）先求出，由全等三角形的性质可得；（2）利用待定系数法可求直线的函数表达式，可得，由全等三角形的性质可得，由可证，可得，分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，由全等三角形的判定和性质即可求解；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标．【解析】（1）解：把代入得：，∴点，∴，把代入得：，∴点，∴，∵，∴，故答案为：4，2；（2）解：设直线对应的函数表达式为：，∵，∴，把代入得，解得，∴直线对应的函数表达式为，∴，∵，∴，又∵，∴，即，∵，即，∴，∴，∴，分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，

∴，∵，∴，∴，∴点N的坐标为；（3）解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形．∵为直线上的点，∴，∴，①当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点，

∵，∴轴，，点M的纵坐标为2，，∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴Q点的纵坐标为3，把代入中得：，∴点；②当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点．

则，∴N点的横坐标为1，则，∵是以E为直角顶点的等腰三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴M点的纵坐标为1，∴Q点的纵坐标为1，把代入中得：，∴；综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．题型2：取值范围问题4．点为平面内任意一点，若上存在点，满足，则称点为的等距离点．在平面直角坐标系中，点与点关于过点且垂直于轴的直线对称．

(1)以为底边作等腰三角形，①当时，点的坐标为__________②当，且底边上的高为3时，点的坐标为__________(2)以为斜边作等腰直角三角形（点在线段的上方）．①直线过点且与轴垂直，若直线上存在的等距离点，试画图说明的取值范围；②已知点，若线段上的所有点均为的等距离点，请直接写出的取值范围．（提示：若等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为．）【答案】(1)①或(2)①

②或【分析】(1)①根据轴对称的性质求解即可；②先说明点C在对称轴上，然后根据底边上的高为可求得点C的坐标；(2)①先求出边上的高的长，然后结合图形可求出b的取值范围；②分若线段上的所有点均为的边的等距离点时和若线段上的所有点均为的边的等距离点时两种情况求解即可．【解析】（1）①解：当时，点的坐标为，∵点与点关于过点且垂直于轴的直线对称，∴点的坐标为，故答案为：；解：由题可知点C在上，当时，点的坐标为，∵底边上的高为3，∴点到的距离为，∴点C的坐标为或，故答案为：或；（2）①由题可知，点与点关于过点且垂直于轴的直线距离为，又∵点在线段的上方，∴点的坐标为，

∴借助图像可知直线上存在的等距离点应在直线和之间（包括边界），即，②设直线的解析式为：把,代入,得，解得同理可求直线的解析式为若线段上的所有点均为的边的等距离点时，如图，当直线经过点时，作于点,

，，，，，把代入得解得把代入得解得∴此时若线段上的所有点均为的边的等距离点时，如图，同理可求此时,

∴综上可知，当线段上的所有点均为的的等距离点时，的取值范围是或．【点睛】本题考查了新定义，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，以及轴对称称的性质，分类讨论是解答本题的关键．5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．(1)求点A的坐标；(2)若点C在第二象限，的面积是5；①求点C的坐标；②直接写出不等式组的解集；③将沿x轴平移，点C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围．【答案】(1)(2)①；②；③或【分析】（1）把代入求出点A的坐标即可；（2）①先根据的面积是5，求出点C的纵坐标即可，再代入求出点C的横坐标即可；②根据函数图象，写出不等式组的解集即可；③根据平移特点，分两种情况，当沿x轴向右平移时，当沿x轴向左平移，求出m的值即可．【解析】（1）解：把代入得：，解得：，∴点A的坐标为；（2）解：①∵，，∴，∵，点C在第二象限，∴，∴，当时，，∴，∴；②由图象即可知：不等式组的解集为：；③连接，如图所示：把代入得：，∴点B的坐标为，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，把代入得：，解得：，，当点在直线上时，点的横坐标为：，当点在点D上时，点的横坐标为：，∴当沿x轴向右平移时，只有两个顶点在外部时；当沿x轴向左平移，只有两个顶点在外部时；综上分析可知，只有两个顶点在外部时，m的取值范围为或．【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象与不等式的解集，三角形面积问题，掌握以上知识点是解题的关键．6．如图，在直角中，，若点在斜边上不与，重合满足，则称点是直角的“近点”．在平面直角坐标系中，，一次函数图象与轴，轴分别交于点，．

(1)若，点是直角的“近点”，则的长度可能是______；填序号①；②；③；④(2)若线段上的所有点不含和都是直角的“近点”，求的取值范围；(3)当时，若一次函数与的交点恰好是直角的“近点”，则直接写出的取值范围是______．【答案】(1)②③(2)或(3)或【分析】（1）取的中点，连接，作于，求出，的长，进而得出结果；（2）找出临界：当时，上所有的点都是直角的“近点”，进而得出结果；（3）找出临界：由得，进而得出结果．【解析】（1）解：如图，

取的中点，连接，作于，由得，，，，，，，由得，，当时，点是直角的“近点”，故答案为：；（2）如图，

当时，上所有的点都是直角的“近点”，或；（3）如图，

由得，由得，，由得，，或．【点睛】本题考查了新定义的理解能力，直角三角形的性质，一次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是找出临界，数形结合．题型3：最值问题7．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，过点作轴，垂足为．

(1)求、两点的坐标；(2)已知Q在第一象限内，且是以为直角边的等腰直角三角形，求出Q的坐标．(3)若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，请直接写出点坐标．【答案】(1)点的坐标分别为、(2)或(3)【分析】（1）对于令解得:,令,则,即可求解；（2）分与两种情况，利用全等三角形解题即可；（3）作点关于直线的对称点连接交于点，则点为所求点，进而求解．【解析】（1）对于，令，解得：，令,则，故点的坐标分别为、；（2）如图，当时，，过点Q作轴于点G，

则，∴∴，∴，∴，∴，∴点Q的坐标为；如图，当时，，过点Q作轴于点K，则，∴∴，∴，∴，∴，∴点Q的坐标为；所以综上所述点Q的坐标为或；

（3）∵点为线段的中点,则点,如图,过点作轴于点,

∵,故是的中位线,即点是的中点,则点,作点关于直线的对称点，连接交于点，则点为所求点，理由：为最小，设直线的表达式为:,则解得故直线的表达式为:,当时,,故点的坐标为．【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、点的对称性，全等三角形的判定和性质等，能证明两三角形全等是解题的关键.8．已知一次函数．(1)无论k为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；(2)如图1，当时，一次函数的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线：上一点，若，求Q点的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，直线：交AB于点P，C点在x轴负半轴上，且，动点M的坐标为，求的最小值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）整理得，根据题意，得当，求解得函数图象必过定点；（2）确定解析式为，点A坐标为，点B坐标为；设点Q坐标为，分情况讨论：①当点Q位于AB右侧时，根据题意得，列方程解得，点Q坐标为；②当点Q位于AB左侧时，过点Q作轴，交于点Ｎ，点Ｎ的纵坐标为，，于是，解得，Q坐标为；（3）联立得，得，设，由，求得C的坐标为，点M在直线上，点C关于直线对称的点F的坐标为，连接，，则，，作轴，垂足为G，在中，，所以的最小值为．【解析】（1）解：整理得∵不论k取何值时，上式都成立∴当，即时，∴无论k为何值，函数图象必过定点；（2）当时，一次函数为，当时，；当时，，；∴点A坐标为；点B坐标为；∵点Q在直线：上，∴设点Q坐标为；①如图，当点Q位于AB右侧时，根据题意得．∴．解得．点Q坐标为；②如图，当点Q位于AB左侧时，此时，过点Q作轴，交于点Ｎ，则点Ｎ的纵坐标为，由，得，，∴．∴，解得，∴Q恰好位于x轴上，此时Q坐标为；综上所述：若，Q点的坐标为或；（3）由（2）可得直线AB：，联立得，解得．∴∵点C在x轴的负半轴，设则，∵，∴解得∴点C的坐标为∵动点M的坐标为．∴点M在直线上．∴点C关于直线对称的点F的坐标为，连接，，则，则为的最小值；作轴，垂足为G，在中，∴的最小值为．【点睛】本题考查一次函数，图象交点求解，轴对称；结合题设条件，作线段的等量转移，构造直角三角形求解线段是解题的关键．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点，过轴上动点作直线轴分别与直线、交于、两点．

(1)①请直接写出点，点，点的坐标：______，______，______．②若，求的值；(2)如图2，若为线段上动点，过点作直线交直线于点，求当为何值时，最大，并求这个最大值．【答案】(1)①、、；②或3；(2)当时，最大，最大值．【分析】（1）①令函数值等于0，可求与x轴交点坐标，联立函数解析式解方程组可得函数图像交点坐标；②设点，则点，则，即可求解；（2）设点，则点，求出点．进而用t表示出、长，根据t的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出的最大值．【解析】（1）解：①对于直线①，令，解得，故点，对于，同理可得：点，则，解得，故点的坐标为，故答案为：、、；②点在直线上，则设点，同理点，则，即：解得或3；（2）点在直线上，则设点，同理点，∵，∴，∴点F的纵坐标为，解得，∴，∴，∴，∵，，∴当时，最大，最大值．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中（2）要注意用点的坐标表示线段长．题型4：动点问题10．在平面直角坐标系中，对于点，，当时，将点P向右平移c个单位，当时，将点P向左平移个单位，得到点，再将点关于直线对称得到点M，我们称点M为点P关于点Q的跳跃点．例如，如图1，已知点，，点P关于点Q的跳跃点为．

(1)已知点，，①若点C为点A关于点B的跳跃点，则点C的坐标为______．②若点A为点B关于点C的跳跃点，则点C的坐标为______．(2)已知点D在直线上，点D的横坐标为m，点E的坐标为．①点K为点E关于点D的跳跃点，若的面积为4，直接写出m的值；②点E向上平移1个单位得到点F，以一边向右作正方形，点R为正方形的边上的一个动点，在运动过程中，直线上存在点D关于点R的跳跃点，请直接写出m的取值范围．【答案】(1)①；②(2)①；②【分析】（1）①根据题中跳跃点的定义画图求解即可；②根据题中跳跃点的定义画图求解即可；（2）①分和两种情况，根据题意得到K的坐标，再利用坐标与图形和三角形的面积公式求解即可；②先根据平移性质得到F、G、H的坐标，分点R在上时、点R在上时、点R在上时三种情况，分别求出点D关于点R的跳跃点，然后根据点在直线上的坐标特征和不等式的性质求解即可．【解析】（1）解：①如图，点C为点A关于点B的跳跃点C的坐标为，故答案为：；②如图，由点B关于点的跳跃点为点A，得点C的坐标为，故答案为：；

（2）解：①当时，如图，，，则，

∴，解得（负值舍去）；当时，如图，同理，解得（正值舍去），综上，满足条件的m值为；②由题意，点向上平移1个单位得到点F的坐标为，以一边向右作正方形，则，，∵点R为正方形的边上的一个动点，且点D关于点R的跳跃点在直线上，∴点R不可能在上，当点R在上时，设，，则点关于点R的跳跃点的坐标为，则，∴，∴，则；当点R在上时，设，，则点关于点R的跳跃点的坐标为，则，∴，∴，则；当点R在上时，设，，则点关于点R的跳跃点的坐标为，则，∴，∴，综上，满足题意的m的取值范围为．

【点睛】本题考查平移性质、对称性质、坐标与图形、不等式的性质、一次函数的性质，理解题中定义，从中得出坐标间的关系，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．11．如图①，直线：经过点，，且与直线交于点，．

(1)求直线的表达式；(2)由图象直接写出关于的不等式的解集；(3)如图②所示，为轴上点右侧任意一点，以为边作等腰，其中，，直线交轴于点．当点在轴上运动时，线段的长度是否发生变化？若不变，求出线段的长度；若变化，求线段的取值范围．【答案】(1)直线的表达式为(2)(3)线段的长度不变，【分析】（1）将，代入，求出，，再用待定系数法可得直线的表达式为；（2）求出的解，观察图象可得的解集为；（3）过作轴于，求出，证明，有，，可得，是等腰直角三角形，即知，是等腰直角三角形，从而，线段的长度不变．【解析】（1）解：将点，代入，得．将，代入，得．∴的坐标为，．将，代入，得．所以，直线的表达式为．（2）解：由得∶，观察图象可得，关于的不等式的解集为；（3）解：线段的长度不变，．如图，过作轴，垂足为．

∵，∴．∵，∴．∵，．∴．∴，．由，得，，即．由，，得．∴．∵．∴．∴．∴．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一元一次不等式与一次函数的关系，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于、两点，与直线交于点，直线与轴交于点．

(1)求的值及直线的表达式；(2)在直线上是否存在点，使？若存在，则求出点的坐标：若不存在，请说明理由；(3)如图2，点为线段上的一个动点，一动点从出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，求点在整个运动过程中所用时间最少时点的坐标．【答案】(1)，的表达式为(2)存在，理由见解析(3)【分析】（1）代入得出将代入得出，进而即可求解；（2）根据题意可得到的距离与到的距离相等，则，可得的表达式为，联立，解方程即可求解；（3）过点作轴的垂线，交于点，过点作轴，过点作于点，得出是等腰直角三角形，则，可得当三点共线时，在整个运动过程中所用时间最少进而得出的横坐标为，即可求解．【解析】（1）解：将代入∴∴,将代入∴解得：∴的表达式为；（2）解：∵∴到的距离与到的距离相等，则如图所示，过点作交于点，∴的表达式为

联立解得：∴（3）解：如图所示，

过点作轴的垂线，交于点，过点作轴，过点作于点，∵直线与轴交于点．∴，解得：∴∵直线与轴、轴交于、两点，∴时，当时，，∴，,∴，则是等腰直角三角形则∵轴，∴是等腰直角三角形，则∴∵∴是等腰直角三角形，∴，∴∴当三点共线时，在整个运动过程中所用时间最少

∴的横坐标为将代入解得：∴【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，两直线交点问题，勾股定理，垂线段最短，掌握一次函数的性质是解题的关键．题型5：新定义题型13．小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．

(1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________；x…43211234……m2n2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：(2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来；(3)观察图形并分析表格，解决下列问题：①自变量x的取值范围是__________；②函数图象关于点___________中心对称；③求证：当时，y随x的增大而增大．【答案】(1)，(2)见详解(3)①②③见详解【分析】（1）将，代入函数解析式即可求解；（2）用光滑的曲线顺次连接起来，即可求解；（3）①由得，分母不为，即可求解；②由表格可得第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数，即可求解；③设，可得，，可求，，，，即可求解．【解析】（1）解：当时，，当时，；故答案：，．（2）解：如图，用光滑的曲线顺次连接起来，

（3）①解：由得自变量x的取值范围是，故答案：；②解：由表格得：与，与，与，，第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数，函数图像关于点中心对称，故答案：．③证明：设，，，，，，，，，，，故当时，y随x的增大而增大．【点睛】本题考查了通过作函数图象，通过图象来研究函数性质：自变量取值范围、对称性、增减性，掌握函数增减性的证明方法是解题的关键．14．在平面直角坐标系中，的半径为，对于平面内一点，若存在边长为1的等边，满足点在上，且，则称点为的“近心点”，点为的“远心点”．

(1)下列各点：，，，中，的“近心点”有__________；(2)设点与的“远心点”之间的距离为，求的取值范围；(3)直线分别交轴于点，且线段上任意一点都是的“近心点”，请直接写出的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）结合“近心点”的定义作出图形，即可获得答案；（2）设点在与轴交点，即，根据题意可知等边的顶点在以为圆心，以1为半径的圆上，当在同一直线上，点与的“远心点”之间的距离最大；当轴时，点与的“远心点”之间的距离最小，然后求解即可；（3）首先求得点与的“近心点”之间的距离的取值范围，当取最大值时，可有；当取最小值时，过点作，垂足为，此时，然后利用，计算此时的值，即可获得答案．【解析】（1）解：如下图，观察图形可知，

的“近心点”有，．故答案为：，；（2）如下图，设点在与轴交点，即，

根据题意，等边的顶点在以为圆心，以1为半径的圆上，当在同一直线上，即也位于轴上时，点与的“远心点”之间的距离最大，此时；当轴时，点与的“远心点”之间的距离最小，设与轴交于点，∵，∴，∴，∴，∴．综上所述，点与的“远心点”之间的距离的取值范围为；（3）如下图，设点在与轴交点，即，

根据题意，等边的顶点在以为圆心，以1为半径的圆上，当轴时，点与的“近心点”之间的距离最大，设与轴交于点，∵，∴，∴，∴，∴；当在同一直线上，即也位于轴上时，点与的“近心点”之间的距离最小，此时，∴点与的“近心点”之间的距离的取值范围为；对于直线，令，则，即，令，则有，解得，∴；如下图，

∴当取最大值时，可有，，解得；当取最小值时，过点作，垂足为，此时，∵，，∴，，∴，∵，∴，解得，∴的取值范围为．【点睛】本题主要考查了新定下“远心点”和“近心点”、坐标与图形、等边三角形的性质、勾股定理、一次函数的图像与性质等知识，解题关键是理解“远心点”和“近心点”的定义，并运用运用数形结合的思想分析问题．15．在平面直角坐标系中，若，，式子的值就叫做线段的“勾股距”，记作．同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．在平面直角坐标系中，，，．

(1)线段OA的“勾股距”______________；(2)已知点，，，，若以点为顶点的四边形边上存在一点，使得，则的最小值为________，最大值为_________；(3)若点在第三象限，且，求并判断是否为“等距三角形”；(4)若点在轴上，是“等距三角形”，请直接写出的取值范围________．【答案】(1)(2)；(3)不是(4)且【分析】（1）根据线段“勾股距”，由，两点的坐标求出线段的“勾股距”；（2）根据线段“勾股距”定义，由在平面直角坐标系中作出图形，分情况讨论，列式求解即可得到答案；（3）现根据“勾股距”的定义求出，，，再根据等距三角形的定义判断即可；（4）根据“等距三角形”分三种情况讨论的取值．【解析】（1）解：由“勾股距”的定义知，故答案为：5；（2）解：若设，则由“勾股距”的定义知，当时，，即；当时，，即；当时，，即；当时，，即；已知点，，，，则在直线上移动，在直线上移动，若以点为顶点的四边形边上存在一点，则四边形的两边在直线和直线上移动，在平面直角坐标系中作出直线、、、及四边形，如图所示：

是四边形与四边形的交点，若边过点，则与重合，此时有最小值，如图所示：

则，解得，即最小值为；若边过点，则与重合，此时有最大值，如图所示：

则，即最大值为；故答案为：；；（3）解：，，点在第三象限，，，，，，即，，，，，，不是为“等距三角形”；（4）解：点在轴上时，点，则，，①当时，，，若是“等距三角形”，，解得：（不合题意），又，，不是“等距三角形”，当时，不是“等距三角形”；②当时，，，若是“等距三角形”，则；若，解得（不合题意）；若，解得：（不合题意）；当时，不是“等距三角形”；③当时，，，若是“等距三角形”，则，解得（不合题意）；且恒成立；当时，，，三点共线，且时，是“等距三角形”，综上所述：是“等距三角形”时，的取值范围为且．【点睛】本题考查坐标与图形的性质，关键是对“勾股距”和“等距三角形”新概念的理解，运用“勾股距”和“等距三角形”解题．题型6：旋转问题16．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，与直线交于点．

(1)求点的坐标；(2)点是线段上一动点，直线与轴交于点．i）若的面积为8，求点的坐标；ii）如图2，当点在轴正半轴上时，将直线绕点逆时针旋转后的直线与线段交于点，连接，若，求线段的长．【答案】(1)(2)或；【分析】（1）根据题意，易求的函数解析法，点在直线上，可求出点坐标；（2）i）解：在线段上，且，，设点，分两种情况：①在点右侧时，根据题图表示和、的关系列出方程，即：，解之得；②点在点左侧时根据、、三者之间的关系列出方程：，解得．综上所述或；ii）出现想到构造等腰直角三角形，证明三角形全等，再利用勾股定理和方程思想求．【解析】（1）解：分别与轴，轴交于点，，，解得，，时，，；（2）解：i）在线段上，且，，设点，分两种情况：①当在轴正半轴上时，如图所示：

，，，轴，，，，，即，解得，；②当在轴负半轴上时，如图所示：

点，，，，，，，，解得，；综上所述：或；ii）过作垂直于轴，垂足为，过作的垂线交轴于点，如图所示：

，，，在与中，，，，，在与中，，，，又，，，，，设，则，在中，由勾股定理可得，，解得，．【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等、面积的运算、一线三直角、三角形全等，综合性强，有难度．17．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），AB＝8，C点到x轴的距离CD为2，且∠ABC＝30°．（1）求点C坐标；（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，请求出这个最小值；（3）如图3，将△ACB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H重合，点C与点G重合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△B′G′H′，在平移过程中，设直线B′H′与x轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B′MG′为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）点C的坐标为（1，2）；（2）线段CE+EF+AF的最小值为；（3）存在，点M的坐标为（3，0）或（﹣5+8，0）或（﹣5﹣8，0）或（19，0）．【分析】（1）在Rt△BCD中，∠CBA＝30°，利用勾股定理可以求得BD＝，从而得到AD=2，OD＝1即可得到答案；（2）过点A作AG∥EF，且AG＝EF，连接EG，作点C关于y轴的对称点C′，连接C′E，可以得到四边形EFAG是平行四边形，线段CE+EF+AF＝CE+EG+EF＝+CE+EG＝+C′E+EG，用“将军饮马”模型求解即可；（3）分两大类：①点M在x轴负半轴，②点M在x轴正半轴，利用含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质求解即可.【解析】解：（1）∵在Rt△BCD中，∠CBA＝30°，∠CDB=90°，A（3，0）∴BC=2CD=，，OA=3∴BD＝，∵AB=8，∴AD=2，∴OD＝1，∴点C的坐标为（1，）；（2）过点A作AG∥EF，且AG＝EF＝，连接EG，作点C关于y轴的对称点C′，连接C′E，得EC′＝EC，∴四边形EFAG是平行四边形，∴EG＝AF，点G的坐标为（3，），∴线段CE+EF+AF＝CE+EG+EF＝+CE+EG＝+C′E+EG，当C′、E、G三点共线时，线段CE+AF+有最小值，∵点C′的坐标为（﹣1，2），点G的坐标为（3，），∴∴线段CE+EF+AF的最小值＝；（3）存在这样的点M，使得△B′MG′为等腰三角形，由平移性质可知∠BB′G′＝∠CBG＝60°，又∵∠G′B′H′＝30°，∴∠MB′B＝90°，G′B′＝GB＝CB＝，分两种情形①点M在x轴负半轴，如图4，∠MB′G′＞90°，∴MB′＝G′B′＝4，在Rt△MB′B中，∠MBB′＝30°，∴MB＝2MB′＝8，∴点M的坐标为（﹣5﹣8，0）；②点M在x轴正半轴，如图5，M与A重合，此时MB′＝MG′，∴点M的坐标为（3，0）；如图6，此时MB′＝G′B′＝4，在Rt△MB′B中，∠MBB′＝30°，∴MB＝2MB′＝8，∴点M的坐标为（﹣5+8，0），如图7，，在中，，，，，点的坐标为，综上所述，点M的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.题型7：定值问题18．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+b（b＜0）与x轴交于点C．点D为直线l上第一象限内一点，过D作DE⊥y轴于点E，CA⊥DE于点A．点B在线段DA上，DB＝AC．连接CB，P为线段CB上一动点，过点P作PR⊥x轴，分别交x轴、CD、DE于点R、Q、S．(1)若点D坐标为(12，3)．①求直线BC的函数关系式；②若Q为RS中点，求点P坐标．(2)在点P运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【答案】(1)①；②，(2)结论：，证明见解析【分析】（1）①求出，，两点坐标，利用待定系数法解决问题即可；②设，则，，，根据，构建方程求出即可解决问题；（2）结论：．如图，过点作轴于点．设，用，表示出直线的解析式，设，则，，用，表示出，的长，可得结论．【详解】（1）解：①点在直线上，，，直线的解析式为，，轴，，，，，，设直线的解析式为，则有，解得，，直线的解析式为；②设，则，，，，，，，；（2）结论：．理由：如图，过点作轴于点．设，，，，，，，，，直线的解析式为，设，则，，，，．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．19．如图1所示，直线l：与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于两点．(1)当时，求点A坐标及直线l的解析式；(2)在（1）的条件下，如图2所示，设Q为延长线上的一点，作直线，过两点分别作于M，于N，若，求的长．(3)当m取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，如图3，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．【答案】(1)，直线的解析式为(2)(3)的长度为定值，理由见详解【分析】（1），令，则，所以，则，可求得，即可求得直线的解析式为；（2）由，得，即可证明，由，，，根据勾股定理求得，所以，则的长是6；（3）作轴于点，可证明，得，，再证明，得，则的长度为定值，它的值为5．【详解】（1），当时，则，解得，，，且点在轴正半轴上，，将代入，得，解得，，直线的解析式为．（2）如图2，于，于，，，在和中，，，，，，，的长是（3）的长度为定值，如图3，作轴于点，和都是等腰直角三角形，且点为直角顶点，，，，，，在和中，，，，，在和中，，，，的长度为定值，它的值为5．【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．题型8：分段函数20．在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象在第一象限有一个交点，且点的横坐标为．（1）求的值．（2）补全表格并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，画出的函数图象；________________________________________________________________________（3）根据函数图象，写出函数的一条性质：_______；（4）已知函数与的图象在第一象限有且只有一个交，若函数与的函数图象有个交点，求的取值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）当时，随着的增大而增大；（4）．【分析】（1）求出点的坐标，将代入，可得的值；（2）根据函数解析式进行计算，即可得到函数值，在直角坐标系内描出相应的点，即可画出的函数图象；（3）依据函数图象的增减性，即可写出函数的一条性质；（4）当时，函数与的函数图象有两个交点，当函数的图象经过时，函数与的函数图象有两个交点，据此可得的取值范围．【详解】解：（1）在中，令，则，即，代入，可得，解得；（2），，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；填表如下：0346475.23.52112如图所示：（3）由图可得，函数的一条性质：当时，随着的增大而增大；故答案为：当时，随着的增大而增大；（4）函数与的图象在第一象限有且只有一个交点，当时，函数与函数的图象重合，此时函数与的函数图象有两个交点，一个是点A，一个是函数与射线CD的交点，当函数的图象经过点C时，函数与的函数图象只有一个交点，此时，把代入，可得；函数与的函数图象有二个交点，的取值范围为．【点睛】本题考查函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．题型9：两点间的距离与一次函数21．在练习“一次函数”复习题时，我们发现了一种新的函数：“绝对值函数”：，请类比探究函数．(1)当时，______，当时，______用含的代数式表示；(2)过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线，分别与函数的图像相交于、两点点在点的左侧，若，求的值；(3)若一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)1或(3)【分析】（1）根据绝对值的意义即可得到结论；（2）表示出、的坐标，由，得到，即可或；（3）联立两个函数解析式，求得、的坐标，利用两点间距离公式表示出，由，得到，两边平方得到，进而求得，由一次函数图像与函数的图像相交于、两点，把点代入求得的值，利用图像可得答案．【详解】（1）当时，，，；当时，，；故答案为：；；（2）过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线，，，，，解得或；（3）画出函数的图像如图，一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，，解得，，设，，，，，，，，把点代入得，，一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，．【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了绝对值的意义，一次函数图像上点的坐标特征，两点间的距离，表示出、、、的坐标是解题的关键．22．阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值．【思考交流】小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC、BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的的的点A2，连接A2B可以求解．小亮：对称和平移还可以有不同的组合…【尝试解决】在图2中AC+CD+DB的最小值是________________________；【灵活运用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），连接AC、CD、DB，则AC+CD+DB的最小值是___________，此时a=__________．并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）．【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y=x图像上一点，CD与y轴垂直且CD=2（点D在点C右侧），连接AC、CD、AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是________________，此时点C的坐标是________________．【答案】[尝试解决]7；[灵活运用]，2；[拓展提升]，【分析】尝试解决：根据作图痕迹分析出，小明的做法是先将A向右平移2个单位长度，再利用对称的性质，两点之间线段最短得到D点的位置，进而得到C点的位置．写出，坐标，利用两点间距离公式求解即可；灵活运用：借助上一问的思路，CD的长度一定，利用平移和对称，转化求其最小值；拓展提升：按照前面的思路，CD的长度一定，利用平移，找到两个固定点与在一条直线上运动的点，利用对称求最小值．【详解】解：[尝试解决]：由题意得，，，，，AC+CD+DB的最小值是7，故答案为：7．[灵活运用]：先将A点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1，与x轴的交点即为D点，以D点为圆心，的长度为半径画圆，与直线的交点即为C点，连接AC、CD、BD，此时AC+CD+DB最小，最小值等于A1B1+CD．作图如下：由作图得，，且，四边形是平行四边形，且，，，，最小值为，此时a为C点的横坐标2，故答案为：，2．[拓展提升]：先将A点向右平移2个单位长度得到，得到平行四边形，，而AC+CD+DA中，CD为定值2，即求的最小值，由题意得：D点在直线上，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点B，连接，与直线的交点为点D，D点向左平移2个单位为C点，如图：与直线垂直，设直线的解析式为，将代入得：，直线的解析式为，联立，解得，，是的中点，设，，解得，，设直线的解析式为，将，代入得，，解得，直线的解析式为，点是直线与直线的交点，解得，，点是由D点向左平移2个单位长度所得到的点，，此时，，故答案为：，．【点睛】本题考查平移和对称中的最短路径问题，还涉及利用待定系数法求一次函数解析式、求关于直线的对称点等，综合性较强，对学生的作图能力、类比推理能力、计算能力要求都比较高，属于压轴题，解题的关键是掌握对称的性质，通过作图找出最短路径．题型10：一次函数的实际应用23．甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，乙每小时走4千米，小狗随甲一起同向出发，小狗追上乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直匀速跑下去．如图，折线，分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程与甲行进时间x()之间的部分函数图象．

(1)求所在直线的函数解析式；(2)小狗的速度为______；求点E的坐标；(3)小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，求x为何值时，它离乙的路程与离甲的路程相等？【答案】(1)(2)，点E的坐标为(3)或【分析】（1）由题意知，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由，可知，当时，小狗距离乙0，设小狗速度为，则依题意得，，解得，，即小狗速度为，由，可知